Équation fonctionnelle - Functional equation

En mathématiques , une équation fonctionnelle est toute équation dans laquelle l' inconnue représente une fonction . Souvent, l' équation relie la valeur d'une fonction (ou de fonctions) à un certain point avec ses valeurs à d'autres points. Par exemple, les propriétés des fonctions peuvent être déterminées en considérant les types d'équations fonctionnelles qu'elles satisfont. Le terme équation fonctionnelle fait généralement référence à des équations qui ne peuvent être simplement réduites à des équations algébriques ou à des équations différentielles .

Exemples

• L'équation fonctionnelle

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)}$

est satisfait par la fonction zêta de Riemann . La capitale Γ désigne la fonction gamma .

• La fonction gamma est l'unique solution du système de trois équations suivant :

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}\,\!}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y )}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,}$       ( formule de réflexion d'Euler )

• L'équation fonctionnelle

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)\,\!}$

où a , b , c , d sont des nombres entiers satisfaisant , c'est-à-dire = 1, définit f comme une forme modulaire d'ordre k .${\displaystyle ad-bc=1}$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

• Exemples divers, n'impliquant pas nécessairement des fonctions standard ou nommées :

${\style d'affichage f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$( équation fonctionnelle de Cauchy ), satisfaite par des applications linéaires

${\style d'affichage f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$satisfait par toutes les fonctions exponentielles

${\style d'affichage f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, satisfait par toutes les fonctions logarithmiques

${\style d'affichage f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, satisfait par toutes les fonctions puissance

${\style d'affichage f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$(équation quadratique ou loi du parallélogramme )

${\style d'affichage f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$ (Jensen)

${\style d'affichage g(x+y)+g(xy)=2[g(x)g(y)]\,\!}$ (d'Alembert)

${\style d'affichage f(h(x))=h(x+1)\,\!}$ ( équation d'Abel )

${\style d'affichage f(h(x))=cf(x)\,\!}$ ( équation de Schröder ).

${\style d'affichage f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$ ( équation de Böttcher ).

${\style d'affichage f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$( équation de Julia ).

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)}$( Équation de traduction )

${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$ (Lévi-Civita),

et la paire d'équations

${\style d'affichage f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$( formule d'addition sinusoïdale et formule d'addition sinusoïdale hyperbolique ),

${\style d'affichage g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$( formule d'addition de cosinus ),

${\style d'affichage g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!}$( formule d'addition de cosinus hyperbolique ).

• Une forme simple d'équation fonctionnelle est une relation de récurrence . Ceci, formellement parlant, implique des fonctions non spécifiées sur des nombres entiers et également des opérateurs de décalage . Un exemple de relation de récurrence est

${\style d'affichage a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)\,\!}$

• Les lois commutatives et associatives sont des équations fonctionnelles. Sous sa forme familière, la loi associative s'exprime en écrivant l' opération binaire en notation infixe ,

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,}$

mais si nous écrivons ƒ ( a ,  b ) au lieu de a  ○  b alors la loi associative ressemble plus à une équation fonctionnelle conventionnelle,

${\style d'affichage f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$

Une caractéristique que tous les exemples énumérés ci-dessus ont en commun est que, dans chaque cas, deux ou plusieurs fonctions connues (parfois la multiplication par une constante, parfois l'addition de deux variables, parfois la fonction identité ) sont à l'intérieur de l'argument des fonctions inconnues. être résolu pour.

Lorsqu'il s'agit de demander toutes les solutions, il se peut que des conditions issues de l'analyse mathématique soient appliquées ; par exemple, dans le cas de l' équation de Cauchy mentionné ci-dessus, les solutions qui sont des fonctions continues sont les "raisonnables", tandis que d'autres solutions qui ne sont pas susceptibles d'avoir une application pratique peuvent être construites (en utilisant une base de Hamel pour les nombres réels comme espace vectoriel sur les nombres rationnels ). Le théorème de Bohr-Mollerup est un autre exemple bien connu.

Solution

La résolution d'équations fonctionnelles peut être très difficile, mais il existe des méthodes courantes pour les résoudre. Par exemple, en programmation dynamique, diverses méthodes d'approximation successives sont utilisées pour résoudre l'équation fonctionnelle de Bellman , y compris des méthodes basées sur des itérations à point fixe . Certaines classes d'équations fonctionnelles peuvent être résolues par des techniques assistées par ordinateur.

Une méthode principale de résolution des équations fonctionnelles élémentaires est la substitution. Il est souvent utile de prouver la surjectivité ou l' injectivité et de prouver l' impair ou la régularité , si possible. Il est également utile de deviner des solutions possibles. L'induction est une technique utile à utiliser lorsque la fonction n'est définie que pour des valeurs rationnelles ou entières.

Une discussion sur les fonctions involutives est d'actualité. Par exemple, considérons la fonction

${\style d'affichage f(x)=1-x\,.}$

Composer f avec lui-même donne l' équation fonctionnelle de Babbage (1820),

${\style d'affichage f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Plusieurs autres fonctions satisfont également l'équation fonctionnelle

${\style d'affichage f(f(x))=x}$

comprenant

${\style d'affichage f(x)=-x\,,}$

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$ et

${\displaystyle f(x)={\frac {bx}{1+cx}}~,}$

qui inclut les trois précédents comme cas particuliers ou limites.

Exemple 1 . Trouver toutes les fonctions f qui satisfont

${\style d'affichage f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,}$

pour tout x, y ∈ ℝ , en supposant ƒ est une fonction réelle .

Soit x  =  y  = 0,

${\style d'affichage f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}.\,}$

Donc ƒ (0) ²  = 0 et ƒ (0) = 0.

Maintenant, soit y  = − x ,

${\style d'affichage f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\style d'affichage f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\style d'affichage 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}~.}$

Un carré d'un nombre réel est non négatif, et une somme de nombres non négatifs est nulle si et seulement si les deux nombres sont 0.

Donc ƒ (x) ²  = 0 pour tout x et ƒ ( x ) = 0 est la seule solution.

Voir également

• Équation fonctionnelle (fonction L)
• Équation de Bellman
• Programmation dynamique
• Fonction implicite
• Équation différentielle fonctionnelle

Remarques

Les références

• János Aczél , Conférences sur les équations fonctionnelles et leurs applications , Academic Press , 1966, réimprimé par Dover Publications, ISBN  0486445232 .
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Multiple Variables , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Introduction aux équations fonctionnelles , AMS, 2011, ISBN  978-0-8218-5314-6  ; en ligne .
• PL. Kannappan, Équations fonctionnelles et inégalités avec applications , Springer, 2009.
• Marek Kuczma , Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities , deuxième édition, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups , première édition, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 avril 2007). Équations fonctionnelles et comment les résoudre . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

Liens externes

• Équations fonctionnelles : solutions exactes à EqWorld : le monde des équations mathématiques.
• Équations fonctionnelles : Index à EqWorld : Le monde des équations mathématiques.
• Texte du Compendium de l'OMI (archivé) sur les équations fonctionnelles dans la résolution de problèmes.