Élasticité (physique) - Elasticity (physics)

En physique et en science des matériaux , l' élasticité est la capacité d'un corps à résister à une influence déformante et à reprendre sa taille et sa forme d'origine lorsque cette influence ou cette force est supprimée. Les objets solides se déformeront lorsque des charges adéquates leur seront appliquées ; si le matériau est élastique, l'objet reprendra sa forme et sa taille initiales après enlèvement. Cela contraste avec la plasticité , dans laquelle l'objet ne parvient pas à le faire et reste à la place dans son état déformé.

Les raisons physiques du comportement élastique peuvent être très différentes pour différents matériaux. Dans les métaux , le réseau atomique change de taille et de forme lorsque des forces sont appliquées (de l'énergie est ajoutée au système). Lorsque les forces sont supprimées, le réseau revient à l'état d'énergie inférieur d'origine. Pour les caoutchoucs et autres polymères , l'élasticité est causée par l'étirement des chaînes polymères lorsque des forces sont appliquées.

La loi de Hooke stipule que la force requise pour déformer les objets élastiques doit être directement proportionnelle à la distance de déformation, quelle que soit la taille de cette distance. C'est ce qu'on appelle l'élasticité parfaite , dans laquelle un objet donné reprendra sa forme d'origine, quelle que soit la force avec laquelle il est déformé. C'est un concept idéal seulement ; la plupart des matériaux qui possèdent une élasticité en pratique ne restent purement élastiques que jusqu'à de très petites déformations, après quoi une déformation plastique (permanente) se produit.

En ingénierie , l'élasticité d'un matériau est quantifiée par le module d'élasticité tel que le module d'Young , le module de compression ou le module de cisaillement qui mesurent la quantité de contrainte nécessaire pour obtenir une unité de déformation ; un module plus élevé indique que le matériau est plus difficile à déformer. L' unité SI de ce module est le pascal (Pa). Le matériau de limite élastique ou limite d' élasticité est le maximum de stress qui peut survenir avant le début de la déformation plastique. Son unité SI est également le pascal (Pa).

Aperçu

Lorsqu'un matériau élastique est déformé en raison d'une force externe, il subit une résistance interne à la déformation et le restaure à son état d'origine si la force externe n'est plus appliquée. Il existe divers modules d'élasticité , tels que le module de Young , le module de cisaillement et le module de compression , qui sont tous des mesures des propriétés élastiques inhérentes d'un matériau en tant que résistance à la déformation sous une charge appliquée. Les différents modules s'appliquent à différents types de déformation. Par exemple, le module de Young s'applique à l'extension/compression d'un corps, tandis que le module de cisaillement s'applique à son cisaillement . Le module de Young et le module de cisaillement ne concernent que les solides, tandis que le module de masse concerne les solides, les liquides et les gaz.

L'élasticité des matériaux est décrite par une courbe contrainte-déformation , qui montre la relation entre la contrainte (la force interne de restauration moyenne par unité de surface) et la déformation (la déformation relative). La courbe est généralement non linéaire, mais elle peut (en utilisant une série de Taylor ) être approchée comme linéaire pour des déformations suffisamment petites (dans lesquelles les termes d'ordre supérieur sont négligeables). Si le matériau est isotrope , la relation contrainte-déformation linéarisée est appelée loi de Hooke , qui est souvent supposée s'appliquer jusqu'à la limite élastique pour la plupart des métaux ou des matériaux cristallins alors que l'élasticité non linéaire est généralement requise pour modéliser de grandes déformations de matériaux caoutchouteux même dans le plage élastique. Pour des contraintes encore plus élevées, les matériaux présentent un comportement plastique , c'est-à-dire qu'ils se déforment de manière irréversible et ne reprennent pas leur forme d'origine une fois que la contrainte n'est plus appliquée. Pour les matériaux caoutchouteux tels que les élastomères , la pente de la courbe contrainte-déformation augmente avec la contrainte, ce qui signifie que les caoutchoucs deviennent progressivement plus difficiles à étirer, tandis que pour la plupart des métaux, le gradient diminue à des contraintes très élevées, ce qui signifie qu'ils deviennent progressivement plus faciles étirer. L'élasticité ne se manifeste pas seulement par les solides ; les fluides non newtoniens , tels que les fluides viscoélastiques , présenteront également une élasticité dans certaines conditions quantifiées par le nombre de Deborah . En réponse à une petite contrainte appliquée et supprimée rapidement, ces fluides peuvent se déformer puis reprendre leur forme d'origine. Sous des contraintes plus importantes ou des contraintes appliquées pendant de plus longues périodes, ces fluides peuvent commencer à s'écouler comme un liquide visqueux .

L'élasticité d'un matériau étant décrite en termes de relation contrainte-déformation, il est essentiel que les termes contrainte et déformation soient définis sans ambiguïté. Typiquement, deux types de relations sont considérés. Le premier type traite des matériaux qui ne sont élastiques que pour de petites déformations. La seconde traite des matériaux qui ne se limitent pas aux petites déformations. Il est clair que le deuxième type de relation est plus général en ce sens qu'il doit inclure le premier type comme cas particulier.

Pour les petites déformations, la mesure de contrainte utilisée est la contrainte de Cauchy tandis que la mesure de déformation utilisée est le tenseur de déformation infinitésimal ; le comportement du matériau résultant (prédit) est appelé élasticité linéaire , qui (pour les milieux isotropes ) est appelée loi de Hooke généralisée . Matériaux élastiques Cauchy et matériaux hypoélastique sont des modèles qui étendent la loi de Hooke pour permettre la possibilité de grandes rotations, de grandes distorsions, et intrinsèque ou induite anisotropie .

Pour des situations plus générales, n'importe laquelle d'un certain nombre de mesures de contrainte peut être utilisée, et il est généralement souhaité (mais pas obligatoire) que la relation contrainte-déformation élastique soit formulée en termes de mesure de contrainte finie qui est conjuguée au travail à la mesure de contrainte sélectionnée. , c'est-à-dire que l'intégrale temporelle du produit interne de la mesure de contrainte avec le taux de mesure de déformation doit être égale au changement d'énergie interne pour tout processus adiabatique qui reste en dessous de la limite élastique.

Élasticité linéaire

Comme indiqué ci-dessus, pour les petites déformations, la plupart des matériaux élastiques tels que les ressorts présentent une élasticité linéaire et peuvent être décrits par une relation linéaire entre la contrainte et la déformation. Cette relation est connue sous le nom de loi de Hooke . Une version dépendante de la géométrie de l'idée a été formulée pour la première fois par Robert Hooke en 1675 sous la forme d'un anagramme latin , « ceiiinosssttuv ». Il publia la réponse en 1678 : « Ut tensio, sic vis » signifiant « Comme l'extension, donc la force », une relation linéaire communément appelée loi de Hooke . Cette loi peut être énoncée comme une relation entre la force de traction F et le déplacement d' extension correspondant x ,

k est une constante connue sous le nom de constante de vitesse ou de ressort . Il peut également être déclaré comme une relation entre le stress σ et déformation :

E est connu sous le nom de module d'élasticité ou module d'Young .

Bien que la constante de proportionnalité générale entre la contrainte et la déformation en trois dimensions soit un tenseur d' ordre 4 appelé rigidité , les systèmes qui présentent une symétrie , comme une tige unidimensionnelle, peuvent souvent être réduits aux applications de la loi de Hooke.

Élasticité finie

Le comportement élastique des objets qui subissent des déformations finies a été décrit à l'aide d'un certain nombre de modèles, tels que les modèles de matériaux élastiques de Cauchy, les modèles de matériaux hypoélastiques et les modèles de matériaux hyperélastiques . Le gradient de déformation ( F ) est la principale mesure de déformation utilisée dans la théorie des déformations finies .

Matières élastiques cauchy

Un matériau est dit de Cauchy-élastique si le tenseur des contraintes de Cauchy σ est fonction du gradient de déformation F seul :

Il est généralement incorrect d'affirmer que la contrainte de Cauchy est simplement fonction d'un tenseur de déformation , car un tel modèle manque d'informations cruciales sur la rotation du matériau nécessaire pour produire des résultats corrects pour un milieu anisotrope soumis à une extension verticale par rapport à la même extension appliquée horizontalement et puis soumis à une rotation de 90 degrés ; ces deux déformations ont les mêmes tenseurs de déformations spatiales mais doivent produire des valeurs différentes du tenseur de contraintes de Cauchy.

Même si la contrainte dans un matériau Cauchy-élastique ne dépend que de l'état de déformation, le travail effectué par les contraintes peut dépendre du chemin de déformation. Par conséquent, l'élasticité de Cauchy comprend des modèles "non hyperélastiques" non conservateurs (dans lesquels le travail de déformation dépend du chemin) ainsi que des modèles " matériau hyperélastique " conservateurs (pour lesquels la contrainte peut être dérivée d'une fonction scalaire de "potentiel élastique").

