Fondements de la géométrie - Foundations of geometry

Les fondements de la géométrie sont l'étude des géométries en tant que systèmes axiomatiques . Il existe plusieurs ensembles d'axiomes qui donnent naissance à la géométrie euclidienne ou à des géométries non euclidiennes . Celles-ci sont fondamentales pour l'étude et d'importance historique, mais il existe un grand nombre de géométries modernes non euclidiennes qui peuvent être étudiées de ce point de vue. Le terme géométrie axiomatique peut être appliqué à toute géométrie développée à partir d'un système d'axiomes, mais est souvent utilisé pour désigner la géométrie euclidienne étudiée de ce point de vue. L'exhaustivité et l'indépendance des systèmes axiomatiques généraux sont des considérations mathématiques importantes, mais il y a aussi des problèmes liés à l'enseignement de la géométrie qui entrent en jeu.

Systèmes axiomatiques

Basé sur les méthodes grecques anciennes, un système axiomatique est une description formelle d'un moyen d'établir la vérité mathématique qui découle d'un ensemble fixe d'hypothèses. Bien qu'applicable à n'importe quel domaine des mathématiques, la géométrie est la branche des mathématiques élémentaires dans laquelle cette méthode a été le plus largement appliquée avec succès.

Il y a plusieurs composants d'un système axiomatique.

  1. Les primitives (termes non définis) sont les idées les plus fondamentales. Ils incluent généralement des objets et des relations. En géométrie, les objets sont des choses comme des points , des lignes et des plans tandis qu'une relation fondamentale est celle d' incidence - d'un objet rencontrant ou se joignant à un autre. Les termes eux-mêmes ne sont pas définis. Hilbert a fait remarquer un jour qu'au lieu de points, de lignes et de plans, on pourrait tout aussi bien parler de tables, de chaises et de chopes à bière. Son point de vue étant que les termes primitifs ne sont que des coquilles vides, des espaces réservés si vous voulez, et n'ont aucune propriété intrinsèque.
  2. Les axiomes (ou postulats) sont des énoncés sur ces primitives ; par exemple, deux points quelconques sont incidents ensemble avec une seule ligne (c'est-à-dire que pour deux points quelconques, il n'y a qu'une seule ligne qui les traverse tous les deux). Les axiomes sont supposés vrais et non prouvés. Ce sont les éléments constitutifs des concepts géométriques, car ils spécifient les propriétés des primitives.
  3. Les lois de la logique .
  4. Les théorèmes sont les conséquences logiques des axiomes, c'est-à-dire les énoncés qui peuvent être obtenus à partir des axiomes en utilisant les lois de la logique déductive.

Une interprétation d'un système axiomatique est une manière particulière de donner un sens concret aux primitives de ce système. Si cette association de significations rend les axiomes du système des déclarations vraies, alors l'interprétation est appelée un modèle du système. Dans un modèle, tous les théorèmes du système sont automatiquement des énoncés vrais.

Propriétés des systèmes axiomatiques

En discutant des systèmes axiomatiques, plusieurs propriétés sont souvent axées sur :

  • Les axiomes d'un système axiomatique sont dits cohérents si aucune contradiction logique ne peut en être déduite. Sauf dans les systèmes les plus simples, la cohérence est une propriété difficile à établir dans un système axiomatique. D'un autre côté, si un modèle existe pour le système axiomatique, alors toute contradiction dérivable dans le système est également dérivable dans le modèle, et le système axiomatique est aussi cohérent que tout système auquel appartient le modèle. Cette propriété (avoir un modèle) est appelée cohérence relative ou cohérence de modèle .
  • Un axiome est dit indépendant s'il ne peut pas être prouvé ou réfuté à partir des autres axiomes du système axiomatique. Un système axiomatique est dit indépendant si chacun de ses axiomes est indépendant. Si une déclaration vraie est une conséquence logique d'un système axiomatique, alors ce sera une déclaration vraie dans chaque modèle de ce système. Pour prouver qu'un axiome est indépendant des axiomes restants du système, il suffit de trouver deux modèles des axiomes restants, pour lesquels l'axiome est un énoncé vrai dans l'un et un énoncé faux dans l'autre. L'indépendance n'est pas toujours une propriété souhaitable d'un point de vue pédagogique.
  • Un système axiomatique est dit complet si chaque énoncé exprimable dans les termes du système est soit prouvable, soit a une négation prouvable. Une autre façon de dire cela est qu'aucune déclaration indépendante ne peut être ajoutée à un système axiomatique complet qui est cohérent avec les axiomes de ce système.
  • Un système axiomatique est catégorique si deux modèles du système sont isomorphes (essentiellement, il n'y a qu'un seul modèle pour le système). Un système catégorique est nécessairement complet, mais l'exhaustivité n'implique pas la catégorisation. Dans certaines situations, la catégorisation n'est pas une propriété souhaitable, car les systèmes axiomatiques catégoriques ne peuvent pas être généralisés. Par exemple, la valeur du système axiomatique pour la théorie des groupes est qu'il n'est pas catégorique, donc prouver un résultat en théorie des groupes signifie que le résultat est valable dans tous les différents modèles de la théorie des groupes et qu'il n'est pas nécessaire de réprimander le résultat dans chacun des modèles non isomorphes.

Géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne est un système mathématique attribué au mathématicien grec alexandrin Euclide , qu'il a décrit (bien que de manière non rigoureuse selon les normes modernes) dans son manuel de géométrie : les Éléments . La méthode d'Euclide consiste à supposer un petit ensemble d' axiomes intuitivement attrayants , et à en déduire de nombreuses autres propositions ( théorèmes ). Bien que de nombreux résultats d'Euclide aient été énoncés par des mathématiciens antérieurs, Euclide fut le premier à montrer comment ces propositions pouvaient s'intégrer dans un système déductif et logique complet . Les Éléments commencent par la géométrie plane, encore enseignée au secondaire comme premier système axiomatique et premiers exemples de preuve formelle . Il va à la géométrie solide de trois dimensions . Une grande partie des éléments énonce les résultats de ce qu'on appelle maintenant l' algèbre et la théorie des nombres , expliqués en langage géométrique.

Pendant plus de deux mille ans, l'adjectif « euclidien » était inutile car aucune autre sorte de géométrie n'avait été conçue. Les axiomes d'Euclide semblaient si intuitivement évidents (à l'exception possible du postulat parallèle ) que tout théorème prouvé à partir d'eux était considéré comme vrai dans un sens absolu, souvent métaphysique. Aujourd'hui, cependant, de nombreuses autres géométries qui ne sont pas euclidiennes sont connues, les premières ayant été découvertes au début du XIXe siècle.

Les éléments d'Euclide

Les éléments d'Euclide est un traité mathématique et géométrique composé de 13 livres écrits par le mathématicien grec ancien Euclide à Alexandrie c. 300 avant JC. C'est un ensemble de définitions, de postulats ( axiomes ), de propositions ( théorèmes et constructions ) et de preuves mathématiques des propositions. Les treize livres couvrent la géométrie euclidienne et la version grecque antique de la théorie des nombres élémentaires . À l'exception de Sur la sphère en mouvement d' Autolycus , les éléments sont l'un des plus anciens traités mathématiques grecs existants, et c'est le plus ancien traitement axiomatique déductif des mathématiques . Il s'est avéré déterminant dans le développement de la logique et de la science moderne .

