Série sinus et cosinus de Fourier - Fourier sine and cosine series

En mathématiques, en particulier dans le domaine du calcul et de l'analyse de Fourier , les séries sinus et cosinus de Fourier sont deux séries mathématiques nommées d'après Joseph Fourier .

Notation

Dans cet article, $f$ désigne une fonction à valeur réelle sur laquelle est périodique de période 2 L . $\mathbb {R}$

Série sinus

Si $f (x)$ est une fonction impaire avec une période , alors la série sinusoïdale de Fourier Half Range de f est définie comme étant ${\style d'affichage 2L}$

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}

qui est juste une forme de série de Fourier complète avec la seule différence que et est zéro, et la série est définie pour la moitié de l'intervalle.

{\style d'affichage a_{0}}

{\style d'affichage a_{n}}

Dans la formule on a

b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx ,\quad n\in \mathbb {N} .

Série cosinus

Si $f (x)$ est une fonction paire avec une période , alors la série en cosinus de Fourier est définie comme étant ${\style d'affichage 2L}$

f(x)={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos {\frac {n\pi x} {L}}

où

c_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{L}}\,dx ,\quad n\in \mathbb {N} _{0}.

Remarques

Cette notion peut être généralisée à des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires, mais les formules ci-dessus seront alors différentes.

Voir également

Bibliographie

Byerly, William Elwood (1893). "Chapitre 2 : Développement en séries trigonométriques" . Un traité élémentaire sur la série de Fourier : Et les harmoniques sphériques, cylindriques et ellipsoïdales, avec des applications aux problèmes de physique mathématique (2 éd.). Ginn. p. 30.
Carslaw, Horatio Scott (1921). "Chapitre 7 : Série de Fourier" . Introduction à la théorie des séries et intégrales de Fourier, volume 1 (2 éd.). Macmillan et compagnie. p. 196.

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