Champ fini - Finite field

En mathématiques , un corps fini ou corps de Galois (ainsi nommé en l'honneur d' Évariste Galois ) est un corps qui contient un nombre fini d' éléments . Comme pour tout corps, un corps fini est un ensemble sur lequel les opérations de multiplication, d'addition, de soustraction et de division sont définies et satisfont à certaines règles de base. Les exemples les plus courants de corps finis sont donnés par les entiers mod p lorsque p est un nombre premier .

Les champs finis sont fondamentaux dans un certain nombre de domaines des mathématiques et de l' informatique , notamment la théorie des nombres , la géométrie algébrique , la théorie de Galois , la géométrie finie , la cryptographie et la théorie du codage .

Propriétés

Un corps fini est un ensemble fini qui est un corps ; cela signifie que la multiplication, l'addition, la soustraction et la division (hors division par zéro) sont définies et satisfont aux règles de l'arithmétique connues sous le nom d' axiomes des champs .

Le nombre d'éléments d'un corps fini est appelé son ordre ou, parfois, sa taille . Un corps fini d'ordre q existe si et seulement si q est une puissance première p k (où p est un nombre premier et k est un entier positif). Dans un champ d'ordre p k , l'ajout de p copies de n'importe quel élément donne toujours zéro ; c'est-à-dire que la caractéristique du champ est p .

Si q = p k , tous les corps d'ordre q sont isomorphes (voir § Existence et unicité ci-dessous). De plus, un champ ne peut pas contenir deux sous- champs finis différents avec le même ordre. On peut donc identifier tous les corps finis avec le même ordre, et ils sont notés sans ambiguïté , F q ou GF( q ) , où les lettres GF signifient "champ de Galois".

Dans un corps fini d'ordre q , le polynôme X qX a tous les q éléments du corps fini comme racines . Les éléments non nuls d'un corps fini forment un groupe multiplicatif . Ce groupe est cyclique , de sorte que tous les éléments non nuls peuvent être exprimés sous forme de puissances d'un seul élément appelé élément primitif du champ. (En général, il y aura plusieurs éléments primitifs pour un champ donné.)

Les exemples les plus simples de corps finis sont les corps d'ordre premier : pour chaque nombre premier p , le corps premier d'ordre p , , peut être construit comme les entiers modulo p , Z / p Z .

Les éléments du corps premier d'ordre p peuvent être représentés par des entiers compris entre 0, ..., p − 1 . La somme, la différence et le produit sont le reste de la division par p du résultat de l'opération entière correspondante. L'inverse multiplicatif d'un élément peut être calculé en utilisant l'algorithme euclidien étendu (voir Algorithme euclidien étendu § Entiers modulaires ).

Soit F un corps fini. Pour tout élément x de F et tout entier n , notons nx la somme de n copies de x . Le n le moins positif tel que n 1 = 0 est la caractéristique p du champ. Ceci permet de définir une multiplication d'un élément k de GF( p ) par un élément x de F en choisissant un entier représentatif de k . Cette multiplication fait F dans un GF ( p ) - espace vectoriel . Il s'ensuit que le nombre d'éléments de F est p n pour un nombre entier n .

L' identité

(parfois appelé le rêve de la première année ) est vrai dans un domaine de caractéristique p . Cela découle du théorème binomial , car chaque coefficient binomial du développement de ( x + y ) p , à l'exception du premier et du dernier, est un multiple de p .

D'après le petit théorème de Fermat , si p est un nombre premier et x est dans le corps GF( p ) alors x p = x . Cela implique l'égalité

pour les polynômes sur GF( p ) . Plus généralement, tout élément de GF( p n ) satisfait l'équation polynomiale x p nx = 0 .

Toute extension de corps fini d'un corps fini est séparable et simple. Autrement dit, si E est un corps fini et F est un sous-corps de E , alors E est obtenu à partir de F en adjoignant un seul élément dont le polynôme minimal est séparable. Pour utiliser un jargon, les corps finis sont parfaits .