Les Éléments d'Euclide ont été considérés comme le manuel le plus réussi et le plus influent jamais écrit. Étant d'abord mis en caractères à Venise en 1482, c'est l'une des toutes premières œuvres mathématiques à être imprimées après l'invention de l' imprimerie et a été estimé par Carl Benjamin Boyer comme étant le deuxième après la Bible dans le nombre d'éditions publiées, avec le nombre atteignant bien plus de mille. Pendant des siècles, lorsque le quadrivium a été inclus dans le programme d' études de tous les étudiants universitaires, la connaissance d'au moins une partie d'Euclide éléments était nécessaire de tous les élèves. Ce n'est qu'au XXe siècle, époque à laquelle son contenu était universellement enseigné dans d'autres manuels scolaires, qu'il a cessé d'être considéré comme quelque chose que toutes les personnes instruites avaient lu.

Les Éléments sont principalement une systématisation de la connaissance antérieure de la géométrie. On suppose que sa supériorité sur les traitements antérieurs a été reconnue, avec pour conséquence qu'il y avait peu d'intérêt à préserver les premiers, et ils sont maintenant presque tous perdus.

Les livres I-IV et VI traitent de la géométrie plane. De nombreux résultats sur les figures planes sont prouvés, par exemple, si un triangle a deux angles égaux, alors les côtés sous-tendus par les angles sont égaux. Le théorème de Pythagore est démontré.

Les livres V et VII-X traitent de la théorie des nombres, les nombres étant traités géométriquement via leur représentation sous forme de segments de droite de différentes longueurs. Des notions telles que les nombres premiers et les nombres rationnels et irrationnels sont introduites. L'infinité des nombres premiers est prouvée.

Les livres XI-XIII concernent la géométrie solide. Un résultat typique est le rapport 1:3 entre le volume d'un cône et d'un cylindre de même hauteur et de même base.

Le postulat parallèle : si deux lignes se coupent une troisième de telle manière que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors les deux lignes doivent inévitablement se couper de ce côté si elles sont suffisamment étendues.

Vers le début du premier livre des Éléments , Euclide donne cinq postulats (axiomes) pour la géométrie plane, énoncés en termes de constructions (comme traduit par Thomas Heath) :

« Que ce qui suit soit postulé » :

  1. "Tracer une ligne droite de n'importe quel point à n'importe quel point."
  2. "Produire [étendre] une ligne droite finie en continu en ligne droite."
  3. "Pour décrire un cercle avec n'importe quel centre et distance [rayon]."
  4. "Que tous les angles droits sont égaux les uns aux autres."
  5. Le postulat parallèle : « Que, si une droite tombant sur deux droites rend les angles intérieurs du même côté inférieurs à deux angles droits, les deux droites, si elles se produisent indéfiniment, se rejoignent du côté où sont les angles inférieurs à les deux angles droits."

Bien que l'énoncé des postulats d'Euclide ne fasse qu'affirmer explicitement l'existence des constructions, elles sont également supposées produire des objets uniques.

Le succès des Éléments est principalement dû à sa présentation logique de la plupart des connaissances mathématiques dont dispose Euclide. Une grande partie du matériel ne lui est pas originale, bien que la plupart des preuves soient soi-disant les siennes. Le développement systématique d'Euclide de son sujet, d'un petit ensemble d'axiomes à des résultats approfondis, et la cohérence de son approche à travers les Éléments , ont encouragé son utilisation comme manuel pendant environ 2000 ans. Les éléments influencent toujours les livres de géométrie moderne. De plus, son approche axiomatique logique et ses preuves rigoureuses restent la pierre angulaire des mathématiques.

Une critique d'Euclide

Les normes de rigueur mathématique ont changé depuis qu'Euclide a écrit les Éléments . Les attitudes et les points de vue modernes à l'égard d'un système axiomatique peuvent donner l'impression qu'Euclide était en quelque sorte négligent ou négligent dans son approche du sujet, mais c'est une illusion ahistorique. Ce n'est qu'après que les fondations aient été soigneusement examinées en réponse à l'introduction de la géométrie non euclidienne que ce que nous considérons maintenant comme des défauts a commencé à émerger. Le mathématicien et historien WW Rouse Ball a mis ces critiques en perspective, en remarquant que "le fait que pendant deux mille ans [les Éléments ] aient été le manuel habituel sur le sujet soulève une forte présomption qu'il n'est pas inapproprié à cette fin".

Certains des principaux problèmes liés à la présentation d'Euclide sont :

  • Manque de reconnaissance du concept de termes primitifs , d'objets et de notions qui doivent être laissés indéfinis dans le développement d'un système axiomatique.
  • L'utilisation de la superposition dans certaines preuves sans qu'il y ait une justification axiomatique de cette méthode.
  • Absence d'un concept de continuité, qui est nécessaire pour prouver l'existence de certains points et lignes qu'Euclide construit.
  • Manque de clarté quant à savoir si une ligne droite est infinie ou sans frontière dans le deuxième postulat.
  • Absence du concept d'entre- deux utilisé, entre autres, pour distinguer l'intérieur et l'extérieur de diverses figures.

La liste d'axiomes d'Euclide dans les Éléments n'était pas exhaustive, mais représentait les principes qui semblaient les plus importants. Ses preuves invoquent souvent des notions axiomatiques qui n'étaient pas initialement présentées dans sa liste d'axiomes. Il ne s'égare pas et ne prouve pas des choses erronées à cause de cela, puisqu'il se sert d'hypothèses implicites dont la validité paraît justifiée par les schémas qui accompagnent ses démonstrations. Les mathématiciens ultérieurs ont incorporé les hypothèses axiomatiques implicites d'Euclide dans la liste des axiomes formels, étendant ainsi considérablement cette liste.

Par exemple, dans la première construction du livre 1, Euclide a utilisé une prémisse qui n'a été ni postulée ni prouvée : que deux cercles dont les centres se trouvent à la distance de leur rayon se couperont en deux points. Plus tard, dans la quatrième construction, il a utilisé la superposition (déplacer les triangles les uns sur les autres) pour prouver que si deux côtés et leurs angles sont égaux alors ils sont congrus ; au cours de ces considérations, il utilise quelques propriétés de superposition, mais ces propriétés ne sont pas décrites explicitement dans le traité. Si la superposition doit être considérée comme une méthode valide de preuve géométrique, toute la géométrie serait pleine de telles preuves. Par exemple, les propositions I.1 à I.3 peuvent être prouvées trivialement en utilisant la superposition.

Pour résoudre ces problèmes dans le travail d'Euclide, les auteurs ultérieurs ont tenté soit de combler les trous dans la présentation d'Euclide – la plus notable de ces tentatives est due à D. Hilbert – soit d'organiser le système d'axiomes autour de différents concepts, comme l' a fait GD Birkhoff. .

Pasch et Peano

Le mathématicien allemand Moritz Pasch (1843-1930) a été le premier à accomplir la tâche de mettre la géométrie euclidienne sur une base axiomatique solide. Dans son livre Vorlesungen über neuere Geometrie publié en 1882, Pasch a posé les bases de la méthode axiomatique moderne. Il est à l'origine du concept de notion primitive (qu'il a appelé Kernbegriffe ) et, avec les axiomes ( Kernsätzen ), il construit un système formel libre de toute influence intuitive. Selon Pasch, le seul endroit où l'intuition devrait jouer un rôle est de décider ce que devraient être les notions et les axiomes primitifs. Ainsi, pour Pasch, le point est une notion primitive mais la ligne (ligne droite) ne l'est pas, car nous avons une bonne intuition sur les points mais personne n'a jamais vu ou fait l'expérience d'une ligne infinie. La notion primitive que Pasch utilise à sa place est segment de ligne .

