Équations pour un corps qui tombe - Equations for a falling body

Un ensemble d' équations décrit les trajectoires résultantes lorsque des objets se déplacent en raison d'une force gravitationnelle constante dans des conditions normales liées à la Terre . Par exemple, la loi de la gravitation universelle de Newton se simplifie en F = mg , où m est la masse du corps. Cette hypothèse est raisonnable pour les objets tombant sur terre sur les distances verticales relativement courtes de notre expérience quotidienne, mais est fausse sur de plus grandes distances, telles que les trajectoires des engins spatiaux.

Histoire

Galilée fut le premier à démontrer puis à formuler ces équations. Il a utilisé une rampe pour étudier les balles roulantes, la rampe ralentissant suffisamment l'accélération pour mesurer le temps mis par la balle pour parcourir une distance connue. Il a mesuré le temps écoulé avec une horloge à eau , en utilisant une "balance extrêmement précise" pour mesurer la quantité d'eau.

Les équations ignorent la résistance de l'air, qui a un effet dramatique sur les objets tombant à une distance appréciable dans l'air, les amenant à s'approcher rapidement d'une vitesse terminale . L'effet de la résistance de l'air varie énormément selon la taille et la géométrie de l'objet qui tombe - par exemple, les équations sont désespérément fausses pour une plume, qui a une faible masse mais offre une grande résistance à l'air. (En l'absence d'atmosphère, tous les objets tombent au même rythme, comme l'a démontré l' astronaute David Scott en laissant tomber un marteau et une plume sur la surface de la Lune .)

Les équations ignorent également la rotation de la Terre, omettant de décrire l' effet Coriolis par exemple. Néanmoins, ils sont généralement suffisamment précis pour les objets denses et compacts tombant à des hauteurs ne dépassant pas les plus hautes structures artificielles.

Aperçu

Un objet initialement stationnaire qui peut tomber librement sous l'effet de la gravité tombe sur une distance proportionnelle au carré du temps écoulé. Cette image, couvrant une demi-seconde, a été capturée avec un flash stroboscopique à 20 flashs par seconde. Au cours des 0,05 premières secondes, la balle chute d'une unité de distance (environ 12 mm), de 0,10 s, elle a chuté de 4 unités au total, de 0,15 s 9 unités, et ainsi de suite.

Près de la surface de la Terre, l' accélération due à la gravité $g$ = 9,807 m/s ² ( mètres par seconde au carré , ce qui pourrait être considéré comme « mètres par seconde, par seconde » ; ou 32,18 pieds/s ² comme « pieds par seconde par seconde") environ. Un ensemble cohérent d'unités pour $g$ , $d$ , $t$ et $v$ est essentiel. En supposant que les unités SI , $g$ est mesuré en mètres par seconde au carré, donc $d$ doit être mesuré en mètres, $t$ en secondes et $v$ en mètres par seconde.

Dans tous les cas, le corps est supposé partir du repos et la résistance de l'air est négligée. Généralement, dans l'atmosphère terrestre, tous les résultats ci-dessous seront donc assez imprécis après seulement 5 secondes de chute (à ce moment la vitesse d'un objet sera un peu inférieure à la valeur du vide de 49 m/s (9,8 m/s ² × 5 s ) en raison de la résistance de l'air). La résistance de l'air induit une force de traînée sur tout corps qui tombe à travers une atmosphère autre qu'un vide parfait, et cette force de traînée augmente avec la vitesse jusqu'à ce qu'elle soit égale à la force gravitationnelle, laissant l'objet tomber à une vitesse terminale constante .

La vitesse terminale dépend de la traînée atmosphérique, du coefficient de traînée de l'objet, de la vitesse (instantanée) de l'objet et de la surface présentée au flux d'air.

Outre la dernière formule, ces formules supposent également que $g$ varie de manière négligeable avec la hauteur pendant la chute (c'est-à-dire qu'elles supposent une accélération constante). La dernière équation est plus précise lorsque des changements significatifs de la distance fractionnaire du centre de la planète pendant la chute provoquent des changements significatifs de $g$ . Cette équation se produit dans de nombreuses applications de la physique fondamentale.

Équations

Distance parcourue par un objet tombant dans le temps : ${\style d'affichage \ d\ }$ ${\style d'affichage \ t\ }$	$\ d={\frac {1}{2}}gt^{2}$
Temps de chute d'un objet : ${\style d'affichage \ t\ }$ ${\style d'affichage \ d\ }$	$\ t=\ {\sqrt {\frac {2d}{g}}}$
Vitesse instantanée d'un objet en chute après un temps écoulé : ${\style d'affichage \ v_{i}\ }$ ${\style d'affichage \ t\ }$	${\style d'affichage \ v_{i}=gt}$
Vitesse instantanée d'un objet en chute qui a parcouru la distance : ${\style d'affichage \ v_{i}\ }$ ${\style d'affichage \ d\ }$	$\ v_{i}={\sqrt {2gd}}\$
Vitesse moyenne d'un objet qui tombe depuis le temps (moyenne dans le temps) : ${\style d'affichage \ v_{a}\ }$ ${\style d'affichage \ t\ }$	$\ v_{a}={\frac {1}{2}}gt$
Vitesse moyenne d'un objet en chute qui a parcouru une distance (moyenne dans le temps) : ${\style d'affichage \ v_{a}\ }$ ${\style d'affichage \ d\ }$	$\ v_{a}={\frac {\sqrt {2gd}}{2}}\$
Vitesse instantanée d'un objet en chute qui a parcouru une distance sur une planète de masse , le rayon combiné de la planète et l'altitude de l'objet en chute étant , cette équation est utilisée pour des rayons plus grands où est plus petit que la norme à la surface de la Terre, mais suppose une petite distance de chute, donc le changement est faible et relativement constant : ${\style d'affichage \ v_{i}\ }$ ${\style d'affichage \ d\ }$ ${\style d'affichage \ M\ }$ ${\style d'affichage \ r\ }$ ${\style d'affichage \ g\ }$ ${\style d'affichage \ g\ }$ ${\style d'affichage \ g\ }$	$\ v_{i}={\sqrt {\frac {2GMd}{r^{2}}}}\$
Vitesse instantanée d'un objet en chute qui a parcouru une distance sur une planète avec une masse et un rayon (utilisé pour les grandes distances de chute où peut changer de manière significative) : ${\style d'affichage \ v_{i}\ }$ ${\style d'affichage \ d\ }$ ${\style d'affichage \ M\ }$ ${\style d'affichage \ r\ }$ ${\style d'affichage \ g\ }$	$\ v_{i}={\sqrt {2GM{\Big (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+d}}{\Big )}}}\$