Une structure algébrique plus générale qui satisfait tous les autres axiomes d'un corps, mais dont la multiplication n'a pas besoin d'être commutative, est appelée un anneau de division (ou parfois skew field ). D'après le petit théorème de Wedderburn , tout anneau de division finie est commutatif, et est donc un corps fini.

Existence et unicité

Soit q = p n une puissance première et F le champ de division du polynôme

sur le champ premier GF( p ) . Cela signifie que F est un corps fini d'ordre le plus bas, dans lequel P a q racines distinctes (la dérivée formelle de P est P = −1 , impliquant que pgcd( P , P ) = 1 , ce qui implique en général que le le champ de fractionnement est une extension séparable de l'original). L' identité ci-dessus montre que la somme et le produit de deux racines de P sont des racines de P , ainsi que l'inverse multiplicatif d'une racine de P . Autrement dit, les racines de P forment un champ d'ordre q , qui est égal à F par la minimalité du champ de dédoublement.

L'unicité à isomorphisme près des corps de division implique donc que tous les corps d'ordre q sont isomorphes. De plus, si un champ F a un champ d'ordre q = p k comme sous-champ, ses éléments sont les racines q de X qX , et F ne peut pas contenir un autre sous-champ d'ordre q .

En résumé, nous avons le théorème de classification suivant prouvé pour la première fois en 1893 par EH Moore :

L'ordre d'un corps fini est une puissance première. Pour chaque puissance première q il existe des champs d'ordre q , et ils sont tous isomorphes. Dans ces domaines, chaque élément satisfait
et le polynôme X qX facteurs comme

Il s'ensuit que GF( p n ) contient un sous-corps isomorphe à GF( p m ) si et seulement si m est un diviseur de n ; dans ce cas, ce sous-champ est unique. En fait, le polynôme X p mX divise X p nX si et seulement si m est un diviseur de n .

Construction explicite

Champs non premiers

Etant donné une puissance première q = p n avec p premier et n > 1 , le champ GF( q ) peut être explicitement construit de la manière suivante. On choisit d'abord un polynôme irréductible P dans GF( p )[ X ] de degré n (un tel polynôme irréductible existe toujours). Alors l' anneau du quotient

de l'anneau polynomial GF( p )[ X ] par l'idéal engendré par P est un corps d'ordre q .

Plus explicitement, les éléments de GF( q ) sont les polynômes sur GF( p ) dont le degré est strictement inférieur à n . L'addition et la soustraction sont celles de polynômes sur GF( p ) . Le produit de deux éléments est le reste de la division euclidienne par P du produit dans GF( p )[ X ] . L'inverse multiplicatif d'un élément non nul peut être calculé avec l'algorithme d'Euclide étendu ; voir Algorithme euclidien étendu § Extensions de champs algébriques simples .

Excepté dans la construction de GF(4) , il y a plusieurs choix possibles pour P , qui produisent des résultats isomorphes. Pour simplifier la division euclidienne, pour P on choisit couramment des polynômes de la forme

qui rendent les divisions euclidiennes nécessaires très efficaces. Cependant, pour certains champs, typiquement dans la caractéristique 2 , des polynômes irréductibles de la forme X n + aX + b peuvent ne pas exister. En caractéristique 2 , si le polynôme X n + X + 1 est réductible, il est recommandé de choisir X n + X k + 1 avec le plus petit k possible qui rend le polynôme irréductible. Si tous ces trinômes sont réductibles, on choisit des "pentanômes" X n + X a + X b + X c + 1 , car les polynômes de degré supérieur à 1 , à nombre pair de termes, ne sont jamais irréductibles en caractéristique 2 , ayant 1 comme racine.

Un choix possible pour un tel polynôme est donné par les polynômes de Conway . Ils assurent une certaine compatibilité entre la représentation d'un champ et les représentations de ses sous-champs.

Dans les sections suivantes, nous montrerons comment la méthode de construction générale décrite ci-dessus fonctionne pour les petits corps finis.

