Ellipse - Ellipse

Une ellipse (rouge) obtenue comme l'intersection d'un cône avec un plan incliné.
Ellipse : notations
Ellipses : exemples avec excentricité croissante

En mathématiques , une ellipse est une courbe plane entourant deux points focaux , de sorte que pour tous les points de la courbe, la somme des deux distances aux points focaux est une constante. En tant que tel, il généralise un cercle , qui est le type particulier d'ellipse dans lequel les deux foyers sont les mêmes. L'allongement d'une ellipse se mesure par son excentricité , un nombre allant de (le cas limite d'un cercle) à (le cas limite d'allongement infini, non plus une ellipse mais une parabole ).

Une ellipse a une solution algébrique simple pour son aire, mais seulement des approximations pour son périmètre (également appelé circonférence ), pour lesquelles l'intégration est requise pour obtenir une solution exacte.

Analytiquement , l'équation d'une ellipse standard centrée à l'origine de largeur et de hauteur est :

En supposant que les foyers soient pour . L'équation paramétrique standard est :

Les ellipses sont du type fermé de section conique : une courbe plane traçant l'intersection d'un cône avec un plan (voir figure). Les ellipses présentent de nombreuses similitudes avec les deux autres formes de sections coniques, les paraboles et les hyperboles , toutes deux ouvertes et non bornées . Une section transversale angulaire d'un cylindre est également une ellipse.

Une ellipse peut également être définie en fonction d'un point focal et d'une ligne extérieure à l'ellipse appelée directrice : pour tous les points de l'ellipse, le rapport entre la distance au foyer et la distance à la directrice est une constante. Ce rapport constant est l'excentricité mentionnée ci-dessus :

Les ellipses sont courantes en physique , en astronomie et en ingénierie . Par exemple, l' orbite de chaque planète du système solaire est approximativement une ellipse avec le Soleil en un point focal (plus précisément, le foyer est le barycentre de la paire Soleil-planète). La même chose est vraie pour les lunes en orbite autour des planètes et tous les autres systèmes de deux corps astronomiques. Les formes des planètes et des étoiles sont souvent bien décrites par des ellipsoïdes . Un cercle vu sous un angle latéral ressemble à une ellipse : c'est-à-dire que l'ellipse est l'image d'un cercle en projection parallèle ou en perspective . L'ellipse est aussi la figure de Lissajous la plus simple formée lorsque les mouvements horizontaux et verticaux sont des sinusoïdes de même fréquence : un effet similaire conduit à une polarisation elliptique de la lumière en optique .

Le nom, ἔλλειψις ( élleipsis , « omission »), a été donné par Apollonius de Perge dans ses Coniques .

Définition comme lieu de points

Ellipse : définition par somme des distances aux foyers
Ellipse : définition par foyer et directrice circulaire

Une ellipse peut être définie géométriquement comme un ensemble ou un lieu de points dans le plan euclidien :

Etant donné deux points fixes appelés foyers et une distance supérieure à la distance entre les foyers, l'ellipse est l'ensemble des points tels que la somme des distances est égale à :

Le milieu du segment de droite joignant les foyers est appelé le centre de l'ellipse. La ligne passant par les foyers est appelée le grand axe , et la ligne perpendiculaire à celle-ci passant par le centre est le petit axe .Le grand axe coupe l'ellipse à deux sommets , qui sont éloignés du centre. La distance des foyers au centre est appelée distance focale ou excentricité linéaire. Le quotient est l' excentricité .

Le cas donne un cercle et est inclus comme un type spécial d'ellipse.

L'équation peut être vue d'une manière différente (voir figure) :

Si est le cercle de milieu et de rayon , alors la distance d'un point au cercle est égale à la distance au foyer :

est appelée la directrice circulaire (liée au foyer ) de l'ellipse. Cette propriété ne doit pas être confondue avec la définition d'une ellipse utilisant une ligne directrice ci-dessous.

En utilisant des sphères de Dandelin , on peut prouver que toute section plane d'un cône avec un plan est une ellipse, en supposant que le plan ne contient pas le sommet et a une pente inférieure à celle des lignes sur le cône.

En coordonnées cartésiennes

Paramètres de forme :

Équation standard

La forme standard d'une ellipse en coordonnées cartésiennes suppose que l'origine est le centre de l'ellipse, l' axe x est le grand axe et :

les foyers sont les points ,
les sommets sont .

Pour un point arbitraire la distance au foyer est et à l'autre foyer . Le point est donc sur l'ellipse lorsque :

L'élimination des radicaux par des carrés appropriés et l'utilisation produit l'équation standard de l'ellipse :

ou, résolu pour y :

Les paramètres de largeur et de hauteur sont appelés axes semi-majeur et semi-mineur . Les points haut et bas sont les co-sommets . Les distances d'un point de l'ellipse aux foyers gauche et droit sont et .

Il résulte de l'équation que l'ellipse est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et donc par rapport à l'origine.

Paramètres

Axes principaux

Tout au long de cet article, les axes semi-majeur et semi-mineur sont notés et , respectivement, c'est-à-dire

En principe, l'équation de l'ellipse canonique peut avoir (et donc l'ellipse serait plus haute que large). Cette forme peut être convertie en forme standard en transposant les noms de variables et et les noms de paramètres et

Excentricité linéaire

C'est la distance du centre à un foyer : .

Excentricité

L'excentricité peut être exprimée par :

en supposant qu'une ellipse d'axes égaux ( ) a une excentricité nulle et est un cercle.

Semi-latus rectum

La longueur de la corde à travers un foyer, perpendiculaire au grand axe, est appelée latus rectum . La moitié est le semi-latus rectum . Un calcul montre :

Le demi-latus rectum est égal au rayon de courbure aux sommets (voir section courbure ).