Temps de chute mesuré d'une petite sphère en acier tombant de différentes hauteurs. Les données sont en bon accord avec le temps de chute prévu de , où

h

est la hauteur et

g

est l'accélération de la pesanteur.

{\sqrt {2h/g}}

Exemple

La première équation montre qu'au bout d'une seconde, un objet sera tombé d'une distance de 1/2 × 9,8 × 1 ² = 4,9 m. Au bout de deux secondes, il sera tombé de 1/2 × 9,8 × 2 ² = 19,6 m ; etc. L'avant-dernière équation devient grossièrement inexacte à de grandes distances. Si un objet tombait à 10 000 m de la Terre, les résultats des deux équations ne diffèrent que de 0,08 % ; cependant, s'il tombait de l'orbite géosynchrone , qui est de 42 164 km, alors la différence passe à près de 64 %.

Sur la base de la résistance au vent, par exemple, la vitesse terminale d'un parachutiste en position de chute libre ventre contre terre (c'est-à-dire face vers le bas) est d'environ 195 km/h (122 mph ou 54 m/s). Cette vitesse est la valeur limite asymptotique du processus d'accélération, car les forces effectives sur le corps s'équilibrent de plus en plus étroitement à mesure que la vitesse terminale est approchée. Dans cet exemple, une vitesse de 50 % de la vitesse finale est atteinte après seulement 3 secondes environ, alors qu'il faut 8 secondes pour atteindre 90 %, 15 secondes pour atteindre 99 % et ainsi de suite.

Des vitesses plus élevées peuvent être atteintes si le parachutiste tire sur ses membres (voir aussi freefly ). Dans ce cas, la vitesse terminale augmente à environ 320 km/h (200 mph ou 90 m/s), ce qui est presque la vitesse terminale du faucon pèlerin plongeant sur sa proie. La même vitesse terminale est atteinte pour une balle typique de .30-06 tombant vers le bas - lorsqu'elle revient sur terre après avoir été tirée vers le haut ou larguée d'une tour - selon une étude de 1920 de l'US Army Ordnance.

Les parachutistes de vitesse de compétition volent en position tête basse et atteignent des vitesses encore plus élevées. Le record du monde actuel est de 1 357,6 km/h (843,6 mph, Mach 1,25) par Felix Baumgartner , qui a sauté de 38 969,4 m (127 852,4 ft) au-dessus de la terre le 14 octobre 2012. Le record a été établi en raison de la haute altitude où le moindre densité de l'atmosphère a diminué la traînée.

Pour les corps astronomiques autres que la Terre , et pour de courtes distances de chute à un niveau autre que le "sol", $g$ dans les équations ci-dessus peut être remplacé par où $G$ est la constante gravitationnelle , $M$ est la masse du corps astronomique, $m$ est la masse du corps en chute, et $r$ est le rayon de l'objet en chute au centre du corps astronomique. ${\style d'affichage {\frac {G(M+m)}{r^{2}}}}$

La suppression de l'hypothèse simplificatrice d'une accélération gravitationnelle uniforme fournit des résultats plus précis. On trouve à partir de la formule des trajectoires elliptiques radiales :

Le temps $t$ mis par un objet pour tomber d'une hauteur $r$ à une hauteur $x$ , mesuré à partir des centres des deux corps, est donné par :

t={\frac {\arccos {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}} \ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}

où est la somme des paramètres gravitationnels standards des deux corps. Cette équation doit être utilisée chaque fois qu'il y a une différence significative dans l'accélération gravitationnelle pendant la chute. $\mu =G(m_{1}+m_{2})$

Accélération par rapport à la Terre en rotation

La force centripète fait que l'accélération mesurée sur la surface tournante de la Terre diffère de l'accélération mesurée pour un corps en chute libre : l'accélération apparente dans le référentiel tournant est le vecteur de gravité totale moins un petit vecteur vers le nord- l'axe sud de la Terre, correspondant au fait de rester stationnaire dans ce référentiel.

Voir également

De Motu Antiquiora et Two New Sciences (les premières recherches modernes sur le mouvement des corps en chute)
Équations de mouvement
Chute libre
Gravitation
Théorème de la vitesse moyenne , fondement de la loi de la chute des corps
Trajectoire radiale

Remarques

Les références

Liens externes

Calculatrice d'équations du corps en chute

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