Champ avec quatre éléments

Le plus petit corps non premier est le corps à quatre éléments, qui est communément noté GF(4) ou Il se compose des quatre éléments tels que et pour chaque autre opération résulte facilement déductible de la loi de distribution . Voir ci-dessous pour les tableaux de fonctionnement complets.

Ceci peut être déduit comme suit des résultats de la section précédente.

Sur GF(2) , il n'y a qu'un seul polynôme irréductible de degré2 :

Par conséquent, pour GF(4) la construction de la section précédente doit impliquer ce polynôme, et

Soit α une racine de ce polynôme dans GF(4) . Cela implique que

α 2 = 1 + α ,

et que α et 1 + α sont les éléments de GF(4) qui ne sont pas dans GF(2) . Les tableaux des opérations dans GF(4) en découlent et sont les suivants :

Addition x + y Multiplication xy Division x / y
xy 0 1 ?? 1 + α
0 0 1 ?? 1 + α
1 1 0 1 + α ??
?? ?? 1 + α 0 1
1 + α 1 + α ?? 1 0
xy 0 1 ?? 1 + α
0 0 0 0 0
1 0 1 ?? 1 + α
?? 0 ?? 1 + α 1
1 + α 0 1 + α 1 ??
xy 1 ?? 1 + α
0 0 0 0
1 1 1 + α ??
?? ?? 1 1 + α
1 + α 1 + α ?? 1

Une table de soustraction n'est pas donnée, car la soustraction est identique à l'addition, comme c'est le cas pour tout champ de caractéristique 2. Dans la troisième table, pour la division de x par y , les valeurs de x doivent être lues dans la colonne de gauche , et les valeurs de y dans la rangée supérieure. (Parce que 0 z = 0 pour chaque z dans chaque anneau, la division par 0 doit rester indéfinie.)

La carte

est le champ non trivial automorphismes, appelé Frobenius automorphismes , qui envoie α dans la seconde racine 1 + α de ce qui précède polynôme irréductible

GF( p 2 ) pour un nombre premier impair p

Pour appliquer la construction générale ci - dessus des corps finis dans le cas de GF( p 2 ) , il faut trouver un polynôme irréductible de degré 2. Pour p = 2 , cela a été fait dans la section précédente. Si p est un nombre premier impair, il existe toujours des polynômes irréductibles de la forme X 2r , avec r dans GF( p ) .

Plus précisément, le polynôme X 2r est irréductible sur GF( p ) si et seulement si r est un non-résidu quadratique modulo p (c'est presque la définition d'un non-résidu quadratique). Il y a p − 1/2non-résidus quadratiques modulo p . Par exemple, 2 est un non-résidu quadratique pour p = 3, 5, 11, 13, ... , et 3 est un non-résidu quadratique pour p = 5, 7, 17, ... . Si p 3 mod 4 , soit p = 3, 7, 11, 19, ... , on peut choisir −1 ≡ p − 1 comme non-résidu quadratique, ce qui permet d'avoir un polynôme irréductible X très simple 2 + 1 .

Ayant choisi un non-résidu quadratique r , soit α une racine carrée symbolique de r , c'est-à-dire un symbole qui a la propriété α 2 = r , de même que le nombre complexe i est une racine carrée symbolique de −1 . Alors, les éléments de GF( p 2 ) sont toutes les expressions linéaires

avec a et b dans GF( p ) . Les opérations sur GF( p 2 ) sont définies comme suit (les opérations entre éléments de GF( p ) représentés par des lettres latines sont les opérations dans GF( p ) ) :

GF(8) et GF(27)

Le polynôme

est irréductible sur GF(2) et GF(3) , c'est-à-dire qu'elle est irréductible modulo 2 et 3 (pour le montrer, il suffit de montrer qu'elle n'a pas de racine dans GF(2) ni dans GF(3) ). Il s'ensuit que les éléments de GF(8) et GF(27) peuvent être représentés par des expressions

a , b , c sont des éléments de GF(2) ou GF(3) (respectivement), et est un symbole tel que

L'addition, l'inverse additif et la multiplication sur GF(8) et GF(27) peuvent ainsi être définis comme suit ; dans les formules suivantes, les opérations entre les éléments de GF(2) ou GF(3) , représentées par des lettres latines, sont respectivement les opérations dans GF(2) ou GF(3) :