Pasch a observé que l'ordre des points sur une ligne (ou de manière équivalente les propriétés de confinement des segments de ligne) n'est pas correctement résolu par les axiomes d'Euclide ; ainsi, le théorème de Pasch , affirmant que si deux relations de confinement de segment de droite sont vraies, une troisième est également vraie, ne peut pas être prouvé à partir des axiomes d'Euclide. L' axiome de Pasch connexe concerne les propriétés d'intersection des lignes et des triangles.

Le travail de Pasch sur les fondations a établi la norme de rigueur, non seulement en géométrie mais aussi dans le contexte plus large des mathématiques. Ses idées révolutionnaires sont maintenant si banales qu'il est difficile de se rappeler qu'elles ont eu un seul créateur. Le travail de Pasch a directement influencé de nombreux autres mathématiciens, en particulier D. Hilbert et le mathématicien italien Giuseppe Peano (1858-1932). Le travail de 1889 de Peano sur la géométrie, en grande partie une traduction du traité de Pasch dans la notation de la logique symbolique (que Peano a inventée), utilise les notions primitives de point et d' entre-deux . Peano rompt le lien empirique dans le choix des notions et des axiomes primitifs que Pasch exigeait. Pour Peano, l'ensemble du système est purement formel, séparé de tout apport empirique.

Pieri et l'école italienne des géomètres

Le mathématicien italien Mario Pieri (1860-1913) a adopté une approche différente et a considéré un système dans lequel il n'y avait que deux notions primitives, celle de point et de mouvement . Pasch avait utilisé quatre primitives et Peano l'avait réduit à trois, mais ces deux approches reposaient sur un certain concept d'entre-deux que Pieri a remplacé par sa formulation du mouvement . En 1905, Pieri a donné le premier traitement axiomatique de la géométrie projective complexe qui n'a pas commencé par construire une véritable géométrie projective.

Pieri faisait partie d'un groupe de géomètres et de logiciens italiens que Peano avait réunis autour de lui à Turin. Ce groupe d'assistants, de collègues juniors et d'autres se sont consacrés à la réalisation du programme logico-géométrique de Peano consistant à poser les fondements de la géométrie sur une base axiomatique solide basée sur le symbolisme logique de Peano. Outre Pieri, Burali-Forti , Padoa et Fano faisaient partie de ce groupe. En 1900, deux conférences internationales se sont tenues dos à dos à Paris, le Congrès international de philosophie et le deuxième Congrès international des mathématiciens . Ce groupe de mathématiciens italiens était très présent lors de ces congrès, poussant leur agenda axiomatique. Padoa a donné un discours très apprécié et Peano, au cours de la période de questions après le célèbre discours de David Hilbert sur les problèmes non résolus , a fait remarquer que ses collègues avaient déjà résolu le deuxième problème de Hilbert.

Les axiomes de Hilbert

David Hilbert

À l'Université de Göttingen, au cours du semestre d'hiver 1898-1899, l'éminent mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) a présenté un cours de conférences sur les fondements de la géométrie. À la demande de Felix Klein , le professeur Hilbert fut chargé de rédiger les notes de cours de ce cours à temps pour la cérémonie d'inauguration, à l'été 1899, d'un monument à CF Gauss et Wilhelm Weber qui devait se tenir à l'université. Les conférences réorganisées ont été publiées en juin 1899 sous le titre Grundlagen der Geometrie (Fondements de la géométrie). L'influence du livre a été immédiate. Selon Eves (1963 , pp. 384-384):

En développant un ensemble de postulats pour la géométrie euclidienne qui ne s'écarte pas trop dans l'esprit de celui d'Euclide, et en employant un minimum de symbolisme, Hilbert réussit à convaincre les mathématiciens beaucoup plus que ne l'avaient fait Pasch et Peano, de la théorie purement hypothético-déductive nature de la géométrie. Mais l'influence de l'œuvre de Hilbert allait bien au-delà, car, soutenue par la grande autorité mathématique de l'auteur, elle implanta fermement la méthode postulationnelle, non seulement dans le domaine de la géométrie, mais aussi dans pratiquement toutes les autres branches des mathématiques. L'impulsion au développement des fondements des mathématiques fournie par le petit livre de Hilbert est difficile à surestimer. Manquant de l'étrange symbolisme des œuvres de Pasch et Peano, l'œuvre de Hilbert peut être lue, en grande partie, par n'importe quel étudiant intelligent de la géométrie du lycée.

Il est difficile de préciser les axiomes utilisés par Hilbert sans se référer à l'historique des publications des Grundlagen puisque Hilbert les a changés et modifiés plusieurs fois. La monographie originale a été rapidement suivie d'une traduction française, dans laquelle Hilbert a ajouté V.2, l'axiome de complétude. Une traduction anglaise, autorisée par Hilbert, a été réalisée par EJ Townsend et protégée par copyright en 1902. Cette traduction a incorporé les modifications apportées à la traduction française et est donc considérée comme une traduction de la 2e édition. Hilbert continua d'apporter des modifications au texte et plusieurs éditions parurent en allemand. La 7e édition est la dernière à paraître du vivant de Hilbert. De nouvelles éditions ont suivi la 7, mais le texte principal n'a pour l'essentiel pas été révisé. Les modifications apportées à ces éditions figurent dans les annexes et les suppléments. Les changements dans le texte étaient importants par rapport à l'original et une nouvelle traduction en anglais a été commandée par Open Court Publishers, qui avait publié la traduction de Townsend. Ainsi, la 2e édition anglaise a été traduite par Leo Unger à partir de la 10e édition allemande en 1971. Cette traduction comprend plusieurs révisions et agrandissements des éditions allemandes ultérieures de Paul Bernays. Les différences entre les deux traductions anglaises sont dues non seulement à Hilbert, mais aussi aux choix différents faits par les deux traducteurs. Ce qui suit sera basé sur la traduction d'Unger.

Le système d'axiomes de Hilbert est construit avec six notions primitives : point , ligne , plan , interdépendance , repose sur (confinement) et congruence .

Tous les points, lignes et plans des axiomes suivants sont distincts, sauf indication contraire.