Tangente

Une ligne arbitraire coupe une ellipse en 0, 1 ou 2 points, respectivement appelée ligne extérieure , tangente et sécante . À travers n'importe quel point d'une ellipse, il y a une tangente unique. La tangente en un point de l'ellipse a pour équation de coordonnées :

Une équation paramétrique vectorielle de la tangente est :

avec

Preuve : Soit un point sur une ellipse et l'équation de toute droite contenant . Insertion de l'équation de la droite dans l'équation de l'ellipse et respect des rendements :

Il y a alors des cas :
  1. Alors la droite et l'ellipse n'ont qu'un point commun, et sont une tangente. La direction tangente a un vecteur perpendiculaire , donc la ligne tangente a une équation pour certains . Car c'est sur la tangente et l'ellipse, on obtient .
  2. Alors la droite a un deuxième point en commun avec l'ellipse, et est une sécante.

En utilisant (1), on trouve qu'il s'agit d'un vecteur tangent au point , ce qui prouve l'équation vectorielle.

Si et sont deux points de l'ellipse tels que , alors les points se trouvent sur deux diamètres conjugués (voir ci - dessous ). (Si , l'ellipse est un cercle et "conjugué" signifie "orthogonal".)

Ellipse décalée

Si l'ellipse standard est décalée pour avoir le centre , son équation est

Les axes sont toujours parallèles aux axes x et y.

Ellipse générale

En géométrie analytique , l'ellipse est définie comme une quadrique : l'ensemble des points du plan cartésien qui, dans les cas non dégénérés, satisfont à l' équation implicite

à condition de

Pour distinguer les cas dégénérés du cas non dégénéré, soit le déterminant

Alors l'ellipse est une ellipse réelle non dégénérée si et seulement si C∆ < 0. Si C∆ > 0, on a une ellipse imaginaire, et si = 0, on a une ellipse ponctuelle.

Les coefficients de l'équation générale peuvent être obtenus à partir du demi-grand axe , du demi-petit axe , des coordonnées centrales et de l'angle de rotation (l'angle entre l'axe horizontal positif et le grand axe de l'ellipse) à l'aide des formules :

Ces expressions peuvent être dérivées de l'équation canonique par une transformation affine des coordonnées :

Inversement, les paramètres de forme canonique peuvent être obtenus à partir des coefficients de forme générale par les équations :

Représentation paramétrique

La construction de points basée sur l'équation paramétrique et l'interprétation du paramètre t , qui est due à de la Hire
Points d'ellipse calculés par la représentation rationnelle avec des paramètres équidistants ( ).

Représentation paramétrique standard

En utilisant des fonctions trigonométriques , une représentation paramétrique de l'ellipse standard est :

Le paramètre t (appelé anomalie excentrique en astronomie) n'est pas l'angle de avec l' axe x , mais a une signification géométrique due à Philippe de La Hire (voir Dessin des ellipses ci-dessous).

Représentation rationnelle

Avec les formules de substitution et trigonométriques on obtient

et l' équation paramétrique rationnelle d'une ellipse

qui couvre n'importe quel point de l'ellipse sauf le sommet gauche .

Pour cette formule représente le quart supérieur droit de l'ellipse se déplaçant dans le sens antihoraire avec l'augmentation Le sommet gauche est la limite

Les représentations rationnelles des sections coniques sont couramment utilisées en conception assistée par ordinateur (voir courbe de Bézier ).

Pente tangente comme paramètre

Une représentation paramétrique, qui utilise la pente de la tangente en un point de l'ellipse peut être obtenue à partir de la dérivée de la représentation standard :

A l'aide de formules trigonométriques on obtient :

Le remplacement de et de la représentation standard donne :

Voici la pente de la tangente au point de l'ellipse correspondant, c'est la moitié supérieure et la moitié inférieure de l'ellipse. Les sommets , ayant des tangentes verticales, ne sont pas couverts par la représentation.

L'équation de la tangente au point a la forme . L'inconnue encore peut être déterminée en insérant les coordonnées du point de l'ellipse correspondant :

Cette description des tangentes d'une ellipse est un outil essentiel pour la détermination de l' orthoptique d'une ellipse. L'article orthoptique contient une autre preuve, sans calcul différentiel et sans formules trigonométriques.

Ellipse générale

Ellipse comme image affine du cercle unité

Une autre définition d'une ellipse utilise des transformations affines :

Toute ellipse est une image affine du cercle unité d'équation .
Représentation paramétrique

Une transformation affine du plan euclidien a la forme , où est une matrice régulière (avec un déterminant non nul ) et est un vecteur arbitraire. Si sont les vecteurs colonnes de la matrice , le cercle unité , , est mappé sur l'ellipse :

Voici le centre et sont les directions de deux diamètres conjugués , en général non perpendiculaires.

Sommets

Les quatre sommets de l'ellipse sont , pour un paramètre défini par :

(Si , alors .) Ceci est dérivé comme suit. Le vecteur tangent au point est :

À un paramètre de sommet , la tangente est perpendiculaire aux axes majeur/mineur, donc :

L'expansion et l'application des identités donnent l'équation pour

Zone

Du théorème d'Apollonios (voir ci-dessous) on obtient :
L'aire d'une ellipse est

Demi-axes

Avec les abréviations, les énoncés du théorème d'Apollonios peuvent être écrits sous la forme :

La résolution de ce système non linéaire pour donne les demi-axes :

Représentation implicite

En résolvant la représentation paramétrique pour par la règle de Cramer et en utilisant , on obtient la représentation implicite

.