GF(16)

Le polynôme

est irréductible sur GF(2) , c'est-à-dire irréductible modulo 2 . Il s'ensuit que les éléments de GF(16) peuvent être représentés par des expressions

a , b , c , d sont soit 0 ou 1 (éléments de GF (2) ), et α est un symbole de telle sorte que

(c'est-à-dire que α est défini comme une racine du polynôme irréductible donné). Comme la caractéristique de GF(2) est 2 , chaque élément est son inverse additif dans GF(16) . L'addition et la multiplication sur GF(16) peuvent être définies comme suit ; dans les formules suivantes, les opérations entre éléments de GF(2) , représentées par des lettres latines sont les opérations de GF(2) .

Structure multiplicative

L'ensemble des éléments non nuls dans GF( q ) est un groupe abélien sous la multiplication, d'ordre q – 1 . D'après le théorème de Lagrange , il existe un diviseur k de q – 1 tel que x k = 1 pour tout x non nul dans GF( q ) . Comme l'équation x k = 1 a au plus k solutions dans n'importe quel domaine, q – 1 est la valeur la plus basse possible pour k . Le théorème de structure des groupes abéliens finis implique que ce groupe multiplicatif est cyclique , c'est-à-dire que tous les éléments non nuls sont des puissances d'un seul élément. En résumé:

Le groupe multiplicatif des éléments non nuls dans GF( q ) est cyclique, et il existe un élément a , tel que les q – 1 éléments non nuls de GF( q ) sont a , a 2 , ..., a q -2 , a q -1 = 1 .

Un tel élément a est appelé élément primitif . A moins que q = 2, 3 , l'élément primitif n'est pas unique. Le nombre d'éléments primitifs est φ ( q - 1)φ est la fonction indicatrice d'Euler .

Le résultat ci-dessus implique que x q = x pour chaque x dans GF( q ) . Le cas particulier où q est premier est le petit théorème de Fermat .

Logarithme discret

Si a est un élément primitif dans GF( q ) , alors pour tout élément non nul x dans F , il existe un unique entier n avec 0 ≤ nq − 2 tel que

x = un n .

Cet entier n est appelé le logarithme discret de x en base a .

Alors qu'un n peut être calculé très rapidement, par exemple en utilisant l' exponentiation par élévation au carré , il n'existe aucun algorithme efficace connu pour calculer l'opération inverse, le logarithme discret. Cela a été utilisé dans divers protocoles cryptographiques , voir Logarithme discret pour plus de détails.

Lorsque les éléments non nuls de GF( q ) sont représentés par leurs logarithmes discrets, la multiplication et la division sont faciles, car elles se réduisent à l'addition et à la soustraction modulo q – 1 . Cependant, l'addition revient à calculer le logarithme discret de a m + a n . L'identité

un m + un n = un n ( un mn + 1)

permet de résoudre ce problème en construisant le tableau des logarithmes discrets de a n + 1 , appelés logarithmes de Zech , pour n = 0, ..., q − 2 (il est commode de définir le logarithme discret de zéro comme étant − ∞ ).

Les logarithmes de Zech sont utiles pour les grands calculs, tels que l'algèbre linéaire sur des champs de taille moyenne, c'est-à-dire des champs suffisamment grands pour rendre les algorithmes naturels inefficaces, mais pas trop grands, car il faut pré-calculer une table de la même taille comme l'ordre du champ.

Les racines de l'unité

Tout élément non nul d'un corps fini est une racine de l'unité , car x q −1 = 1 pour chaque élément non nul de GF( q ) .

Si n est un entier positif, une n ième racine primitive de l'unité est une solution de l'équation x n = 1 qui n'est pas une solution de l'équation x m = 1 pour tout entier positif m < n . Si a est une n ième racine primitive de l'unité dans un corps F , alors F contient toutes les n racines de l'unité, qui sont 1, a , a 2 , ..., a n −1 .