I. Incidence
  1. Pour chaque deux points A et B, il existe une droite a qui les contient tous les deux. On écrit AB = a ou BA = a . Au lieu de « contient », nous pouvons également employer d'autres formes d'expression ; par exemple, on peut dire « A se trouve sur a », « A est un point de a », « a passe par A et par B », « a joint A à B », etc. Si A se trouve sur a et au en même temps sur une autre ligne b , on se sert aussi de l'expression : « Les lignes a et b ont le point A en commun », etc.
  2. Pour tous les deux points, il n'existe pas plus d'une ligne qui les contient tous les deux ; Par conséquent, si AB = un et AC = a , où BC , puis également BC = a .
  3. Il existe au moins deux points sur une ligne. Il existe au moins trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne.
  4. Pour tous les trois points A , B , C non situés sur la même droite, il existe un plan α qui les contient tous. Pour chaque plan, il existe un point qui s'y trouve. Nous écrivons ABC = α . On emploie aussi les expressions : « A , B , C , se trouvent dans α » ; « A, B, C sont des points de  », etc.
  5. Pour tous les trois points A , B , C qui ne se trouvent pas sur la même ligne, il n'existe pas plus d'un plan qui les contient tous.
  6. Si deux points A , B d'une droite a se trouvent dans un plan α, alors tout point de a se trouve dans α. Dans ce cas on dit : « La droite a est dans le plan α », etc.
  7. Si deux plans , ont un point A en commun, alors ils ont au moins un deuxième point B en commun.
  8. Il existe au moins quatre points ne se trouvant pas dans un plan.
II. Commander
  1. Si un point B est compris entre les points A et C , B est également entre C et A , et il existe une droite contenant les points distincts A,B,C .
  2. Si A et C sont deux points d'une droite, alors il existe au moins un point B compris entre A et C .
  3. De trois points quelconques situés sur une ligne, il n'y en a pas plus d'un qui se trouve entre les deux autres.
  4. Axiome de Pasch : Soient A , B , C trois points non alignés et a une droite située dans le plan ABC et ne passant par aucun des points A , B , C . Ensuite, si la droite a passe par un point du segment AB , elle passera aussi soit par un point du segment BC soit par un point du segment AC .
III. Congruence
  1. Si A , B sont deux points sur une droite a , et si A′ est un point sur la même ou une autre droite a′ , alors, sur un côté donné de A′ sur la droite a′ , on peut toujours trouver un point B′ de sorte que le segment AB soit congru au segment A′B′ . Nous indiquons cette relation en écrivant ABA ' B' . Chaque segment est congru à lui-même ; qui est, nous avons toujours ABAB .
    Nous pouvons énoncer brièvement l'axiome ci-dessus en disant que chaque segment peut être disposé d'un côté donné d'un point donné d'une ligne droite donnée d'au moins une manière.
  2. Si un segment AB est congru au segment A′B′ ainsi qu'au segment A″B″ , alors le segment A′B′ est congru au segment A″B″ ; qui est, si ABA'B ' et ABA "B" , puis A'B'A "B" .
  3. Soient AB et BC deux segments d'une droite a qui n'ont pas de points communs en dehors du point B , et de plus A′B′ et B′C′ deux segments de la même ou d'une autre droite a′ ayant , de même, aucun point autre que B′ en commun. Ensuite, si ABA'B ' et BCB'C' , nous avons ACA'C ' .
  4. Soit un angle ∠ ( h , k ) dans le plan α et soit une droite a′ dans un plan α′. Supposons aussi que, dans le plan , un côté défini de la droite a′ soit assigné. On note h ' un rayon de la ligne droite a' provenant d'un point O ' de cette ligne. Alors dans le plan α′ il y a un et un seul rayon k′ tel que l'angle ( h , k ), ou ∠ ( k , h ), soit congru à l'angle ∠ ( h′ , k′ ) et au en même temps tous les points intérieurs de l'angle ∠ ( h′ , k′ ) se trouvent sur le côté donné de a′ . Nous exprimons cette relation au moyen de la notation ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
  5. Si l'angle ∠ ( h , k ) est congru à l'angle ∠ ( h′ , k′ ) et à l'angle ∠ ( h″ , k″ ), alors l'angle ∠ ( h′ , k′ ) est congru à la angle ( h″ , k″ ); c'est-à-dire si ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) et ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), alors ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).
IV. Parallèles
  1. (Axiome d'Euclide) : Soit a n'importe quelle ligne et A un point non dessus. Alors il y a au plus une droite dans le plan, déterminée par a et A , qui passe par A et ne coupe pas a .
V. Continuité
  1. Axiome d'Archimède . Si AB et CD sont des segments alors il existe un nombre n tel que n segments CD construits de manière contiguë à partir de A , le long du rayon de A à B , passeront au-delà du point B .
  2. Axiome de complétude de ligne . Une extension d'un ensemble de points sur une ligne avec ses relations d'ordre et de congruence qui préserverait les relations existant entre les éléments d'origine ainsi que les propriétés fondamentales de l'ordre et de la congruence des lignes qui découlent des Axiomes I-III et de V-1 est impossible.

Changements dans les axiomes de Hilbert

Lorsque la monographie de 1899 fut traduite en français, Hilbert ajouta :

V.2 Axiome de complétude . A un système de points, de droites et de plans, il est impossible d'ajouter d'autres éléments de telle manière que le système ainsi généralisé forme une nouvelle géométrie obéissant à l'ensemble des cinq groupes d'axiomes. En d'autres termes, les éléments de la géométrie forment un système qui n'est pas susceptible d'extension, si l'on considère les cinq groupes d'axiomes comme valables.

Cet axiome n'est pas nécessaire pour le développement de la géométrie euclidienne, mais est nécessaire pour établir une bijection entre les nombres réels et les points sur une ligne. C'était un ingrédient essentiel dans la preuve de Hilbert de la cohérence de son système d'axiome.

Par la 7e édition du Grundlagen , cet axiome avait été remplacé par l'axiome de complétude de ligne donné ci-dessus et l'ancien axiome V.2 est devenu le théorème 32.

On trouve également dans la monographie de 1899 (et apparaissant dans la traduction de Townsend) :

II.4. N'importe quels quatre points A , B , C , D d'une ligne peuvent toujours être étiquetés de sorte que B se situe entre A et C et aussi entre A et D , et, en outre, que C se situe entre A et D et aussi entre B et D .

Cependant, EH Moore et RL Moore ont prouvé indépendamment que cet axiome est redondant, et le premier a publié ce résultat dans un article paru dans Transactions of the American Mathematical Society en 1902. Hilbert a déplacé l'axiome au théorème 5 et a renuméroté les axiomes en conséquence (ancien l'axiome II-5 (l'axiome de Pasch) est maintenant devenu II-4).

Bien qu'ils ne soient pas aussi spectaculaires que ces changements, la plupart des axiomes restants ont également été modifiés dans leur forme et/ou leur fonction au cours des sept premières éditions.

Cohérence et indépendance

Au-delà de l'établissement d'un ensemble d'axiomes satisfaisant, Hilbert a également prouvé la cohérence de son système par rapport à la théorie des nombres réels en construisant un modèle de son système d'axiomes à partir des nombres réels. Il a prouvé l'indépendance de certains de ses axiomes en construisant des modèles de géométries qui satisfont tous, sauf un axiome considéré. Ainsi, il existe des exemples de géométries satisfaisant toutes sauf l'axiome d'Archimède V.1 (géométries non archimédiennes), toutes sauf l'axiome parallèle IV.1 (géométries non euclidiennes) et ainsi de suite. En utilisant la même technique, il a également montré comment certains théorèmes importants dépendaient de certains axiomes et étaient indépendants des autres. Certains de ses modèles étaient très complexes et d'autres mathématiciens ont essayé de les simplifier. Par exemple, le modèle de Hilbert pour montrer l'indépendance du théorème de Desargues de certains axiomes a finalement conduit Ray Moulton à découvrir le plan de Moulton non-desarguesien . Ces recherches d'Hilbert ont pratiquement inauguré l'étude moderne de la géométrie abstraite au XXe siècle.

Les axiomes de Birkhoff

George David Birkhoff

En 1932, GD Birkhoff a créé un ensemble de quatre postulats de la géométrie euclidienne parfois appelés axiomes de Birkhoff . Ces postulats sont tous basés sur une géométrie de base qui peut être vérifiée expérimentalement avec une échelle et un rapporteur . En rupture radicale avec l'approche synthétique de Hilbert, Birkhoff fut le premier à construire les fondements de la géométrie sur le système des nombres réels . C'est cette hypothèse puissante qui permet le petit nombre d'axiomes dans ce système.

Postulats

Birkhoff utilise quatre termes indéfinis : point , ligne , distance et angle . Ses postulats sont :

Postulat I : Postulat de la mesure de la ligne . Les points A , B , ... de n'importe quelle ligne peuvent être mis en correspondance 1:1 avec les nombres réels x de sorte que | x B  − x A | = d( A, B ) pour tous les points A et  B .  

