F -répartition - F-distribution

Fisher–Snedecor
Fonction de densité de probabilité
F-distribution pdf.svg
Fonction de distribution cumulative
F dist cdf.svg
Paramètres d 1 , d 2 > 0 deg. de liberté
Soutien si , sinon
PDF
CDF
Moyenne
pour d 2 > 2
Mode
pour d 1 > 2
Variance
pour d 2 > 4
Asymétrie
pour d 2 > 6
Ex. aplatissement voir le texte
Entropie

MGF n'existe pas, moments bruts définis dans le texte et dans
FC voir le texte

En théorie des probabilités et en statistiques , la distribution F ou rapport F , également connue sous le nom de distribution F de Snedecor ou distribution de Fisher-Snedecor (d'après Ronald Fisher et George W. Snedecor ) est une distribution de probabilité continue qui apparaît fréquemment comme la distribution nulle de une statistique de test , notamment dans l' analyse de la variance (Anova) et autres F -Tests .

Définition

La distribution F avec d 1 et d 2 degrés de liberté est la distribution de

où et sont des variables aléatoires indépendantes avec des distributions du chi carré avec des degrés de liberté respectifs et .

On peut montrer que la fonction de densité de probabilité (pdf) pour X est donnée par

pour x réel > 0. Voici la fonction bêta . Dans de nombreuses applications, les paramètres d 1 et d 2 sont des entiers positifs , mais la distribution est bien définie pour les valeurs réelles positives de ces paramètres.

La fonction de distribution cumulée est

I est la fonction bêta incomplète régularisée .

L'espérance, la variance et d'autres détails sur le F( d 1 , d 2 ) sont donnés dans l'encadré ; pour d 2  > 8, l' excès de kurtosis est

Le k -ième moment d'une distribution F( d 1 , d 2 ) existe et n'est fini que lorsque 2 k < d 2 et il est égal à

  

La distribution F est une paramétrisation particulière de la distribution bêta première , également appelée distribution bêta du second type.

La fonction caractéristique est répertoriée de manière incorrecte dans de nombreuses références standard (par exemple,). L'expression correcte est

U ( a , b , z ) est la fonction hypergéométrique confluente du deuxième type.

Caractérisation

Une variable aléatoire de la distribution F avec des paramètres et se présente comme le rapport de deux variables chi-carré correctement mises à l'échelle :

  • et ont des distributions du chi carré avec et degrés de liberté respectivement, et
  • et sont indépendants .

Dans les cas où la distribution F est utilisée, par exemple dans l' analyse de la variance , l'indépendance de et peut être démontrée en appliquant le théorème de Cochran .

De manière équivalente, la variable aléatoire de la distribution F peut également être écrite

où et , est la somme des carrés des variables aléatoires de la distribution normale et est la somme des carrés des variables aléatoires de la distribution normale .

Dans un contexte fréquentiste , une distribution F mise à l'échelle donne donc la probabilité , avec la distribution F elle-même, sans aucune mise à l'échelle, en appliquant où est prise égale à . C'est le contexte dans lequel la distribution F apparaît le plus généralement dans les tests F : où l'hypothèse nulle est que deux variances normales indépendantes sont égales, et les sommes observées de certains carrés sélectionnés de manière appropriée sont ensuite examinées pour voir si leur rapport est significativement incompatible avec cette hypothèse nulle.

La quantité a la même distribution dans les statistiques bayésiennes, si un a priori de Jeffreys invariant de rééchelonnement non informatif est pris pour les probabilités a priori de et . Dans ce contexte, une distribution F échelonnée donne ainsi la probabilité postérieure , où les sommes observées et sont maintenant considérées comme connues.

Propriétés et distributions associées

  • Si et sont indépendants , alors
  • Si ( distribution gamma ) sont indépendantes, alors
  • Si ( distribution bêta ) alors
  • De manière équivalente, si , alors .
  • Si , alors a une distribution bêta première : .
  • Si alors a la distribution chi-carré
  • est équivalent à la distribution en T de Hotelling à l'échelle .
  • Si alors .
  • Si — la distribution t de Student — alors :
  • La distribution F est un cas particulier de la distribution de Pearson de type 6
  • Si et sont indépendants, avec Laplace( μ , b ) alors
  • Si alors ( distribution z de Fisher )
  • La distribution F non centrale se simplifie en la distribution F si .
  • La distribution F doublement non centrale se simplifie en la distribution F si
  • Si est le quantile p pour et est le quantile pour , alors

Voir également

Les références

Liens externes