Le champ GF ( q ) contient un n ième racine primitive de l' unité si et seulement si n est un diviseur de q - 1 ; si n est un diviseur de q − 1 , alors le nombre de racines n ième primitives de l'unité dans GF( q ) est φ ( n ) ( fonction totient d'Euler ). Le nombre de racines n ème de l'unité dans GF( q ) est pgcd( n , q − 1) .

Dans un corps de caractéristique p , chaque ( np ) ième racine de l'unité est aussi une n ième racine de l'unité. Il s'ensuit que les racines primitives ( np ) ème de l' unité n'existent jamais dans un corps de caractéristique p .

D'autre part, si n est coprime à p , les racines de la n ième du polynôme cyclotomique sont distincts dans chaque corps de caractéristique p , que ce polynôme est un diviseur de X n - 1 , dont le discriminant est différent de zéro modulo p . Il s'ensuit que le n ième polynôme cyclotomique se divise sur GF( p ) en polynômes irréductibles distincts qui ont tous le même degré, disons d , et que GF( p d ) est le plus petit corps de caractéristique p qui contient les n ième racines primitives de unité.

Exemple : GF(64)

Le champ GF(64) a plusieurs propriétés intéressantes que les champs plus petits ne partagent pas : il a deux sous-champs tels qu'aucun n'est contenu dans l'autre ; tous les générateurs (éléments avec un polynôme minimal de degré 6 sur GF(2) ) ne sont pas des éléments primitifs ; et les éléments primitifs ne sont pas tous conjugués sous le groupe de Galois .

L'ordre de ce champ étant 2 6 , et les diviseurs de 6 étant 1, 2, 3, 6 , les sous-champs de GF(64) sont GF(2) , GF(2 2 ) = GF(4) , GF(2 3 ) = GF(8) , et GF(64) lui-même. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux , l'intersection de GF(4) et GF(8) dans GF(64) est le champ premier GF(2) .

L'union de GF(4) et GF(8) a donc 10 éléments. Les 54 éléments restants de GF(64) génèrent GF(64) dans le sens où aucun autre sous-champ n'en contient. Il s'ensuit que ce sont des racines de polynômes irréductibles de degré 6 sur GF(2) . Ceci implique que, sur GF(2) , il y a exactement 9 =54/6polynômes moniques irréductibles de degré 6 . Ceci peut être vérifié en factorisant X 64X sur GF(2) .

Les éléments de GF(64) sont les racines n ième primitives de l'unité pour quelques n divisant 63 . Comme les racines 3e et 7e de l'unité appartiennent respectivement à GF(4) et GF(8) , les 54 générateurs sont les racines n ième primitives de l'unité pour certains n dans {9, 21, 63} . La fonction totient d'Euler montre qu'il y a 6 racines 9 e primitives d'unité, 12 racines 21 e primitives d'unité et 36 racines 63 e primitives d'unité. En additionnant ces nombres, on retrouve à nouveau 54 éléments.

En factorisant les polynômes cyclotomiques sur GF(2) , on trouve que :

  • Les six 9 e racines primitives de l'unité sont des racines de
et sont tous conjugués sous l'action du groupe de Galois.
  • Les douze 21 premières racines de l'unité sont des racines de
Ils forment deux orbites sous l'action du groupe de Galois. Comme les deux facteurs sont réciproques , une racine et son inverse (multiplicatif) n'appartiennent pas à la même orbite.
  • Les 36 éléments primitifs de GF(64) sont les racines de
Ils se sont divisés en 6 orbites de 6 éléments sous l'action du groupe de Galois.

Cela montre que le meilleur choix pour construire GF(64) est de le définir comme GF(2)[ X ] / ( X 6 + X + 1) . En fait, ce générateur est un élément primitif, et ce polynôme est le polynôme irréductible qui produit la division euclidienne la plus facile.

Automorphisme de Frobenius et théorie de Galois

Dans cette section, p est un nombre premier et q = p n est une puissance de p .

