Caractère fini - Finite character

En mathématiques , une famille de jeux est de caractère fini si pour chaque , appartient à si et seulement si chaque fini sous - ensemble de appartient . C'est, ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. Pour chacun , chaque sous- ensemble fini de appartient à .${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$
2. Si chaque sous-ensemble fini d'un ensemble donné appartient à , alors appartient à .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Propriétés

Une famille d'ensembles de caractères finis bénéficie des propriétés suivantes: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. Pour chaque , chaque (fini ou infini) sous - ensemble de appartient .${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$
2. Toute famille non vide de caractère fini a un élément maximal par rapport à l' inclusion ( lemme de Tukey ): Dans , partiellement ordonnée par inclusion, l' union de toute chaîne d'éléments de appartient également , donc, par le lemme de Zorn , contient au moins un élément maximal .${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Exemple

Soit un espace vectoriel , et soit la famille des sous-ensembles linéairement indépendants de . Alors est une famille de caractères finis (car un sous - ensemble est linéairement dépendant si et seulement si a un sous-ensemble fini qui est linéairement dépendant). Par conséquent, dans chaque espace vectoriel, il existe une famille maximale d'éléments linéairement indépendants. Comme une famille maximale est une base vectorielle , chaque espace vectoriel a une base vectorielle (éventuellement infinie). ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X \ subseteq V}$${\ displaystyle X}$

Voir également

• Ensemble héréditaire fini

Références

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. L'axiome du choix . Publications de Douvres . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M .; Montage, Melvin (2010) [1996]. Définissez la théorie et le problème du continuum . Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-47484-7.

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