Postulat II : Postulat point-ligne . Il y a une et une seule ligne droite, , qui contient les deux points distincts données P et  Q .

Postulat III : Postulat de mesure d'angle . Les rayons { ℓ, m, n , ...} passant par tout point O peuvent être mis en correspondance 1:1 avec les nombres réels a  (mod 2 π ) de sorte que si A et B sont des points (non égaux à O ) de et m , respectivement, la différence a m  −  a  (mod 2π) des nombres associés aux lignes et m est AOB . De plus, si le point B sur m varie continûment dans une ligne r ne contenant pas le sommet O , le nombre a m varie continûment aussi.

Postulat IV : Postulat de similitude . Si dans deux triangles ABC et A'B'C'  et pour une constante k  > 0, d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) et B'A'C'   = ± BAC , alors d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA , et A'C'B'   = ± ACB .  

Géométrie de l'école

George Bruce Halsted

Qu'il soit sage ou non d'enseigner la géométrie euclidienne d'un point de vue axiomatique au niveau secondaire a fait l'objet d'un débat. Il y a eu de nombreuses tentatives pour le faire et toutes n'ont pas été couronnées de succès. En 1904, George Bruce Halsted a publié un texte de géométrie au lycée basé sur l'ensemble d'axiomes de Hilbert. Les critiques logiques de ce texte ont conduit à une deuxième édition fortement révisée. En réaction au lancement du satellite russe Spoutnik , un appel a été lancé pour réviser le programme scolaire de mathématiques. De cet effort est né le programme New Math des années 1960. Avec cela en arrière-plan, de nombreux individus et groupes se sont mis à fournir du matériel textuel pour les cours de géométrie basés sur une approche axiomatique.

Les axiomes de Mac Lane

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909-2005), un mathématicien, a écrit un article en 1959 dans lequel il proposait un ensemble d'axiomes pour la géométrie euclidienne dans l'esprit du traitement de Birkhoff utilisant une fonction de distance pour associer des nombres réels à des segments de droite. Ce n'était pas la première tentative de baser un traitement au niveau scolaire sur le système de Birkhoff, en fait, Birkhoff et Ralph Beatley avaient écrit un texte de lycée en 1940 qui développait la géométrie euclidienne à partir de cinq axiomes et la capacité de mesurer des segments de ligne et des angles. Cependant, afin d'adapter le traitement à un public de lycéens, certains arguments mathématiques et logiques ont été soit ignorés, soit brouillés.

Dans le système de Mac Lane, il existe quatre notions primitives (termes non définis) : point , distance , ligne et mesure d'angle . Il y a aussi 14 axiomes, quatre donnant les propriétés de la fonction de distance, quatre décrivant les propriétés des lignes, quatre discutant des angles (qui sont des angles dirigés dans ce traitement), un axiome de similarité (essentiellement le même que celui de Birkhoff) et un axiome de continuité qui peut être utilisé pour dériver le théorème Crossbar et sa réciproque. L'augmentation du nombre d'axiomes a l'avantage pédagogique de faciliter le suivi des premières preuves dans le développement et l'utilisation d'une métrique familière permet un avancement rapide dans le matériel de base afin que les aspects les plus "intéressants" du sujet puissent être abordés plus tôt.

Axiomes du SMSG (School Mathematics Study Group)

Dans les années 1960, un nouvel ensemble d'axiomes pour la géométrie euclidienne, adapté aux cours de géométrie du secondaire, a été introduit par le School Mathematics Study Group (SMSG), dans le cadre des nouveaux programmes de mathématiques . Cet ensemble d'axiomes suit le modèle de Birkhoff consistant à utiliser les nombres réels pour accéder rapidement aux fondamentaux géométriques. Cependant, alors que Birkhoff a essayé de minimiser le nombre d'axiomes utilisés et que la plupart des auteurs étaient préoccupés par l'indépendance des axiomes dans leurs traitements, la liste des axiomes SMSG a été intentionnellement rendue volumineuse et redondante pour des raisons pédagogiques. Le SMSG n'a produit qu'un texte polycopié en utilisant ces axiomes, mais Edwin E. Moise , membre du SMSG, a écrit un texte de lycée basé sur ce système, et un texte de niveau collégial, Moise (1974) , avec une partie de la redondance supprimée et des modifications apportées aux axiomes pour un public plus averti.

Il y a huit termes non définis : point , ligne , plan , mensonge sur , distance , mesure d'angle , surface et volume . Les 22 axiomes de ce système reçoivent des noms individuels pour faciliter la référence. Parmi ceux-ci se trouvent : le postulat de la règle, le postulat de placement de la règle, le postulat de séparation de plan, le postulat d'addition d'angle, le postulat côté angle latéral (SAS), le postulat parallèle (sous la forme de Playfair ) et le principe de Cavalieri .

Axiomes de l'UCSMP (University of Chicago School Mathematics Project)

Bien qu'une grande partie du nouveau programme de mathématiques ait été radicalement modifiée ou abandonnée, la partie géométrie est restée relativement stable. Les manuels scolaires modernes utilisent des systèmes d'axiome très similaires à ceux du SMSG. Par exemple, les textes produits par l' Université de Chicago School Mathematics Project (UCSMP) utilisent un système qui, outre une certaine mise à jour de la langue, diffère principalement du système SMSG en ce qu'il inclut certains concepts de transformation sous son « Postulat de réflexion ».

Il n'y a que trois termes indéfinis : point , ligne et plan . Il y a huit "postulats", mais la plupart d'entre eux ont plusieurs parties (qui sont généralement appelées hypothèses dans ce système). En comptant ces parties, il y a 32 axiomes dans ce système. Parmi les postulats, on trouve le postulat point-ligne-plan , le postulat d' inégalité triangulaire , les postulats de distance, de mesure d'angle, d'angles correspondants, d'aire et de volume, et le postulat de réflexion. Le postulat de réflexion est utilisé en remplacement du postulat SAS du système SMSG.

Autres systèmes

Oswald Veblen (1880 – 1960) a fourni un nouveau système d'axiomes en 1904 lorsqu'il a remplacé le concept d'« intermédiaire », tel qu'utilisé par Hilbert et Pasch, par une nouvelle primitive, l' ordre . Cela a permis à plusieurs termes primitifs utilisés par Hilbert de devenir des entités définies, réduisant le nombre de notions primitives à deux, point et ordre .

De nombreux autres systèmes axiomatiques pour la géométrie euclidienne ont été proposés au fil des ans. Une comparaison de beaucoup d'entre eux peut être trouvée dans une monographie de 1927 par Henry George Forder. Forder donne également, en combinant des axiomes de différents systèmes, son propre traitement basé sur les deux notions primitives de point et d' ordre . Il fournit également un traitement plus abstrait d'un des systèmes de Pieri (à partir de 1909) basé sur les primitifs point et congruence .

À partir de Peano, il y a eu un fil d'intérêt parallèle parmi les logiciens concernant les fondements axiomatiques de la géométrie euclidienne. Cela peut être vu, en partie, dans la notation utilisée pour décrire les axiomes. Pieri a affirmé que même s'il écrivait dans le langage traditionnel de la géométrie, il pensait toujours en termes de notation logique introduite par Peano et utilisait ce formalisme pour voir comment prouver les choses. Un exemple typique de ce type de notation peut être trouvé dans les travaux d' EV Huntington (1874 - 1952) qui, en 1913, a produit un traitement axiomatique de la géométrie euclidienne tridimensionnelle basé sur les notions primitives de sphère et d' inclusion (une sphère se trouvant dans l'autre). Au-delà de la notation, il y a aussi un intérêt pour la structure logique de la théorie de la géométrie. Alfred Tarski a prouvé qu'une partie de la géométrie, qu'il a appelée géométrie élémentaire , est une théorie logique du premier ordre (voir les axiomes de Tarski ).