Dans GF( q ) , l' identité ( x + y ) p = x p + y p implique que l'application

est un GF( p ) - endomorphisme linéaire et un automorphisme de corps de GF( q ) , qui fixe tout élément du sous-corps GF( p ) . On l'appelle l' automorphisme de Frobenius , d'après Ferdinand Georg Frobenius .

En notant φ k la composition de φ avec lui-même k fois, on a

Il a été montré dans la section précédente que φ n est l'identité. Pour 0 < k < n , l'automorphisme φ k n'est pas l'identité, comme, sinon, le polynôme

aurait plus de p k racines.

Il n'y a pas d'autres GF( p ) -automorphismes de GF( q ) . En d'autres termes, GF( p n ) a exactement n GF( p ) -automorphismes, qui sont

En termes de théorie de Galois , cela signifie que GF( p n ) est une extension galoisienne de GF( p ) , qui possède un groupe de Galois cyclique .

Le fait que l'application de Frobenius soit surjective implique que tout corps fini est parfait .

Factorisation polynomiale

Si F est un corps fini, un polynôme monique non constant à coefficients dans F est irréductible sur F , s'il n'est pas le produit de deux polynômes moniques non constants, à coefficients dans F .

Comme chaque anneau polynomial sur un corps est un domaine de factorisation unique , chaque polynôme monique sur un corps fini peut être factorisé d'une manière unique (jusqu'à l'ordre des facteurs) en un produit de polynômes moniques irréductibles.

Il existe des algorithmes efficaces pour tester l'irréductibilité polynomiale et factoriser les polynômes sur un corps fini. Ils sont une étape clé pour factoriser des polynômes sur les entiers ou les nombres rationnels . Au moins pour cette raison, chaque système de calcul formel a des fonctions pour factoriser des polynômes sur des corps finis, ou, au moins, sur des corps premiers finis.

Polynômes irréductibles d'un degré donné

Le polynôme

facteurs en facteurs linéaires sur un corps d'ordre q . Plus précisément, ce polynôme est le produit de tous les polynômes moniques de degré un sur un corps d'ordre q .

Cela implique que, si q = p n alors X qX est le produit de tous les polynômes irréductibles moniques sur GF( p ) , dont le degré divise n . En fait, si P est un facteur irréductible sur GF( p ) de X qX , son degré divise n , car son champ de séparation est contenu dans GF( p n ) . Inversement, si P est un polynôme monique irréductible sur GF( p ) de degré d divisant n , il définit une extension de champ de degré d , qui est contenue dans GF( p n ) , et toutes les racines de P appartiennent à GF( p n ) , et sont des racines de X qX ; donc P divise X qX . Comme X qX n'a pas de facteur multiple, il est donc le produit de tous les polynômes moniques irréductibles qui le divisent.

Cette propriété est utilisée pour calculer le produit des facteurs irréductibles de chaque degré de polynômes sur GF( p ) ; voir Factorisation à degrés distincts .

Nombre de polynômes moniques irréductibles d'un degré donné sur un corps fini

Le nombre N ( q , n ) de polynômes moniques irréductibles de degré n sur GF( q ) est donné par

μ est la fonction de Möbius . Cette formule est presque une conséquence directe de la propriété ci-dessus de X qX .

Par la formule ci-dessus, le nombre de polynômes irréductibles (pas nécessairement moniques) de degré n sur GF( q ) est ( q − 1) N ( q , n ) .

Une borne inférieure (légèrement plus simple) pour N ( q , n ) est

On peut facilement en déduire que, pour tout q et tout n , il existe au moins un polynôme irréductible de degré n sur GF( q ) . Cette borne inférieure est nette pour q = n = 2 .

Applications

En cryptographie , la difficulté du problème du logarithme discret dans les corps finis ou dans les courbes elliptiques est à la base de plusieurs protocoles largement utilisés, comme le protocole Diffie-Hellman . Par exemple, en 2014, une connexion Internet sécurisée à Wikipedia impliquait la courbe elliptique du protocole Diffie-Hellman ( ECDHE ) sur un grand champ fini. En théorie du codage , de nombreux codes sont construits comme des sous - espaces de espaces vectoriels sur les corps finis.

Les champs finis sont utilisés par de nombreux codes de correction d'erreurs , tels que le code de correction d'erreurs Reed-Solomon ou le code BCH . Le champ fini a presque toujours la caractéristique de 2, puisque les données informatiques sont stockées en binaire. Par exemple, un octet de données peut être interprété comme un élément de . Une exception est le code à barres PDF417 , qui est . Certains processeurs ont des instructions spéciales qui peuvent être utiles pour les champs finis de caractéristique 2, généralement des variations de produit sans retenue .

Les corps finis sont largement utilisés en théorie des nombres , car de nombreux problèmes sur les nombres entiers peuvent être résolus en les réduisant modulo un ou plusieurs nombres premiers . Par exemple, les algorithmes connus les plus rapides pour la factorisation polynomiale et l'algèbre linéaire sur le corps des nombres rationnels procèdent par réduction modulo un ou plusieurs nombres premiers, puis reconstruction de la solution en utilisant le théorème des restes chinois , le lifting de Hensel ou l' algorithme LLL .

De même, de nombreux problèmes théoriques de la théorie des nombres peuvent être résolus en considérant leurs réductions modulo certains ou tous les nombres premiers. Voir, par exemple, le principe de Hasse . De nombreux développements récents de la géométrie algébrique ont été motivés par le besoin d'augmenter la puissance de ces méthodes modulaires. La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat est un exemple d'un résultat profond impliquant de nombreux outils mathématiques, y compris les corps finis.

Les conjectures de Weil concernent le nombre de points sur les variétés algébriques sur les corps finis et la théorie a de nombreuses applications, y compris les estimations de sommes exponentielles et de caractères .

Les champs finis ont une large application en combinatoire , deux exemples bien connus étant la définition des graphes de Paley et la construction associée pour les matrices d' Hadamard . En arithmétique combinatoire , les corps finis et les modèles de corps finis sont largement utilisés, comme dans le théorème de Szemerédi sur les progressions arithmétiques.

Rallonges

Fermeture algébrique

Un corps fini F n'est pas algébriquement clos : le polynôme

n'a pas de racines à F , étant donné que f  ( α ) = 1 pour tout α dans F .

Correction d'une fermeture algébrique de . L'application qui envoie chaque x à x q est appelée automorphisme de Frobenius de puissance q . Le sous-champ de fixé par le n ième itéré de est l'ensemble des zéros du polynôme x q nx , qui a des racines distinctes puisque sa dérivée dans est −1 , qui n'est jamais nulle. Par conséquent, ce sous-champ a q n éléments, il s'agit donc de l'unique copie de in . Toute extension finie de in est ceci pour un certain n , donc

Le groupe de Galois absolu de est le groupe profini

Comme tout groupe de Galois infini, peut être équipé de la topologie de Krull , et alors les isomorphismes qui viennent d'être donnés sont des isomorphismes de groupes topologiques . L'image de dans le groupe est le générateur 1 , correspond donc à . Il s'ensuit que a un ordre infini et génère un sous-groupe dense de , pas le groupe entier, car l'élément a un ordre infini et génère le sous-groupe dense On dit que c'est un générateur topologique de .

Fermeture quasi-algébrique

Bien que les corps finis ne soient pas algébriquement clos, ils sont quasi-algébriquement clos , ce qui signifie que tout polynôme homogène sur un corps fini a un zéro non trivial dont les composantes sont dans le corps si le nombre de ses variables est supérieur à son degré. C'était une conjecture d' Artin et Dickson prouvée par Chevalley (voir le théorème Chevalley-Warning ).

Le petit théorème de Wedderburn

Un anneau de division est une généralisation de champ. Les anneaux de division ne sont pas supposés commutatifs. Il n'y a pas d'anneaux de division finie non commutatifs : le petit théorème de Wedderburn stipule que tous les anneaux de division finie sont commutatifs, donc des corps finis. Le résultat est valable même si nous relâchons l'associativité et considérons des anneaux alternatifs , par le théorème d'Artin-Zorn .

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes