Point extrême - Extreme point

Pour d'autres utilisations, voir Point extrême (homonymie) .
Un ensemble convexe en bleu clair, et ses points extrêmes en rouge.

En mathématiques , un point extrême d'un ensemble convexe S dans un véritable espace vectoriel est un point S qui ne se trouve pas dans une quelconque ouverture segment de droite joignant deux points de S . Dans les problèmes de programmation linéaire , un point extrême est également appelé sommet ou point d'angle de S .

Définition

Tout au long, on suppose que S est un espace vectoriel réel ou complexe .

Pour tout x , x 1 , x 2 ∈ S , dire que x est compris entre x 1 et x 2 si x 1 ≠ x 2 et il existe un 0 < t <1 de telle sorte que x = tx 1 + (1 - t ) x 2 .

Si K est un sous-ensemble de S et x ∈ K , alors x est appelé un point extrême de K s'il ne se situe pas entre deux points distincts de K . Autrement dit, s'il ne pas exister x 1 , x 2 ∈ K et 0 < t <1 tel que x 1 ≠ x 2 et x = tx 1 + (1 - t ) x 2 . L'ensemble de tous les points extrêmes de K est noté extreme( K ) .

Caractérisations

Le milieu de deux éléments x et y dans un espace vectoriel est le vecteur 1/2( x + y ) .

Pour tout élément x et y dans un espace vectoriel, l'ensemble [ x , y ] := { tx + (1 − t ) y  : 0 t 1 } est appelé segment de droite fermé ou intervalle fermé entre x et y . Le segment de ligne ouvert ou l'intervalle ouvert entre x et y est ( x , x ) := ∅ lorsque x = y alors qu'il est ( x , y ) := { tx + (1 − t ) y  : 0 < t < 1 } lorsque x de l'y . Les points x et y sont appelés les extrémités de cet intervalle. Un intervalle est dit non dégénéré ou propre si ses extrémités sont distinctes. Le milieu d'un intervalle est le milieu de ses extrémités.

Notez que [ x , y ] est égale à la coque convexe de { x , y } , donc si K est convexe et x , y ∈ K , alors [ x , y ] ⊆ K .

Si K est un sous - ensemble non vide de X et F est un sous - ensemble non vide de K , alors F est appelé un visage de K si chaque fois un point p ∈ F est comprise entre deux points de K , alors ces deux points nécessairement appartiennent à F .

Théorème  -  Soit K un sous - ensemble convexe non vide d'un espace vectoriel X et soit p ∈ K . Alors les éléments suivants sont équivalents :

  1. p est un point extrême de K ;
  2. K ∖ { p } est convexe ;
  3. p n'est pas le milieu d'un segment de droite non dégénéré contenu dans K ;
  4. pour tout x , y ∈ K , si p ∈ [ x , y ] alors x = p ou y = p ;
  5. si x ∈ X est tel que p + x et p − x appartiennent à K , alors x = 0 ;
  6. { p } est une face de K .

Exemples

  • Si a < b sont deux nombres réels alors a et b sont des points extrêmes de l'intervalle [ a , b ] . Cependant, l'intervalle ouvert ( a , b ) n'a pas de points extrêmes.
  • Une carte linéaire injective F  : X → Y envoie les points extrêmes d'un ensemble convexe C ⊆ X aux points extrêmes de l'ensemble convexe F ( C ) . Ceci est également vrai pour les applications affines injectives.
  • Le périmètre de tout polygone convexe dans le plan est une face de ce polygone.
  • Les sommets d'un polygone quelconque convexe dans le plan ℝ 2 sont les points extrêmes de ce polygone.
  • Les points extrêmes du disque unité fermée dans ℝ 2 est le cercle unité .
  • Tout intervalle ouvert dans ℝ n'a pas de point extrême alors que tout non dégénéré intervalle fermé pas égal à ℝ n'ont des points extrêmes ( par exemple le point final de l'intervalle fermé (s)). De manière plus générale, toute sous - ensemble ouvert de dimension finie espace euclidien ℝ n n'a pas de point extrême.

Propriétés

Les points extrêmes d'un convexe compact forment un espace de Baire (avec la topologie du sous-espace) mais cet ensemble peut ne pas être fermé dans X .

Théorèmes

Théorème de Krein-Milman

Le théorème de Krein-Milman est sans doute l'un des théorèmes les plus connus sur les points extrêmes.

Théorème de Krein-Milman  —  Si S est convexe et compact dans un espace localement convexe , alors S est l'enveloppe convexe ferméede ses points extrêmes : En particulier, un tel ensemble a des points extrêmes.

Pour les espaces Banach

Ces théorèmes sont pour les espaces de Banach avec la propriété Radon-Nikodym .

Un théorème de Joram Lindenstrauss énonce que, dans un espace de Banach avec la propriété Radon-Nikodym, un ensemble fermé et borné non vide a un point extrême. (Dans les espaces de dimension infinie, la propriété de compacité est plus forte que les propriétés conjointes d'être fermé et d'être borné).

Théorème  ( Gerald Edgar )  —  Soit E un espace de Banach avec la propriété de Radon-Nikodym, soit C un sous-ensemble séparable, fermé, borné et convexe de E , et soit a un point de C . Alors il y a une mesure de probabilité p sur les ensembles universellement mesurables dans C telle que a est le barycentre de p , et l'ensemble des points extrêmes de C a p -mesure 1.

Le théorème d'Edgar implique le théorème de Lindenstrauss.

k -points extrêmes

Plus généralement, un point dans un ensemble convexe S est k -extrême s'il se trouve à l'intérieur d'un ensemble convexe de dimension k dans S , mais pas dans un ensemble convexe de dimension k+1 dans S . Ainsi, un point extrême est aussi un point 0-extrême. Si S est un polytope, alors les k -points extrêmes sont exactement les points intérieurs des faces k- dimensionnelles de S . Plus généralement, pour tout ensemble convexe S , les k -points extrêmes sont partitionnés en faces ouvertes k -dimensionnelles.

Le théorème de Krein-Milman de dimension finie, qui est dû à Minkowski, peut être rapidement prouvé en utilisant le concept de k -points extrêmes. Si S est fermé, borné et de dimension n , et si p est un point dans S , alors p est k -extrême pour un certain k < n . Le théorème affirme que p est une combinaison convexe de points extrêmes. Si k = 0, alors c'est trivialement vrai. Sinon p se trouve sur un segment de droite dans S qui peut être étendu au maximum (car S est fermé et borné). Si les extrémités du segment sont q et r , alors leur rang extrême doit être inférieur à celui de p , et le théorème suit par récurrence.

Voir également

Citations

Bibliographie