Inversement : si l' équation

avec

d'une ellipse centrée à l'origine est donnée, alors les deux vecteurs

point à deux points conjugués et les outils développés ci-dessus sont applicables.

Exemple : Pour l'ellipse d'équation les vecteurs sont

.
Tourbillons : ellipses imbriquées, mises à l'échelle et tournées. La spirale n'est pas dessinée : on la voit comme le lieu des points où les ellipses sont particulièrement proches les unes des autres.
Ellipse standard pivotée

Car on obtient une représentation paramétrique de l'ellipse type tournée d'angle :

Ellipse dans l'espace

La définition d'une ellipse dans cette section donne une représentation paramétrique d'une ellipse arbitraire, même dans l'espace, si l'on admet qu'il y ait des vecteurs dans l'espace.

Formes polaires

Forme polaire par rapport au centre

Coordonnées polaires centrées au centre.

En coordonnées polaires , avec l'origine au centre de l'ellipse et avec la coordonnée angulaire mesurée à partir du grand axe, l'équation de l'ellipse est

Forme polaire par rapport au foyer

Coordonnées polaires centrées au foyer.

Si à la place nous utilisons des coordonnées polaires avec l'origine à un foyer, avec la coordonnée angulaire toujours mesurée à partir du grand axe, l'équation de l'ellipse est

où le signe au dénominateur est négatif si la direction de référence pointe vers le centre (comme illustré à droite) et positif si cette direction pointe à l'opposé du centre.

Dans le cas un peu plus général d' une ellipse avec un foyer à l' origine et l' autre foyer à la coordonnée angulaire , la forme polaire est

L'angle dans ces formules est appelé la véritable anomalie du point. Le numérateur de ces formules est le semi-latus rectum .

Excentricité et propriété directrice

Ellipse : propriété directrice

Chacune des deux droites parallèles au petit axe, et à distance de celui-ci, est appelée directrice de l'ellipse (voir schéma).

Pour un point quelconque de l'ellipse, le quotient de la distance à un foyer et à la directrice correspondante (voir schéma) est égal à l'excentricité :

La preuve de la paire découle du fait que et satisfaire l'équation

Le deuxième cas se démontre de manière analogue.

L'inverse est également vrai et peut être utilisé pour définir une ellipse (d'une manière similaire à la définition d'une parabole) :

Pour tout point (focus), toute ligne (directrice) ne passant pas par , et tout nombre réel avec l'ellipse est le lieu des points pour lesquels le quotient des distances au point et à la ligne est :

L'extension à , qui est l'excentricité d'un cercle, n'est pas autorisée dans ce contexte dans le plan euclidien. Cependant, on peut considérer que la directrice d'un cercle est la droite à l'infini (avec étant le rayon du cercle) dans le plan projectif .

(Le choix donne une parabole, et si , une hyperbole.)

Crayon de coniques avec un sommet commun et un rectum semi-latus commun
Preuve

Soit , et supposons que est un point sur la courbe. La directrice a l'équation . Avec , la relation produit les équations

et

La substitution donne

C'est l'équation d'une ellipse ( ), ou d'une parabole ( ), ou d'une hyperbole ( ). Toutes ces coniques non dégénérées ont en commun l'origine comme sommet (voir schéma).

Si , introduire de nouveaux paramètres de sorte que , et alors l'équation ci-dessus devient

qui est l'équation d'une ellipse de centre , l' axe x comme grand axe et le demi-axe majeur/mineur .

Construction d'une directrice
Construction d'une directrice

En raison du point de directrice (voir schéma) et du foyer sont inverses par rapport à l' inversion du cercle au cercle (dans le schéma vert). Par conséquent, peut être construit comme indiqué dans le diagramme. La directrice est la perpendiculaire à l'axe principal au point .

Ellipse générale

Si le foyer est et la directrice , on obtient l'équation

(Le côté droit de l'équation utilise la forme normale de Hesse d'une ligne pour calculer la distance .)

Propriété de réflexion focus-to-focus

Ellipse : la tangente coupe l'angle supplémentaire de l'angle entre les lignes aux foyers.
Les rayons d'un foyer se réfléchissent sur l'ellipse pour traverser l'autre foyer.

Une ellipse possède la propriété suivante :

La normale en un point coupe l'angle entre les lignes .
Preuve

Parce que la tangente est perpendiculaire à la normale, la déclaration est vraie pour la tangente et l'angle supplémentaire de l'angle entre les lignes aux foyers (voir diagramme), aussi.

Soit le point sur la ligne avec la distance au foyer , est le demi-grand axe de l'ellipse. Soit ligne la bissectrice de l'angle supplémentaire à l'angle entre les lignes . Afin de prouver qu'il s'agit de la tangente au point , on vérifie qu'aucun point de la droite différent de ne peut être sur l'ellipse. N'a donc qu'un point commun avec l'ellipse et est donc la tangente au point .

D'après le diagramme et l' inégalité triangulaire, on reconnaît que c'est vrai, ce qui signifie : . L'égalité est vraie d'après le théorème de la bissectrice d'angle car et . Mais si est un point de l'ellipse, la somme doit être .

Application

Les rayons d'un foyer sont réfléchis par l'ellipse vers le deuxième foyer. Cette propriété a des applications optiques et acoustiques similaires à la propriété réfléchissante d'une parabole (voir la galerie des chuchotements ).

Diamètres conjugués

Définition des diamètres conjugués

Diamètres orthogonaux d'un cercle avec un carré de tangentes, des milieux de cordes parallèles et une image affine, qui est une ellipse avec des diamètres conjugués, un parallélogramme de tangentes et des milieux de cordes.

