Fréchet veut dire - Fréchet mean

En mathématiques et en statistique , la moyenne de Fréchet est une généralisation des centroïdes aux espaces métriques , donnant un seul point représentatif ou tendance centrale pour un groupe de points. Il porte le nom de Maurice Fréchet . Karcher signifie est le renommage de la construction Riemannian Center of Mass développée par Karsten Grove et Hermann Karcher. Sur les nombres réels, la moyenne arithmétique , la médiane , la moyenne géométrique et la moyenne harmonique peuvent toutes être interprétées comme des moyennes de Fréchet pour différentes fonctions de distance.

Définition

Soit ( M , d ) un espace métrique complet. Soient x 1 , x 2 , …, x N des points dans M . Pour tout point p de M , définissez la variance de Fréchet comme étant la somme des carrés des distances de p au x i :

Les moyennes de Karcher sont alors les points, m de M , qui minimisent localement Ψ :

S'il existe un m de M qui minimise globalement Ψ, alors c'est la moyenne de Fréchet .

Parfois, les x i se voient attribuer des poids w i . Ensuite, la variance de Fréchet est calculée comme une somme pondérée,

Exemples de Fréchet signifie

Moyenne arithmétique et médiane

Pour les nombres réels, la moyenne arithmétique est une moyenne de Fréchet, utilisant la distance euclidienne habituelle comme fonction de distance.

La médiane est aussi une moyenne de Fréchet, si la définition de la fonction est généralisée à la non quadratique

où , et la distance euclidienne est la fonction de distance d . Dans les espaces de dimension supérieure, cela devient la médiane géométrique .

Moyenne géométrique

Sur les nombres réels positifs, la fonction de distance (hyperbolique) peut être définie. La moyenne géométrique est la moyenne de Fréchet correspondante. En effet est alors une isométrie de l'espace euclidien à cet espace « hyperbolique » et doit respecter la moyenne de Fréchet : la moyenne de Fréchet du est l'image par de la moyenne de Fréchet (au sens euclidien) du , c'est-à-dire qu'elle doit être :

.

Moyenne harmonique

Sur les nombres réels positifs , la métrique (fonction distance) :

peut être défini. La moyenne harmonique est la moyenne de Fréchet correspondante.

Puissance signifie

Étant donné un nombre réel non nul , la moyenne de puissance peut être obtenue comme moyenne de Fréchet en introduisant la métrique

f-moyen

Étant donné une fonction inversible et continue , la f-moyenne peut être définie comme la moyenne de Fréchet obtenue en utilisant la métrique :

C'est ce qu'on appelle parfois la moyenne f-moyenne généralisée ou la moyenne quasi-arithmétique .

Moyens pondérés

La définition générale de la moyenne de Fréchet qui inclut la possibilité de pondérer les observations peut être utilisée pour dériver des versions pondérées pour tous les types de moyennes ci-dessus.

Les références