Les traitements textuels modernes des fondements axiomatiques de la géométrie euclidienne suivent le modèle de HG Forder et Gilbert de B. Robinson qui mélangent et associent des axiomes de différents systèmes pour produire des accents différents. Venema (2006) est un exemple moderne de cette approche.

Géométrie non euclidienne

Compte tenu du rôle que jouent les mathématiques dans la science et des implications de la connaissance scientifique pour toutes nos croyances, des changements révolutionnaires dans la compréhension de l'homme de la nature des mathématiques ne pouvaient que signifier des changements révolutionnaires dans sa compréhension de la science, des doctrines de la philosophie, de la religion et de l'éthique. croyances, et, en fait, toutes les disciplines intellectuelles.

Dans la première moitié du XIXe siècle, une révolution a eu lieu dans le domaine de la géométrie qui était aussi scientifiquement importante que la révolution copernicienne en astronomie et aussi philosophiquement profonde que la théorie darwinienne de l'évolution dans son impact sur notre façon de penser. C'était la conséquence de la découverte de la géométrie non euclidienne. Pendant plus de deux mille ans, à partir de l'époque d'Euclide, les postulats qui fondaient la géométrie ont été considérés comme des vérités évidentes sur l'espace physique. Les géomètres pensaient en déduire d'autres vérités plus obscures, sans possibilité d'erreur. Ce point de vue est devenu intenable avec le développement de la géométrie hyperbolique. Il y avait maintenant deux systèmes de géométrie incompatibles (et d'autres sont venus plus tard) qui étaient cohérents et compatibles avec le monde physique observable. " A partir de ce point, toute la discussion sur la relation entre la géométrie et l'espace physique a été menée en des termes tout à fait différents. " ( Moise 1974 , p. 388)

Pour obtenir une géométrie non euclidienne, le postulat parallèle (ou son équivalent) doit être remplacé par sa négation . La négation de la forme de l' axiome de Playfair , puisqu'il s'agit d'un énoncé composé (... il en existe un et un seul...), peut se faire de deux manières. Soit il existera plus d'une ligne passant par le point parallèle à la ligne donnée, soit il n'existera aucune ligne passant par le point parallèle à la ligne donnée. Dans le premier cas, en remplaçant le postulat parallèle (ou son équivalent) par l'énoncé « Dans un plan, étant donné un point P et une droite ne passant pas par P, il existe deux droites passant par P qui ne rencontrent pas » et en gardant tout les autres axiomes, donne une géométrie hyperbolique . Le deuxième cas ne se traite pas aussi facilement. Le simple remplacement du postulat parallèle par l'énoncé « Dans un plan, étant donné un point P et une ligne ne passant pas par P, toutes les lignes passant par P rencontrent », ne donne pas un ensemble cohérent d'axiomes. Cela s'ensuit puisque les lignes parallèles existent en géométrie absolue, mais cette déclaration dirait qu'il n'y a pas de lignes parallèles. Ce problème était connu (sous une forme différente) de Khayyam, Saccheri et Lambert et était la base de leur rejet de ce qui était connu comme le « cas de l'angle obtus ». Afin d'obtenir un ensemble cohérent d'axiomes qui inclut cet axiome sur l'absence de lignes parallèles, certains des autres axiomes doivent être modifiés. Les ajustements à effectuer dépendent du système d'axiome utilisé. Entre autres, ces ajustements auront pour effet de modifier le deuxième postulat d'Euclide de l'affirmation selon laquelle les segments de ligne peuvent être étendus indéfiniment à l'affirmation selon laquelle les lignes ne sont pas bornées. La géométrie elliptique de Riemann apparaît comme la géométrie la plus naturelle satisfaisant cet axiome.

C'est Gauss qui a inventé le terme « géométrie non euclidienne ». Il faisait référence à son propre travail, inédit, que nous appelons aujourd'hui géométrie hyperbolique . Plusieurs auteurs considèrent encore que « géométrie non euclidienne » et « géométrie hyperbolique » sont des synonymes. En 1871, Felix Klein , en adaptant une métrique discutée par Arthur Cayley en 1852, a pu introduire des propriétés métriques dans un cadre projectif et a ainsi pu unifier les traitements de la géométrie hyperbolique, euclidienne et elliptique sous l'égide de la géométrie projective . Klein est responsable des termes « hyperbolique » et « elliptique » (dans son système, il appelait la géométrie euclidienne « parabolique », terme qui n'a pas survécu à l'épreuve du temps et n'est utilisé aujourd'hui que dans quelques disciplines). à l'usage courant du terme « géométrie non euclidienne » pour signifier soit la géométrie « hyperbolique » soit la géométrie « elliptique ».

Il y a des mathématiciens qui étendraient la liste des géométries qui devraient être appelées « non-euclidiennes » de diverses manières. Dans d'autres disciplines, notamment la physique mathématique , où l'influence de Klein n'était pas aussi forte, le terme « non euclidien » est souvent interprété comme signifiant non euclidien.

Le postulat parallèle d'Euclide

Pendant deux mille ans, de nombreuses tentatives ont été faites pour prouver le postulat parallèle en utilisant les quatre premiers postulats d'Euclide. Une raison possible pour laquelle une telle preuve était si recherchée était que, contrairement aux quatre premiers postulats, le postulat parallèle ne va pas de soi. Si l'ordre dans lequel les postulats ont été énumérés dans les Éléments est significatif, cela indique qu'Euclide n'a inclus ce postulat que lorsqu'il s'est rendu compte qu'il ne pouvait pas le prouver ou procéder sans lui. De nombreuses tentatives ont été faites pour prouver le cinquième postulat à partir des quatre autres, beaucoup d'entre eux étant acceptés comme preuves pendant de longues périodes jusqu'à ce que l'erreur soit découverte. Invariablement, l'erreur consistait à supposer une propriété « évidente » qui s'est avérée être équivalente au cinquième postulat. Finalement, on s'est rendu compte que ce postulat peut ne pas être démontrable à partir des quatre autres. Selon Trudeau (1987 , p. 154), cette opinion sur le postulat parallèle (Postulat 5) apparaît sous forme imprimée :

Apparemment, le premier à le faire fut GS Klügel (1739-1812), étudiant au doctorat à l'Université de Göttingen, avec le soutien de son professeur AG Kästner, dans sa thèse de 1763 Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio (Review of the Most Celebrated Tentatives de démonstration de la théorie des parallèles). Dans ce travail, Klügel a examiné 28 tentatives pour prouver le postulat 5 (y compris celui de Saccheri), les a toutes trouvées déficientes et a émis l'opinion que le postulat 5 est indémontrable et est soutenu uniquement par le jugement de nos sens.

Le début du 19ème siècle verra enfin des étapes décisives dans la création de la géométrie non-euclidienne. Vers 1813, Carl Friedrich Gauss et indépendamment vers 1818, le professeur de droit allemand Ferdinand Karl Schweikart ont élaboré les idées germinales de la géométrie non euclidienne, mais aucun n'a publié de résultats. Puis, vers 1830, le mathématicien hongrois János Bolyai et le mathématicien russe Nikolai Ivanovich Lobatchevsky ont publié séparément des traités sur ce que nous appelons aujourd'hui la géométrie hyperbolique . Par conséquent, la géométrie hyperbolique a été appelée géométrie Bolyai-Lobatchevskian, car les deux mathématiciens, indépendants l'un de l'autre, sont les auteurs de base de la géométrie non-euclidienne. Gauss a mentionné au père de Bolyai, lorsqu'on lui a montré le travail du jeune Bolyai, qu'il avait développé une telle géométrie plusieurs années auparavant, bien qu'il n'ait pas publié. Alors que Lobatchevsky a créé une géométrie non euclidienne en niant le postulat parallèle, Bolyai a élaboré une géométrie où à la fois la géométrie euclidienne et hyperbolique sont possibles en fonction d'un paramètre k . Bolyai termine son travail en mentionnant qu'il n'est pas possible de décider par le seul raisonnement mathématique si la géométrie de l'univers physique est euclidienne ou non-euclidienne ; c'est une tâche pour les sciences physiques. L' indépendance du postulat parallèle des autres axiomes d'Euclide a finalement été démontrée par Eugenio Beltrami en 1868.

Les diverses tentatives de démonstration du postulat parallèle ont produit une longue liste de théorèmes équivalents au postulat parallèle. L'équivalence signifie ici qu'en présence des autres axiomes de la géométrie chacun de ces théorèmes peut être supposé vrai et le postulat parallèle peut être prouvé à partir de cet ensemble altéré d'axiomes. Ce n'est pas la même chose que l'équivalence logique . Dans différents ensembles d'axiomes pour la géométrie euclidienne, n'importe lequel d'entre eux peut remplacer le postulat parallèle euclidien. La liste partielle suivante indique certains de ces théorèmes qui présentent un intérêt historique.

  1. Les droites parallèles sont équidistantes. (Poséidonios, Ier siècle av. J.-C.)
  2. Tous les points équidistants d'une droite donnée, d'un côté donné de celle-ci, constituent une droite. (Christoph Clavius, 1574)
  3. L'axiome de Playfair . Dans un plan, il y a au plus une ligne qui peut être tracée parallèlement à une autre donnée par un point externe. (Proclus, 5e siècle, mais popularisé par John Playfair, fin du 18e siècle)
  4. La somme des angles de chaque triangle est de 180° (Gerolamo Saccheri, 1733 ; Adrien-Marie Legendre, début XIXe siècle)
  5. Il existe un triangle dont la somme des angles fait 180°. (Gerolamo Saccheri, 1733 ; Adrien-Marie Legendre, début XIXe siècle)
  6. Il existe une paire de triangles similaires , mais non congruents . (Gerolamo Saccheri, 1733)
  7. Tout triangle peut être circonscrit . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, début XIXe siècle)
  8. Si trois angles d'un quadrilatère sont des angles droits , alors le quatrième angle est aussi un angle droit. (Alexis-Claude Clairaut, 1741 ; Johann Heinrich Lambert, 1766)
  9. Il existe un quadrilatère dans lequel tous les angles sont des angles droits. (Geralamo Saccheri, 1733)
  10. Postulat de Wallis . Sur une droite finie donnée, il est toujours possible de construire un triangle semblable à un triangle donné. (Jean Wallis, 1663 ; Lazare-Nicolas-Marguerite Carnot, 1803 ; Adrien-Marie Legendre, 1824)
  11. Il n'y a pas de limite supérieure à l' aire d'un triangle. (Carl Friedrich Gauss, 1799)
  12. Les angles au sommet du quadrilatère de Saccheri sont de 90°. (Geralamo Saccheri, 1733)
  13. Axiome de Proclus . Si une ligne coupe l'une des deux lignes parallèles, toutes deux coplanaires avec la ligne d'origine, elle coupe également l'autre. (Proclus, Ve siècle)

Géométrie neutre (ou absolue)

La géométrie absolue est une géométrie basée sur un système d'axiomes constitué de tous les axiomes donnant la géométrie euclidienne à l' exception du postulat parallèle ou de l'une de ses alternatives. Le terme a été introduit par János Bolyai en 1832. Il est parfois appelé géométrie neutre , car il est neutre par rapport au postulat parallèle.

Relation avec d'autres géométries

Dans les Eléments d'Euclide , les 28 premières propositions et la Proposition I.31 évitent d'utiliser le postulat parallèle, et sont donc des théorèmes valides en géométrie absolue. La proposition I.31 prouve l'existence de droites parallèles (par construction). En outre, le théorème de Saccheri-Legendre , qui déclare que la somme des angles dans un triangle est au plus 180°, peut être prouvé.

Les théorèmes de la géométrie absolue tiennent aussi bien en géométrie hyperbolique qu'en géométrie euclidienne .

La géométrie absolue est incompatible avec la géométrie elliptique : en géométrie elliptique, il n'y a pas du tout de lignes parallèles, mais en géométrie absolue, des lignes parallèles existent. De plus, en géométrie elliptique, la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180°.

Incomplétude

Logiquement, les axiomes ne forment pas une théorie complète puisqu'on peut ajouter des axiomes indépendants supplémentaires sans rendre le système d'axiomes incohérent. On peut étendre la géométrie absolue en ajoutant différents axiomes sur le parallélisme et obtenir des systèmes d'axiomes incompatibles mais cohérents, donnant lieu à une géométrie euclidienne ou hyperbolique. Ainsi tout théorème de géométrie absolue est un théorème de géométrie hyperbolique et de géométrie euclidienne. Cependant, l'inverse n'est pas vrai. De plus, la géométrie absolue n'est pas une théorie catégorique , car elle a des modèles qui ne sont pas isomorphes.

Géométrie hyperbolique

Dans l'approche axiomatique de la géométrie hyperbolique (également appelée géométrie Lobatchevskienne ou géométrie Bolyai-Lobatchevskienne), un axiome supplémentaire est ajouté aux axiomes donnant la géométrie absolue . Le nouvel axiome est le postulat parallèle de Lobatchevsky (également connu sous le nom de postulat caractéristique de la géométrie hyperbolique ):

Par un point qui n'est pas sur une ligne donnée, il existe (dans le plan déterminé par ce point et cette ligne) au moins deux lignes qui ne rencontrent pas la ligne donnée.

Avec cet ajout, le système axiom est maintenant complet.

Bien que le nouvel axiome affirme seulement l'existence de deux lignes, il est facilement établi qu'il existe un nombre infini de lignes à travers le point donné qui ne rencontrent pas la ligne donnée. Compte tenu de cette plénitude, il faut être prudent avec la terminologie dans ce cadre, car le terme ligne parallèle n'a plus le sens unique qu'il a dans la géométrie euclidienne. Plus précisément, soit P un point qui n'est pas sur une ligne donnée . Soit PA la perpendiculaire tracée de P à (se rencontrant au point A ). Les lignes passant par P se divisent en deux classes, celles qui se rencontrent et celles qui ne se rencontrent pas. Le postulat caractéristique de la géométrie hyperbolique dit qu'il existe au moins deux lignes de ce dernier type. Parmi les droites qui ne se rencontrent pas , il y aura (de chaque côté de PA ) une droite faisant le plus petit angle avec PA . Parfois, ces lignes sont appelées les premières lignes passant par P qui ne se rencontrent pas et sont diversement appelées lignes limites, asymptotiques ou parallèles (lorsque ce dernier terme est utilisé, ce sont les seules lignes parallèles). Toutes les autres lignes passant par P qui ne se rencontrent pas sont appelées lignes non sécantes ou ultraparallèles .

Puisque la géométrie hyperbolique et la géométrie euclidienne sont toutes deux construites sur les axiomes de la géométrie absolue, elles partagent de nombreuses propriétés et propositions. Cependant, les conséquences du remplacement du postulat parallèle de la géométrie euclidienne par le postulat caractéristique de la géométrie hyperbolique peuvent être dramatiques. Pour n'en citer que quelques-uns :

Quadrilatère de Lambert en géométrie hyperbolique
  • Un quadrilatère de Lambert est un quadrilatère qui a trois angles droits. Le quatrième angle d'un quadrilatère de Lambert est aigu si la géométrie est hyperbolique, et un angle droit si la géométrie est euclidienne. De plus, les rectangles ne peuvent exister (un énoncé équivalent au postulat parallèle) qu'en géométrie euclidienne.
  • Un quadrilatère de Saccheri est un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur, tous deux perpendiculaires à un côté appelé la base . Les deux autres angles d'un quadrilatère de Saccheri sont appelés angles au sommet et ils ont une mesure égale. Les angles au sommet d'un quadrilatère de Saccheri sont aigus si la géométrie est hyperbolique, et droits si la géométrie est euclidienne.
  • La somme des mesures des angles de tout triangle est inférieure à 180° si la géométrie est hyperbolique, et égale à 180° si la géométrie est euclidienne. Le défaut d'un triangle est la valeur numérique (180° – somme des mesures des angles du triangle). Ce résultat peut aussi s'énoncer ainsi : le défaut des triangles en géométrie hyperbolique est positif, et le défaut des triangles en géométrie euclidienne est nul.
  • L' aire d'un triangle en géométrie hyperbolique est délimitée alors qu'il existe des triangles avec des aires arbitrairement grandes en géométrie euclidienne.
  • L'ensemble des points du même côté et également éloignés d'une ligne droite donnée forment eux-mêmes une ligne en géométrie euclidienne, mais pas en géométrie hyperbolique (ils forment un hypercycle .)

Les partisans de la position selon laquelle la géométrie euclidienne est la seule et unique géométrie "vraie" a subi un revers lorsque, dans un mémoire publié en 1868, "Théorie fondamentale des espaces à courbure constante", Eugenio Beltrami a donné une preuve abstraite de l' équicohérence de l'hyperbolique et de l'euclidien. géométrie pour n'importe quelle dimension. Il a accompli cela en introduisant plusieurs modèles de géométrie non-euclidienne qui sont maintenant connus sous le nom de modèle Beltrami-Klein , le modèle de disque de Poincaré et le modèle demi-plan de Poincaré , ainsi que les transformations qui les relient. Pour le modèle demi-plan, Beltrami cite une note de Liouville dans le traité de Monge sur la géométrie différentielle . Beltrami a également montré que la géométrie euclidienne à n dimensions est réalisée sur une horosphère de l'  espace hyperbolique à ( n + 1) dimensions , de sorte que la relation logique entre la cohérence des géométries euclidienne et non euclidienne est symétrique.

Géométrie elliptique

Une autre façon de modifier le postulat parallèle euclidien est de supposer qu'il n'y a pas de lignes parallèles dans un plan. Contrairement à la situation avec la géométrie hyperbolique , où nous ajoutons simplement un nouvel axiome, nous ne pouvons pas obtenir un système cohérent en ajoutant cette déclaration comme nouvel axiome aux axiomes de la géométrie absolue . Il s'ensuit que des lignes parallèles existent de manière prouvée en géométrie absolue. D'autres axiomes doivent être modifiés.

En partant des axiomes de Hilbert, les changements nécessaires impliquent de supprimer les quatre axiomes d'ordre de Hilbert et de les remplacer par ces sept axiomes de séparation concernés par une nouvelle relation indéfinie.

Il existe une relation ( primitive ) indéfinie entre quatre points, A , B , C et D notés ( A , C | B , D ) et lus comme " A et C séparés B et D ", satisfaisant ces axiomes :

  1. Si ( A , B | C , D ), alors les points A , B , C et D sont colinéaires et distincts.
  2. Si ( A , B | C , D ), alors ( C , D | A , B ) et ( B , A | D , C ).
  3. Si ( A , B | C , D ), alors non ( A , C | B , D ).
  4. Si les points A , B , C et D sont colinéaires et distincts alors ( A , B | C , D ) ou ( A , C | B , D ) ou ( A , D | B , C ).
  5. Si les points A , B et C sont colinéaires et distincts, alors il existe un point D tel que ( A , B | C , D ).
  6. Pour cinq points colinéaires distincts A , B , C , D et E , si ( A , B | D , E ), alors ( A , B | C , D ) ou ( A , B | C , E ).
  7. Les perspectives préservent la séparation.

Depuis que la notion Hilbert d'« entreesse » a été supprimée, les termes qui ont été définis à l'aide de ce concept doivent être redéfinis. Ainsi, un segment de droite AB défini comme les points A et B et tous les points entre A et B en géométrie absolue, doit être reformulé. Un segment de ligne dans cette nouvelle géométrie est déterminé par trois points colinéaires A , B et C et se compose de ces trois points et de tous les points non séparés de B par A et C . Il y a d'autres conséquences. Étant donné que deux points ne déterminent pas un segment de ligne de manière unique, trois points non colinéaires ne déterminent pas un triangle unique et la définition du triangle doit être reformulée.

Une fois ces notions redéfinies, les autres axiomes de la géométrie absolue (incidence, congruence et continuité) ont tous un sens et sont laissés de côté. Avec le nouvel axiome sur l'inexistence de lignes parallèles, nous avons un système cohérent d'axiomes donnant une nouvelle géométrie. La géométrie qui en résulte est appelée (plane) Géométrie elliptique .

Quadrilatères de Saccheri en géométrie euclidienne, elliptique et hyperbolique

Même si la géométrie elliptique n'est pas une extension de la géométrie absolue (comme le sont la géométrie euclidienne et hyperbolique), il existe une certaine « symétrie » dans les propositions des trois géométries qui reflète une connexion plus profonde qui a été observée par Felix Klein. Certaines des propositions qui présentent cette propriété sont :

  • Le quatrième angle d'un quadrilatère de Lambert est un angle obtus en géométrie elliptique.
  • Les angles au sommet d'un quadrilatère de Saccheri sont obtus en géométrie elliptique.
  • La somme des mesures des angles de tout triangle est supérieure à 180° si la géométrie est elliptique. C'est-à-dire que le défaut d'un triangle est négatif.
  • Toutes les droites perpendiculaires à une droite donnée se rejoignent en un point commun en géométrie elliptique, appelé pôle de la droite. En géométrie hyperbolique, ces lignes ne se coupent pas mutuellement, tandis qu'en géométrie euclidienne, elles sont parallèles entre elles.

D'autres résultats, comme le théorème de l'angle extérieur , soulignent clairement la différence entre l'elliptique et les géométries qui sont des extensions de la géométrie absolue.

Géométrie sphérique

Autres géométries

Géométrie projective

Géométrie affine

Géométrie ordonnée

La géométrie absolue est une extension de la géométrie ordonnée , et donc, tous les théorèmes de la géométrie ordonnée tiennent en géométrie absolue. L'inverse est pas vrai. La géométrie absolue suppose que les quatre premiers des axiomes d'Euclide (ou leurs équivalents) sont mis en contraste avec la géométrie affine , qui ne suppose pas les troisième et quatrième axiomes d'Euclide. La géométrie ordonnée est un fondement commun de la géométrie absolue et affine.

Géométrie finie

Voir également

Remarques

Les références

(3 vol.) : ISBN  0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN  0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN  0-486-60090-4 (vol. 3).

Liens externes