Un cercle a la propriété suivante :

Les milieux des cordes parallèles se trouvent sur un diamètre.

Une transformation affine préserve le parallélisme et les points médians des segments de ligne, cette propriété est donc vraie pour toute ellipse. (Notez que les cordes parallèles et le diamètre ne sont plus orthogonaux.)

Définition

Deux diamètres d'une ellipse sont conjugués si les milieux des cordes parallèles se trouvent sur

Sur le schéma on trouve :

Deux diamètres d'une ellipse sont conjugués chaque fois que les tangentes à et sont parallèles à .

Les diamètres conjugués dans une ellipse généralisent les diamètres orthogonaux dans un cercle.

Dans l'équation paramétrique pour une ellipse générale donnée ci-dessus,

toute paire de points appartient à un diamètre, et la paire appartient à son diamètre conjugué.

Théorème d'Apollonios sur les diamètres conjugués

Théorème d'Apollonios
Pour la formule zone alternative

Pour une ellipse avec des demi-axes, ce qui suit est vrai :

Laissez et être moitiés de deux diamètres conjugués (voir schéma) , puis
  1. .
  2. Le triangle avec des côtés (voir schéma) a l'aire constante , qui peut également être exprimée par . est l'altitude du point et l'angle entre les demi-diamètres. Par conséquent, l'aire de l'ellipse (voir la section propriétés métriques ) peut être écrite sous la forme .
  3. Le parallélogramme des tangentes adjacentes aux diamètres conjugués donnés a la
Preuve

Soit l'ellipse sous la forme canonique avec l'équation paramétrique

.

Les deux points sont sur des diamètres conjugués (voir section précédente). A partir des formules trigonométriques, on obtient et

L'aire du triangle engendré par est

et d'après le diagramme, on peut voir que l'aire du parallélogramme est 8 fois celle de . D'où

Tangentes orthogonales

Ellipse avec son orthoptique

Pour l'ellipse, les points d'intersection des tangentes orthogonales se trouvent sur le cercle .

Ce cercle est appelé orthoptique ou cercle directeur de l'ellipse (à ne pas confondre avec la directrice circulaire définie ci-dessus).

Dessiner des ellipses

Projection centrale de cercles (portail)

Les ellipses apparaissent dans la géométrie descriptive sous forme d'images (projection parallèle ou centrale) de cercles. Il existe différents outils pour dessiner une ellipse. Les ordinateurs fournissent la méthode la plus rapide et la plus précise pour dessiner une ellipse. Cependant, des outils techniques ( ellipsographes ) pour dessiner une ellipse sans ordinateur existent. Le principe des ellipsographes était connu des mathématiciens grecs comme Archimède et Proklos .

S'il n'y a pas d'ellipsographe disponible, on peut dessiner une ellipse en utilisant une approximation par les quatre cercles osculateurs aux sommets .

Pour toute méthode décrite ci-dessous, la connaissance des axes et des demi-axes est nécessaire (ou de manière équivalente : les foyers et le demi-grand axe). Si cette présomption n'est pas remplie, il faut connaître au moins deux diamètres conjugués. Avec l'aide de la construction de Rytz, les axes et les demi-axes peuvent être récupérés.

La construction de la pointe de La Hire

La construction suivante des points simples d'une ellipse est due à de La Hire . Il est basé sur la représentation paramétrique standard d'une ellipse :

  1. Dessinez les deux cercles centrés au centre de l'ellipse avec les rayons et les axes de l'ellipse.
  2. Tracez une ligne passant par le centre , qui coupe les deux cercles au point et , respectivement.
  3. Tracer une ligne à travers qui est parallèle à l'axe mineur et une ligne à travers qui est parallèle à l'axe principal. Ces lignes se rejoignent en un point d'ellipse (voir schéma).
  4. Répétez les étapes (2) et (3) avec des lignes différentes passant par le centre.
Ellipse : méthode du jardinier

Méthode épingles-et-chaîne

La caractérisation d'une ellipse comme le lieu des points de sorte que la somme des distances aux foyers soit constante conduit à une méthode de dessin utilisant deux punaises , une longueur de ficelle et un crayon. Dans cette méthode, des épingles sont enfoncées dans le papier en deux points, qui deviennent les foyers de l'ellipse. Une ficelle est attachée à chaque extrémité aux deux broches ; sa longueur après nouage est . La pointe du crayon trace alors une ellipse si elle est déplacée tout en gardant le fil tendu. À l'aide de deux piquets et d'une corde, les jardiniers utilisent cette procédure pour tracer un parterre de fleurs elliptique. On l'appelle donc l' ellipse du jardinier .

Une méthode similaire pour dessiner des ellipses confocales avec une chaîne fermée est due à l'évêque irlandais Charles Graves .

Méthodes de bande de papier

Les deux méthodes suivantes reposent sur la représentation paramétrique (voir la section représentation paramétrique ci-dessus) :

Cette représentation peut être modélisée techniquement par deux méthodes simples. Dans les deux cas centre, les axes et demi axes doivent être connus.

Méthode 1

La première méthode commence par

une bande de papier de longueur .

Le point de rencontre des demi-axes est marqué par . Si la bande glisse avec les deux extrémités sur les axes de l'ellipse désirée, alors le point trace l'ellipse. Pour la preuve on montre que le point a la représentation paramétrique , où paramètre est l'angle de la pente de la bande de papier.

Une réalisation technique du mouvement de la bande de papier peut être réalisée par un couple Tusi (voir animation). L'appareil est capable de dessiner n'importe quelle ellipse avec une somme fixe , qui est le rayon du grand cercle. Cette restriction peut être un inconvénient dans la vie réelle. La deuxième méthode de bande de papier est plus flexible.

Une variante de la méthode de la bande de papier 1 utilise l'observation que le milieu de la bande de papier se déplace sur le cercle de centre (de l'ellipse) et de rayon . Par conséquent, la bande de papier peut être coupée à la pointe en deux moitiés, reliées à nouveau par un joint et l'extrémité coulissante fixée au centre (voir schéma). Après cette opération, le mouvement de la moitié inchangée de la bande de papier est inchangé. Cette variante ne nécessite qu'un seul patin coulissant.

Construction de l'ellipse : bande de papier méthode 2
Méthode 2

La deuxième méthode commence par

une bande de papier de longueur .

On marque le point, qui divise la bande en deux sous-bandes de longueur et . La bande est positionnée sur les axes comme décrit sur le schéma. Puis l'extrémité libre de la bande trace une ellipse, tandis que la bande est déplacée. Pour la preuve, on reconnaît que le point de traçage peut être décrit paramétriquement par , où paramètre est l'angle de pente de la bande de papier.

Cette méthode est à la base de plusieurs ellipsographes (voir section ci-dessous).

Similaire à la variante de la méthode de la bande de papier 1, une variante de la méthode de la bande de papier 2 peut être établie (voir schéma) en coupant la partie entre les axes en deux.

La plupart des instruments de dessin ellipsographiques sont basés sur la deuxième méthode de la bande de papier.

Approximation d'une ellipse avec des cercles osculateurs

Approximation par cercles osculateurs

A partir des propriétés métriques ci-dessous, on obtient :

  • Le rayon de courbure aux sommets est :
  • Le rayon de courbure aux co-sommets est :

Le diagramme montre un moyen facile de trouver les centres de courbure au sommet et au co-sommet , respectivement :

  1. marquer le point auxiliaire et tracer le segment de ligne
  2. tracer la ligne passant par , qui est perpendiculaire à la ligne
  3. les points d'intersection de cette ligne avec les axes sont les centres des cercles osculateurs.

(preuve : calcul simple.)

Les centres des sommets restants sont trouvés par symétrie.

À l'aide d'une courbe française, on dessine une courbe qui a un contact régulier avec les cercles osculateurs .

génération Steiner

Ellipse : génération Steiner
Ellipse : génération Steiner

La méthode suivante pour construire des points uniques d'une ellipse repose sur la génération Steiner d'une section conique :

Étant donné deux crayons de lignes en deux points (toutes les lignes contenant et , respectivement) et un mappage projectif mais pas en perspective de sur , alors les points d'intersection des lignes correspondantes forment une section conique projective non dégénérée.

Pour la génération des points de l'ellipse on utilise les crayons aux sommets . Soit un co-sommet supérieur de l'ellipse et .

est le centre du rectangle . Le côté du rectangle est divisé en n segments de ligne égaux et cette division est projetée parallèlement à la diagonale comme direction sur le segment de ligne et attribue la division comme indiqué dans le diagramme. La projection parallèle avec l'inverse de l'orientation fait partie de la cartographie projective entre les crayons à et nécessaire. Les points d'intersection de deux lignes connexes et sont des points de l'ellipse définie de manière unique. A l'aide des points, les points du deuxième quart de l'ellipse peuvent être déterminés. De manière analogue on obtient les points de la moitié inférieure de l'ellipse.

La génération de Steiner peut également être définie pour les hyperboles et les paraboles. Elle est parfois appelée méthode du parallélogramme car on peut utiliser d'autres points plutôt que les sommets, qui commencent par un parallélogramme au lieu d'un rectangle.

Comme hypotrochoïde

Une ellipse (en rouge) comme cas particulier de l' hypotrochoïde avec  R  = 2 r

L'ellipse est un cas particulier de l' hypotrochoïde lorsque , comme le montre l'image adjacente. Le cas particulier d'un cercle mobile de rayon à l' intérieur d'un cercle de rayon s'appelle un couple Tusi .

Angles inscrits et forme en trois points

Cercles

Cercle : théorème de l'angle inscrit

Un cercle avec une équation est uniquement déterminé par trois points qui ne sont pas sur une ligne. Un moyen simple de déterminer les paramètres utilise le théorème de l'angle inscrit pour les cercles :

Pour quatre points (voir diagramme), l'affirmation suivante est vraie :
Les quatre points sont sur un cercle si et seulement si les angles à et sont égaux.

Habituellement, on mesure les angles inscrits par un degré ou un radian θ, mais ici la mesure suivante est plus pratique :

Pour mesurer l'angle entre deux droites avec des équations on utilise le quotient :

Théorème de l'angle inscrit pour les cercles

Pour quatre points au nombre de trois sur une ligne, nous avons ce qui suit (voir schéma) :

Les quatre points sont sur un cercle, si et seulement si les angles à et sont égaux. En termes de mesure d'angle ci-dessus, cela signifie :

Au début, la mesure n'est disponible que pour les accords non parallèles à l'axe des y, mais la formule finale fonctionne pour n'importe quel accord.

Forme à trois points de l'équation du cercle

En conséquence, on obtient une équation pour le cercle déterminée par trois points non colinéaires :

Par exemple, pour l'équation à trois points est :

, qui peut être réorganisé en

En utilisant des vecteurs, des produits scalaires et des déterminants, cette formule peut être arrangée plus clairement, laissant :

Le centre du cercle satisfait :

Le rayon est la distance entre l'un des trois points et le centre.

Ellipses

Cette section, nous considérons la famille d'ellipses définies par des équations avec une excentricité fixe . Il est pratique d'utiliser le paramètre :

et d'écrire l'équation de l'ellipse sous la forme :

q est fixe et varie sur les nombres réels. (Ces ellipses ont leurs axes parallèles aux axes de coordonnées : si , le grand axe est parallèle à l' axe x ; si , il est parallèle à l' axe y .)

Théorème de l'angle inscrit pour une ellipse

Comme un cercle, une telle ellipse est déterminée par trois points non sur une ligne.

Pour cette famille d'ellipses, on introduit les éléments suivants q-analogique mesure d'angle, ce qui est pas fonction de la mesure habituelle d'angle θ :

Pour mesurer un angle entre deux droites avec des équations on utilise le quotient :

Théorème de l'angle inscrit pour les ellipses

Étant donné quatre points , pas trois sur une ligne (voir schéma).
Les quatre points sont sur une ellipse d'équation si et seulement si les angles à et sont égaux dans le sens de la mesure ci-dessus, c'est-à-dire si

Au début, la mesure n'est disponible que pour les accords qui ne sont pas parallèles à l'axe des y. Mais la formule finale fonctionne pour n'importe quel accord. La preuve découle d'un calcul simple. Pour la direction de preuve étant donné que les points sont sur une ellipse, on peut supposer que le centre de l'ellipse est l'origine.

Forme à trois points de l'équation de l'ellipse

Une conséquence, on obtient une équation pour l'ellipse déterminée par trois points non colinéaires :

Par exemple, pour et on obtient la forme en trois points

et après reconversion

De manière analogue au cas du cercle, l'équation peut être écrite plus clairement à l'aide de vecteurs :

où est le produit scalaire modifié

Relation pôle-polaire

Ellipse : relation pôle-polaire

Toute ellipse peut être décrite dans un système de coordonnées approprié par une équation . L'équation de la tangente en un point de l'ellipse est Si l'on permet au point d'être un point arbitraire différent de l'origine, alors

point est mappé sur la ligne , et non par le centre de l'ellipse.

Cette relation entre les points et les lignes est une bijection .

Les cartes de fonction inverse

  • ligne sur le point et
  • ligne sur le point

Une telle relation entre des points et des lignes générées par une conique est appelée relation pôle-polaire ou polarité . Le pôle est le point ; la ligne polaire.

Par le calcul on peut confirmer les propriétés suivantes de la relation pôle-polaire de l'ellipse :

  • Pour un point (pôle) de l'ellipse, la polaire est la tangente en ce point (voir schéma : ).
  • Pour un pôle extérieur à l'ellipse, les points d'intersection de sa polaire avec l'ellipse sont les points de tangence des deux tangentes passant (voir schéma : ).
  • Pour un point à l' intérieur de l'ellipse, la polaire n'a pas de point commun avec l'ellipse (voir schéma : ).
  1. Le point d'intersection de deux polaires est le pôle de la droite passant par leurs pôles.
  2. Les foyers et , respectivement, et les directrices et , respectivement, appartiennent à des paires de pôle et polaire. Parce qu'elles sont même des paires polaires par rapport au cercle , les directrices peuvent être construites au compas et à la règle (voir Géométrie inversive ).

Des relations pôle-polaire existent également pour les hyperboles et les paraboles.

Propriétés métriques

Toutes les propriétés métriques données ci-dessous se réfèrent à une ellipse avec l'équation

 

 

 

 

( 1 )

sauf pour la section sur la zone délimitée par une ellipse inclinée, où la forme généralisée de l'équation ( 1 ) sera donnée.

Zone

L' aire délimitée par une ellipse est :

 

 

 

 

( 2 )

où et sont les longueurs des axes semi-majeur et semi-mineur, respectivement. La formule de l'aire est intuitive : commencez par un cercle de rayon (donc son aire est ) et étirez-le d'un facteur pour faire une ellipse. Cela met à l'échelle la zone par le même facteur : il est également facile de prouver rigoureusement la formule de la zone en utilisant l' intégration comme suit. L' équation ( 1 ) peut être réécrite comme Pour cette courbe est la moitié supérieure de l'ellipse. Donc, le double de l'intégrale de sur l'intervalle sera l'aire de l'ellipse :

La deuxième intégrale est l'aire d'un cercle de rayon qui est, donc

Une ellipse définie implicitement par une aire

L'aire peut également être exprimée en termes d'excentricité et de longueur du demi-grand axe comme (obtenu en résolvant l' aplatissement , puis en calculant le demi-petit axe).

La zone délimitée par une ellipse inclinée est .

Jusqu'ici nous avons traité des ellipses dressées , dont les axes majeur et mineur sont parallèles aux axes et . Cependant, certaines applications nécessitent des ellipses inclinées . Dans l'optique à faisceau de particules chargées, par exemple, la zone fermée d'une ellipse dressée ou inclinée est une propriété importante du faisceau, son émittance . Dans ce cas, une formule simple s'applique toujours, à savoir

 

 

 

 

( 3 )

où , sont des interceptions et , sont des valeurs maximales. Il découle directement du théorème d' Appolonio .

Circonférence

Ellipses de même circonférence

La circonférence d'une ellipse est :

où est encore la longueur du demi-grand axe, est l'excentricité, et la fonction est l' intégrale elliptique complète du second type ,

qui n'est en général pas une fonction élémentaire .

La circonférence de l'ellipse peut être évaluée en utilisant la moyenne arithmétique-géométrique de Gauss ; il s'agit d'une méthode itérative à convergence quadratique.

La série infinie exacte est :

où est la factorielle double (étendue aux entiers impairs négatifs par la relation de récurrence , pour ). Cette série converge, mais en s'élargissant en termes de James Ivory et Bessel dérive une expression qui converge beaucoup plus rapidement :

Srinivasa Ramanujan donne deux approximations proches pour la circonférence au §16 de « Modular Equations and Approximations to » ; elles sont

et

Les erreurs dans ces approximations, qui ont été obtenues empiriquement, sont d'ordre et respectivement.

Longueur de l'arc

Plus généralement, la longueur d'arc d'une partie de la circonférence, en fonction de l'angle sous-tendu (ou des coordonnées x de deux points quelconques sur la moitié supérieure de l'ellipse), est donnée par une intégrale elliptique incomplète . La moitié supérieure d'une ellipse est paramétrée par

Alors la longueur de l'arc de à est :

Ceci équivaut à

où est l'intégrale elliptique incomplète de seconde espèce de paramètre

La fonction inverse , l'angle sous-tendu en fonction de la longueur de l'arc, est donnée par une certaine fonction elliptique .

Certaines limites inférieures et supérieures sur la circonférence de l'ellipse canonique avec sont

Ici, la limite supérieure est la circonférence d'un cercle concentrique circonscrit passant par les extrémités du grand axe de l'ellipse, et la limite inférieure est le périmètre d'un losange inscrit avec des sommets aux extrémités des grands et des petits axes.

Courbure

La courbure est donnée par le rayon de courbure au point :

Rayon de courbure aux deux sommets et aux centres de courbure :

Rayon de courbure aux deux co-sommets et aux centres de courbure :

En géométrie triangulaire

Les ellipses apparaissent dans la géométrie triangulaire comme

  1. Ellipse de Steiner : ellipse passant par les sommets du triangle de centre au centre de gravité,
  2. inellipses : ellipses qui touchent les côtés d'un triangle. Des cas particuliers sont l' ellipse de Steiner et l' ellipse de Mandart .

Comme sections planes de quadriques

Les ellipses apparaissent comme des sections planes des quadriques suivantes :

Applications

La physique

Réflecteurs elliptiques et acoustique

Si la surface de l'eau est perturbée en un foyer d'un réservoir d'eau elliptique, les ondes circulaires de cette perturbation, après réflexion sur les parois, convergent simultanément vers un seul point : le deuxième foyer . Ceci est une conséquence du fait que la longueur totale du trajet est la même le long de tout chemin de rebond mural entre les deux foyers.

De même, si une source lumineuse est placée à un foyer d'un miroir elliptique , tous les rayons lumineux sur le plan de l'ellipse sont réfléchis vers le deuxième foyer. Comme aucune autre courbe lisse n'a une telle propriété, elle peut être utilisée comme définition alternative d'une ellipse. (Dans le cas particulier d'un cercle avec une source en son centre, toute la lumière serait réfléchie vers le centre.) Si l'ellipse est tournée le long de son axe principal pour produire un miroir ellipsoïdal (en particulier, un sphéroïde allongé ), cette propriété est valable pour tous les rayons sortant de la source. Alternativement, un miroir cylindrique avec une section transversale elliptique peut être utilisé pour focaliser la lumière d'une lampe fluorescente linéaire le long d'une ligne du papier ; de tels miroirs sont utilisés dans certains scanners de documents .

Les ondes sonores sont réfléchies de la même manière, de sorte que dans une grande pièce elliptique, une personne se tenant à un foyer peut remarquablement bien entendre une personne se tenant à l'autre foyer. L'effet est encore plus évident sous un toit voûté en forme de section d'un sphéroïde allongé. Une telle pièce s'appelle une chambre de chuchotement . Le même effet peut être démontré avec deux réflecteurs en forme de capuchons d'extrémité d'un tel sphéroïde, placés face à face à la bonne distance. Les exemples sont le National Statuary Hall au Capitole des États-Unis (où John Quincy Adams aurait utilisé cette propriété pour écouter des questions politiques) ; le Mormon Tabernacle à Temple Square à Salt Lake City , Utah ; lors d'une exposition sur le son au Museum of Science and Industry de Chicago ; devant l' Université de l'Illinois à l' Auditorium Urbana-Champaign Foellinger ; et aussi dans une chambre latérale du Palais de Charles V, dans l' Alhambra .

Orbites planétaires

Au 17ème siècle, Johannes Kepler a découvert que les orbites le long desquelles les planètes se déplacent autour du Soleil sont des ellipses avec le Soleil [environ] à un foyer, dans sa première loi du mouvement planétaire . Plus tard, Isaac Newton a expliqué cela comme un corollaire de sa loi de la gravitation universelle .

Plus généralement, dans le problème gravitationnel à deux corps , si les deux corps sont liés l'un à l'autre (c'est-à-dire que l'énergie totale est négative), leurs orbites sont des ellipses similaires, le barycentre commun étant l'un des foyers de chaque ellipse. L'autre foyer de l'une ou l'autre ellipse n'a aucune signification physique connue. L'orbite de l'un ou l'autre corps dans le cadre de référence de l'autre est également une ellipse, avec l'autre corps au même foyer.

Les orbites elliptiques képlériennes sont le résultat de toute force d'attraction dirigée radialement dont la force est inversement proportionnelle au carré de la distance. Ainsi, en principe, le mouvement de deux particules de charges opposées dans l'espace vide serait également une ellipse. (Cependant, cette conclusion ignore les pertes dues au rayonnement électromagnétique et aux effets quantiques , qui deviennent importants lorsque les particules se déplacent à grande vitesse.)

Pour les orbites elliptiques , les relations utiles impliquant l'excentricité sont :

  • est le rayon à l' apoapsis (la distance la plus éloignée)
  • est le rayon au périapse (la distance la plus proche)
  • est la longueur du demi-grand axe

De plus, en termes de et , le demi-grand axe est leur moyenne arithmétique , le demi-petit axe est leur moyenne géométrique et le demi-latus rectum est leur moyenne harmonique . En d'autres termes,

.