Matériaux hypoélastiques

Un matériau hypoélastique peut être rigoureusement défini comme un matériau modélisé à l'aide d'une équation de comportement satisfaisant aux deux critères suivants :

  1. La contrainte de Cauchy au temps ne dépend que de l'ordre dans lequel le corps a occupé ses configurations passées, mais pas de la vitesse à laquelle ces configurations passées ont été traversées. A titre particulier, ce critère inclut un matériau élastique de Cauchy , pour lequel la contrainte actuelle ne dépend que de la configuration actuelle plutôt que de l'historique des configurations passées.
  2. Il existe une fonction à valeur tensorielle telle que dans laquelle est le taux de matière du tenseur de contrainte de Cauchy, et est le tenseur du gradient de vitesse spatiale .

Si seuls ces deux critères originaux sont utilisés pour définir l'hypoélasticité, alors l' hyperélasticité serait incluse comme un cas particulier, ce qui incite certains modélisateurs constitutifs à ajouter un troisième critère qui exige spécifiquement qu'un modèle hypoélastique ne soit pas hyperélastique (c'est-à-dire que l'hypoélasticité implique que la contrainte est non dérivable d'un potentiel énergétique). Si ce troisième critère est adopté, il en résulte qu'un matériau hypoélastique peut admettre des chemins de chargement qui adiabatiques nonconservative commencent et se terminent avec le même gradient de déformation , mais ne pas début et de fin à la même énergie.

Notez que le deuxième critère requiert seulement que la fonction existe . Comme détaillé dans l'article principal sur les matériaux hypoélastiques , des formulations spécifiques de modèles hypoélastiques utilisent généralement des taux dits objectifs, de sorte que la fonction n'existe qu'implicitement et n'est généralement nécessaire explicitement que pour les mises à jour de contraintes numériques effectuées via l'intégration directe de la contrainte réelle (non objective). taux.

Matériaux hyperélastiques

Les matériaux hyperélastiques (également appelés matériaux élastiques verts) sont des modèles conservateurs dérivés d'une fonction de densité d'énergie de déformation ( W ). Un modèle est hyperélastique si et seulement si il est possible d'exprimer le tenseur des contraintes de Cauchy en fonction du gradient de déformation via une relation de la forme

Cette formulation prend le potentiel énergétique ( W ) en fonction du gradient de déformation ( ). En exigeant également la satisfaction de l' objectivité matérielle , le potentiel énergétique peut être alternativement considéré comme une fonction du tenseur de déformation de Cauchy-Green ( ), auquel cas le modèle hyperélastique peut être écrit alternativement comme

Applications

L'élasticité linéaire est largement utilisée dans la conception et l'analyse de structures telles que les poutres , les plaques et les coques , et les composites sandwich . Cette théorie est également à la base d'une grande partie de la mécanique de la rupture .

L'hyperélasticité est principalement utilisée pour déterminer la réponse d' objets à base d' élastomère tels que les joints et de matériaux biologiques tels que les tissus mous et les membranes cellulaires .

Facteurs affectant l'élasticité

Pour les matériaux isotropes , la présence de fractures affecte les modules d'Young et de cisaillement perpendiculaires aux plans des fissures, qui diminuent (module d'Young plus rapide que le module de cisaillement) à mesure que la densité de fracture augmente, indiquant que la présence de fissures rend les corps plus fragiles. Au microscope , la relation contrainte-déformation des matériaux est en général régie par l' énergie libre de Helmholtz , une quantité thermodynamique . Les molécules s'installent dans la configuration qui minimise l'énergie libre, soumise à des contraintes dérivées de leur structure, et, selon que l'énergie ou le terme d' entropie domine l'énergie libre, les matériaux peuvent être classés en gros comme énergie-élastique et entropie-élastique . Ainsi, des facteurs microscopiques affectant l'énergie libre, tels que la distance d' équilibre entre les molécules, peuvent affecter l'élasticité des matériaux : par exemple, dans les matériaux inorganiques , à mesure que la distance d'équilibre entre les molécules à 0 K augmente, le module de masse diminue. L'effet de la température sur l'élasticité est difficile à isoler, car de nombreux facteurs l'affectent. Par exemple, le module de masse d'un matériau dépend de la forme de son réseau , de son comportement en dilatation , ainsi que des vibrations des molécules, qui dépendent toutes de la température.

Voir également

Les références