Équations d'Einstein – Infeld – Hoffmann - Einstein–Infeld–Hoffmann equations

Les équations de mouvement d'Einstein – Infeld – Hoffmann , dérivées conjointement par Albert Einstein , Leopold Infeld et Banesh Hoffmann , sont les équations différentielles de mouvement décrivant la dynamique approximative d'un système de masses ponctuelles en raison de leurs interactions gravitationnelles mutuelles, y compris la relativisme général effets. Il utilise une expansion post-newtonienne de premier ordre et est donc valable dans la limite où les vitesses des corps sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière et où les champs gravitationnels les affectant sont proportionnellement faibles.

Étant donné un système de N corps, étiquetés par des indices A  = 1, ...,  N , le vecteur d'accélération barycentrique du corps A est donné par:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ vec {a}} _ {A} & = \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA }} {r_ {AB} ^ {2}}} \\ & {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ gauche [v_ {A} ^ {2} + 2v_ {B} ^ {2} -4 ({\ vec {v}} _ {A} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) - {\ frac {3} {2}} ({\ vec {n}} _ {AB} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) ^ {2} \ right. \\ & {} \ qquad {} \ left. {} - 4 \ sum _ {C \ not = A} {\ frac { Gm_ {C}} {r_ {AC}}} - \ sum _ {C \ not = B} {\ frac {Gm_ {C}} {r_ {BC}}} + {\ frac {1} {2}} (({\ vec {x}} _ {B} - {\ vec {x}} _ {A}) \ cdot {\ vec {a}} _ {B}) \ right] \\ & {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ left [ {\ vec {n}} _ {AB} \ cdot (4 {\ vec {v}} _ {A} -3 {\ vec {v}} _ {B}) \ right] ({\ vec {v} } _ {A} - {\ vec {v}} _ {B}) \\ & {} \ quad {} + {\ frac {7} {2c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {a}} _ {B}} {r_ {AB}}} + O (c ^ {- 4}) \ end {aligné}}}$

où:

${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {A}}$ est le vecteur de position barycentrique du corps A

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {A} = d {\ vec {x}} _ {A} / dt}$ est le vecteur vitesse barycentrique du corps A

${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {A} = d ^ {2} {\ vec {x}} _ {A} / dt ^ {2}}$ est le vecteur d'accélération barycentrique du corps A

${\ displaystyle r_ {AB} = | {\ vec {x}} _ {A} - {\ vec {x}} _ {B} |}$ est la distance de coordonnées entre les corps A et B

${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {AB} = ({\ vec {x}} _ {A} - {\ vec {x}} _ {B}) / r_ {AB}}$ est le vecteur unitaire pointant du corps B au corps A

${\ displaystyle m_ {A}}$ est la masse du corps A.

${\ displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière

${\ displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle

et la grande notation O est utilisée pour indiquer que les termes d'ordre c ⁻⁴ ou au-delà ont été omis.

Les coordonnées utilisées ici sont harmoniques . Le premier terme sur le côté droit est l'accélération gravitationnelle newtonienne en  A ; dans la limite comme c  → ∞, on retrouve la loi du mouvement de Newton.

L'accélération d'un corps particulier dépend des accélérations de tous les autres corps. Comme la quantité sur le côté gauche apparaît également sur le côté droit, ce système d'équations doit être résolu de manière itérative. En pratique, l'utilisation de l'accélération newtonienne au lieu de l'accélération réelle offre une précision suffisante.

Les références

Lectures complémentaires

• Einstein, A .; Infeld, L .; Hoffmann, B. (1938). "Les équations gravitationnelles et le problème du mouvement". Annales des mathématiques . Deuxième série. 39 (1): 65-100. Bibcode : 1938AnMat..39 ... 65E . doi : 10.2307 / 1968714 . JSTOR   1968714 .
• Kovalevsky, Jean; Seidelmann, P. Kenneth (2004). Fondamentaux de l'astrométrie . New York: Cambridge University Press . p.  173 . ISBN   0521642167 .
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1971). La théorie classique des champs . Oxford: Pergamon Press . p. 337.