Oscillateurs harmoniques

La solution générale pour un oscillateur harmonique à deux ou plusieurs dimensions est également une ellipse. C'est le cas, par exemple, d'un long pendule libre de ses mouvements en deux dimensions ; d'une masse attachée à un point fixe par un ressort parfaitement élastique ; ou de tout objet qui se déplace sous l'influence d'une force d'attraction qui est directement proportionnelle à sa distance d'un attracteur fixe. Contrairement aux orbites képlériennes, cependant, ces "orbites harmoniques" ont le centre d'attraction au centre géométrique de l'ellipse et ont des équations de mouvement assez simples.

Visualisation des phases

En électronique , la phase relative de deux signaux sinusoïdaux peut être comparée en les transmettant aux entrées verticale et horizontale d'un oscilloscope . Si l' affichage de la figure de Lissajous est une ellipse plutôt qu'une ligne droite, les deux signaux sont déphasés.

Engrenages elliptiques

Deux engrenages non circulaires avec le même contour elliptique, chacun pivotant autour d'un foyer et positionné à l'angle approprié, tournent en douceur tout en maintenant le contact à tout moment. Alternativement, ils peuvent être reliés par une chaîne à maillons ou une courroie de distribution , ou dans le cas d'un vélo, le plateau principal peut être elliptique ou ovoïde de forme elliptique. De tels engrenages elliptiques peuvent être utilisés dans des équipements mécaniques pour produire une vitesse ou un couple angulaire variable à partir d'une rotation constante de l'essieu moteur, ou dans le cas d'une bicyclette pour permettre une vitesse de rotation de manivelle variable avec un avantage mécanique variant en sens inverse .

Les engrenages de vélo elliptiques permettent à la chaîne de glisser plus facilement du pignon lors du changement de vitesse.

Un exemple d'application d'engrenage serait un dispositif qui enroule du fil sur une bobine conique sur une machine à filer . La canette devrait s'enrouler plus rapidement lorsque le fil est près du sommet que lorsqu'il est près de la base.

Optique

  • Dans un matériau optiquement anisotrope ( biréfringent ), l' indice de réfraction dépend de la direction de la lumière. La dépendance peut être décrite par un ellipsoïde d'index . (Si le matériau est optiquement isotrope , cet ellipsoïde est une sphère.)
  • Dans les lasers à solide pompé par lampe , des réflecteurs en forme de cylindre elliptique ont été utilisés pour diriger la lumière de la lampe de pompe (coaxiale avec un axe focal d'ellipse) vers la tige de milieu actif (coaxiale avec le deuxième axe focal).
  • Dans les sources lumineuses EUV produites par plasma laser utilisées en lithographie sur micropuce , la lumière EUV est générée par un plasma positionné dans le foyer principal d'un miroir ellipsoïde et est collectée dans le foyer secondaire à l'entrée de la machine de lithographie.

Statistiques et finances

Dans les statistiques , un vecteur aléatoire bivarié est conjointement distribué elliptiquement si ses contours d'iso-densité - lieux de valeurs égales de la fonction de densité - sont des ellipses. Le concept s'étend à un nombre arbitraire d'éléments du vecteur aléatoire, auquel cas en général les contours d'iso-densité sont des ellipsoïdes. Un cas particulier est la distribution normale multivariée . Les distributions elliptiques sont importantes en finance car si les taux de rendement des actifs sont conjointement distribués de manière elliptique, tous les portefeuilles peuvent être caractérisés complètement par leur moyenne et leur variance, c'est-à-dire que deux portefeuilles avec une moyenne et une variance de rendement de portefeuille identiques ont des distributions de portefeuille identiques. revenir.

Infographie

Le dessin d'une ellipse en tant que primitive graphique est courant dans les bibliothèques d'affichage standard, telles que l' API MacIntosh QuickDraw et Direct2D sous Windows. Jack Bresenham chez IBM est le plus célèbre pour l'invention de primitives de dessin 2D, y compris le dessin de lignes et de cercles, en utilisant uniquement des opérations entières rapides telles que l'addition et le branchement sur le bit de retenue. MLV Pitteway a étendu l'algorithme de Bresenham pour les lignes aux coniques en 1967. Une autre généralisation efficace pour dessiner des ellipses a été inventée en 1984 par Jerry Van Aken.

En 1970, Danny Cohen a présenté à la conférence "Computer Graphics 1970" en Angleterre un algorithme linéaire pour dessiner des ellipses et des cercles. En 1971, LB Smith a publié des algorithmes similaires pour toutes les sections coniques et a prouvé qu'ils avaient de bonnes propriétés. Ces algorithmes n'ont besoin que de quelques multiplications et additions pour calculer chaque vecteur.

Il est intéressant d'utiliser une formulation paramétrique en infographie car la densité de points est la plus grande là où il y a le plus de courbure. Ainsi, le changement de pente entre chaque point successif est faible, ce qui réduit l'apparente "irrégularité" de l'approximation.

Dessiner avec les tracés de Bézier

Les courbes de Bézier composites peuvent également être utilisées pour dessiner une ellipse avec une précision suffisante, puisque toute ellipse peut être interprétée comme une transformation affine d'un cercle. Les méthodes splines utilisées pour tracer un cercle peuvent être utilisées pour tracer une ellipse, car les courbes de Bézier constitutives se comportent de manière appropriée sous de telles transformations.

Théorie de l'optimisation

Il est parfois utile de trouver l'ellipse de délimitation minimale sur un ensemble de points. La méthode de l'ellipsoïde est très utile pour résoudre ce problème.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes