Théorie de Galois - Galois theory

Treillis de sous-groupes et sous-domaines montrant leurs groupes de Galois correspondants.
Le diagramme en treillis de Q jouxte les racines carrées positives de 2 et 3, ses sous-corps et les groupes de Galois.

En mathématiques , la théorie de Galois , introduite à l'origine par Évariste Galois , établit un lien entre la théorie des champs et la théorie des groupes . Cette connexion, le théorème fondamental de la théorie de Galois , permet de réduire certains problèmes de théorie des champs à la théorie des groupes, ce qui les rend plus simples et plus faciles à comprendre.

Galois a introduit le sujet pour l'étude des racines des polynômes . Cela lui a permis de caractériser les équations polynomiales qui sont résoluble par les radicaux en termes de propriétés du groupe de permutation de leurs racines d' une équation est résoluble par les radicaux si ses racines peuvent être exprimées par une formule impliquant uniquement des nombres entiers , n ième racines , et quatre opérations arithmétiques de base . Cela généralise largement le théorème d' Abel-Ruffini , qui affirme qu'un polynôme général de degré au moins cinq ne peut pas être résolu par des radicaux.

La théorie de Galois a été utilisée pour résoudre des problèmes classiques notamment en montrant que deux problèmes de l'antiquité ne peuvent être résolus tels qu'ils ont été énoncés ( doubler le cube et trisecter l'angle ), et caractériser les polygones réguliers qui sont constructibles (cette caractérisation a été précédemment donnée par Gauss , mais toutes les preuves connues que cette caractérisation est complète nécessitent la théorie de Galois).

L'ouvrage de Galois a été publié quatorze ans après sa mort par Joseph Liouville . La théorie a mis plus de temps à devenir populaire parmi les mathématiciens et à être bien comprise.

La théorie de Galois a été généralisée aux connexions de Galois et à la théorie de Galois de Grothendieck .

Application aux problèmes classiques

La naissance et le développement de la théorie de Galois ont été causés par la question suivante, qui était l'une des principales questions mathématiques ouvertes jusqu'au début du 19ème siècle :

Existe-t-il une formule pour les racines d'une équation polynomiale du cinquième degré (ou plus) en termes de coefficients du polynôme, en utilisant uniquement les opérations algébriques habituelles (addition, soustraction, multiplication, division) et l'application de radicaux (racines carrées, racines cubiques, etc.) ?

Le théorème d'Abel-Ruffini fournit un contre-exemple prouvant qu'il existe des équations polynomiales pour lesquelles une telle formule ne peut pas exister. La théorie de Galois apporte une réponse beaucoup plus complète à cette question, en expliquant pourquoi il est possible de résoudre certaines équations, y compris toutes celles de degré quatre ou moins, de la manière ci-dessus, et pourquoi il n'est pas possible pour la plupart des équations de degré cinq ou plus. En outre, il fournit un moyen de déterminer si une équation particulière peut être résolue qui est à la fois conceptuellement claire et facilement exprimée sous forme d' algorithme .

La théorie de Galois donne également un aperçu clair des questions concernant les problèmes de construction de compas et de règles . Il donne une caractérisation élégante des rapports de longueurs qui peuvent être construits avec cette méthode. En utilisant cela, il devient relativement facile de répondre à des problèmes de géométrie classiques tels que

  1. Quels polygones réguliers sont constructibles ?
  2. Pourquoi n'est-il pas possible de trisecter chaque angle à l' aide d'un compas et d'une règle ?
  3. Pourquoi doubler le cube n'est-il pas possible avec la même méthode ?

Histoire

Préhistoire

La théorie de Galois est née de l'étude des fonctions symétriques - les coefficients d'un polynôme monique sont (au signe près) les polynômes symétriques élémentaires dans les racines. Par exemple, ( xa )( xb ) = x 2 – ( a + b ) x + ab , où 1, a + b et ab sont les polynômes élémentaires de degré 0, 1 et 2 en deux variables.

Cela a été formalisé pour la première fois par le mathématicien français du XVIe siècle François Viète , dans les formules de Viète , pour le cas des racines réelles positives. De l'avis du mathématicien britannique du XVIIIe siècle Charles Hutton , l'expression des coefficients d'un polynôme en termes de racines (pas seulement pour les racines positives) a d'abord été comprise par le mathématicien français du XVIIe siècle Albert Girard ; Hutton écrit :

...[Girard fut] la première personne qui comprit la doctrine générale de la formation des coefficients des puissances à partir de la somme des racines et de leurs produits. Il fut le premier à découvrir les règles pour additionner les puissances des racines de n'importe quelle équation.

Dans cette veine, le discriminant est une fonction symétrique dans les racines qui reflète les propriétés des racines - il est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple, et pour les polynômes quadratiques et cubiques il est positif si et seulement si toutes les racines sont réel et distinct, et négatif si et seulement s'il existe une paire de racines conjuguées complexes distinctes. Voir Discriminant : Nature des racines pour plus de détails.

Le cubique a d'abord été partiellement résolu par le mathématicien italien du 15-16ème siècle Scipione del Ferro , qui n'a cependant pas publié ses résultats; cette méthode, cependant, n'a résolu qu'un seul type d'équation cubique. Cette solution fut ensuite redécouverte indépendamment en 1535 par Niccolò Fontana Tartaglia , qui la partagea avec Gerolamo Cardano , lui demandant de ne pas la publier. Cardano a ensuite étendu cela à de nombreux autres cas, en utilisant des arguments similaires; voir plus de détails à la méthode de Cardano . Après la découverte de l'œuvre de del Ferro, il sentit que la méthode de Tartaglia n'était plus secrète, et c'est ainsi qu'il publia sa solution dans son Ars Magna de 1545 . Son élève Lodovico Ferrari a résolu le polynôme quartique ; sa solution a également été incluse dans Ars Magna. Dans ce livre, cependant, Cardano n'a pas fourni de « formule générale » pour la solution d'une équation cubique, car il n'avait ni nombres complexes à sa disposition, ni la notation algébrique pour pouvoir décrire une équation cubique générale. Avec l'avantage de la notation moderne et des nombres complexes, les formules de ce livre fonctionnent dans le cas général, mais Cardano ne le savait pas. C'est Rafael Bombelli qui a réussi à comprendre comment travailler avec des nombres complexes afin de résoudre toutes les formes d'équation cubique.

Une étape supplémentaire a été l'article de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange , dans sa méthode des résolvantes de Lagrange , où il a analysé la solution de Cardano et Ferrari de cubiques et quartiques en les considérant en termes de permutations de les racines, qui ont donné un polynôme auxiliaire de degré inférieur, fournissant une compréhension unifiée des solutions et jetant les bases de la théorie des groupes et de la théorie de Galois. Mais surtout, il n'a pas considéré la composition des permutations. La méthode de Lagrange ne s'étendait pas aux équations quintiques ou supérieures, car la résolvante avait un degré plus élevé.

Le quintique s'est presque avéré n'avoir aucune solution générale par les radicaux par Paolo Ruffini en 1799, dont l'idée clé était d'utiliser des groupes de permutation , pas seulement une seule permutation. Sa solution contenait une lacune, que Cauchy considérait comme mineure, bien que cela n'ait été corrigé que par les travaux du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel , qui a publié une preuve en 1824, établissant ainsi le théorème d'Abel-Ruffini .

Alors que Ruffini et Abel ont établi que la quintique générale ne pouvait pas être résolue, certaines quintiques particulières peuvent être résolues, telles que x 5 - 1 = 0 , et le critère précis par lequel une quintique donnée ou un polynôme supérieur peut être déterminé comme étant résoluble ou non a été donnée par Évariste Galois , qui a montré que le fait qu'un polynôme soit résoluble ou non équivaut à savoir si le groupe de permutation de ses racines - en termes modernes, son groupe de Galois - avait une certaine structure - en termes modernes, qu'il soit ou non était un groupe soluble . Ce groupe était toujours résoluble pour les polynômes de degré quatre ou moins, mais pas toujours pour les polynômes de degré cinq et plus, ce qui explique pourquoi il n'y a pas de solution générale dans les degrés supérieurs.

Les écrits de Galois

Évariste Galois
Un portrait d'Évariste Galois âgé d'environ 15 ans

En 1830, Galois (à l'âge de 18 ans) soumet à l' Académie des sciences de Paris un mémoire sur sa théorie de la solvabilité par radicaux ; L'article de Galois a finalement été rejeté en 1831 comme étant trop sommaire et pour avoir donné une condition en termes de racines de l'équation au lieu de ses coefficients. Galois mourut alors en duel en 1832, et son mémoire, " Mémoire sur les conditions de résolution des équations par radicaux ", resta inédit jusqu'en 1846 lorsqu'il fut publié par Joseph Liouville accompagné de certaines de ses propres explications. Avant cette publication, Liouville a annoncé le résultat de Galois à l'Académie dans un discours qu'il a prononcé le 4 juillet 1843. Selon Allan Clark, la caractérisation de Galois « remplace considérablement les travaux d'Abel et de Ruffini ».

Conséquences

La théorie de Galois était notoirement difficile à comprendre pour ses contemporains, en particulier au niveau où ils pouvaient la développer. Par exemple, dans son commentaire de 1846, Liouville a complètement raté le noyau de la théorie des groupes de la méthode de Galois. Joseph Alfred Serret qui a assisté à certaines des conférences de Liouville, a inclus la théorie de Galois dans sa 1866 (troisième édition) de son manuel Cours d'algèbre supérieure . L'élève de Serret, Camille Jordan , avait une compréhension encore meilleure reflétée dans son livre de 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques . Hors de France, la théorie de Galois resta plus obscure pendant une plus longue période. En Grande-Bretagne, Cayley n'a pas compris sa profondeur et les manuels d'algèbre britanniques populaires n'ont même pas mentionné la théorie de Galois avant le début du siècle. En Allemagne, les écrits de Kronecker se concentrent davantage sur le résultat d'Abel. Dedekind a peu écrit sur la théorie de Galois, mais a donné une conférence à Göttingen en 1858, montrant une très bonne compréhension. Les livres d' Eugen Netto des années 1880, basés sur le Traité de Jordan , ont rendu la théorie de Galois accessible à un public allemand et américain plus large, tout comme le manuel d'algèbre de 1895 de Heinrich Martin Weber .

Approche par groupes de permutation

Étant donné un polynôme, il se peut que certaines des racines soient reliées par diverses équations algébriques . Par exemple, il se peut que pour deux des racines, disons A et B , A 2 + 5 B 3 = 7 . L'idée centrale de la théorie de Galois est de considérer les permutations (ou réarrangements) des racines telles que toute équation algébrique satisfaite par les racines est toujours satisfaite après que les racines ont été permutées. A l'origine, la théorie avait été développée pour les équations algébriques dont les coefficients sont des nombres rationnels . Il s'étend naturellement aux équations avec des coefficients dans n'importe quel domaine , mais cela ne sera pas pris en compte dans les exemples simples ci-dessous.

Ces permutations forment ensemble un groupe de permutation , également appelé groupe de Galois du polynôme, qui est explicitement décrit dans les exemples suivants.

Équation quadratique

Considérons l' équation quadratique

En utilisant la formule quadratique , nous trouvons que les deux racines sont

Des exemples d'équations algébriques satisfaites par A et B comprennent

et

Si nous échangeons A et B dans l'une ou l'autre des deux dernières équations, nous obtenons une autre affirmation vraie. Par exemple, l'équation A + B = 4 devient B + A = 4 . Il est plus généralement vrai que cela vaut pour toute relation algébrique possible entre A et B telle que tous les coefficients sont rationnels ; c'est-à-dire que dans une telle relation, l'échange de A et B donne une autre vraie relation. Ceci résulte de la théorie des polynômes symétriques , qui, dans ce cas, peut être remplacée par des manipulations de formules impliquant le théorème du binôme .

On pourrait objecter que A et B sont liés par l'équation algébrique AB − 2 3 = 0 , qui ne reste pas vraie lorsque A et B sont échangés. Cependant, cette relation n'est pas considéré ici, car il a le coefficient -2 3 qui est pas rationnel .

Nous concluons que le groupe de Galois du polynôme x 2 − 4 x + 1 consiste en deux permutations : la permutation d' identité qui laisse A et B intacts, et la permutation de transposition qui échange A et B . C'est un groupe cyclique d'ordre deux, et donc isomorphe à Z /2 Z .

Une discussion similaire s'applique à tout polynôme quadratique ax 2 + bx + c , où a , b et c sont des nombres rationnels.

  • Si le polynôme a des racines rationnelles, par exemple x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 , ou x 2 − 3 x + 2 = ( x − 2)( x − 1) , alors le groupe de Galois est trivial ; c'est-à-dire qu'il ne contient que la permutation d'identité. Dans cet exemple, si A = 2 et B = 1, alors A - B = 1 n'est plus vrai lorsque A sont B sont échangés.
  • S'il a deux racines irrationnelles , par exemple x 2 − 2 , alors le groupe de Galois contient deux permutations, comme dans l'exemple ci-dessus.

Équation quartique

Considérons le polynôme

qui peut aussi s'écrire

Nous souhaitons décrire le groupe de Galois de ce polynôme, toujours sur le corps des nombres rationnels . Le polynôme a quatre racines :

Il existe 24 manières possibles de permuter ces quatre racines, mais toutes ces permutations ne sont pas membres du groupe de Galois. Les membres du groupe de Galois doivent conserver toute équation algébrique à coefficients rationnels faisant intervenir A , B , C et D .

Parmi ces équations, nous avons :

Il s'ensuit que, si φ est une permutation qui appartient au groupe de Galois, on doit avoir :

Ceci implique que la permutation est bien définie par l'image de A , et que le groupe de Galois a 4 éléments, qui sont :

( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )
( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )
( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )
( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A )

Cela implique que le groupe de Galois est isomorphe au quatre-groupe de Klein .

Approche moderne par la théorie des champs

Dans l'approche moderne, on part d'une extension de champ L / K (lire " L sur K "), et on examine le groupe d' automorphismes de L qui fixent K . Voir l'article sur les groupes de Galois pour plus d'explications et d'exemples.

Le lien entre les deux approches est le suivant. Les coefficients du polynôme en question doivent être choisis dans le champ de base K . Le champ supérieur L doit être le champ obtenu en joignant les racines du polynôme en question au champ de base. Toute permutation des racines qui respecte les équations algébriques telles que décrites ci-dessus donne lieu à un automorphisme de L / K , et vice versa.

Dans le premier exemple ci - dessus, nous étudiions l'extension Q ( 3 ) / Q , où Q est le domaine des nombres rationnels et Q ( 3 ) est le champ obtenu à partir de Q en adjoignant 3 . Dans le deuxième exemple, nous étudions l'extension Q ( A , B , C , D )/ Q .

L'approche moderne présente plusieurs avantages par rapport à l'approche par groupe de permutation.

  • Il permet un énoncé beaucoup plus simple du théorème fondamental de la théorie de Galois .
  • L'utilisation de champs de base autres que Q est cruciale dans de nombreux domaines des mathématiques. Par exemple, en théorie algébrique des nombres , on fait souvent de la théorie de Galois en utilisant des corps de nombres , des corps finis ou des corps locaux comme corps de base.
  • Il permet d'étudier plus facilement des extensions infinies. Encore une fois, cela est important en théorie algébrique des nombres, où par exemple on discute souvent du groupe de Galois absolu de Q , défini comme étant le groupe de Galois de K / QK est une clôture algébrique de Q .
  • Il permet de considérer des extensions indissociables . Ce problème ne se pose pas dans le cadre classique, car il a toujours été implicitement supposé que l'arithmétique avait lieu dans la caractéristique zéro, mais la caractéristique non nulle se pose fréquemment en théorie des nombres et en géométrie algébrique .
  • Il supprime la dépendance plutôt artificielle à la poursuite des racines des polynômes. C'est-à-dire que différents polynômes peuvent produire les mêmes champs d'extension, et l'approche moderne reconnaît le lien entre ces polynômes.

Groupes résolubles et solution par radicaux

La notion de groupe résoluble en théorie des groupes permet de déterminer si un polynôme est résoluble en radicaux, selon que son groupe de Galois a la propriété de résolvabilité. En substance, chaque extension de champ L / K correspond à un groupe de facteurs dans une série de composition du groupe de Galois. Si un groupe de facteurs dans la série de composition est cyclique d' ordre n , et si dans l' extension de champ correspondante L / K le champ K contient déjà une racine primitive n ième de l' unité , alors c'est une extension radicale et les éléments de L peuvent alors être exprimé en utilisant la racine n ième d'un élément de K .

Si tous les groupes de facteurs de sa série de composition sont cycliques, le groupe de Galois est appelé résoluble , et tous les éléments du champ correspondant peuvent être trouvés en prenant à plusieurs reprises des racines, des produits et des sommes d'éléments du champ de base (généralement Q ) .

L'un des grands triomphes de la théorie de Galois fut la preuve que pour tout n > 4 , il existe des polynômes de degré n qui ne sont pas résolubles par radicaux (cela a été prouvé indépendamment, en utilisant une méthode similaire, par Niels Henrik Abel quelques années auparavant, et est le théorème d'Abel-Ruffini ), et un moyen systématique pour tester si un polynôme spécifique est résoluble par des radicaux. Le théorème d'Abel-Ruffini résulte du fait que pour n > 4 le groupe symétrique S n contient un sous-groupe normal simple , non cyclique, à savoir le groupe alterné A n .

Un exemple de quintique non soluble

Pour le polynôme f ( x ) = x 5x − 1 , la racine réelle isolée x = 1.1673... est algébrique, mais non exprimable en termes de radicaux. Les quatre autres racines sont des nombres complexes .

Van der Waerden cite le polynôme f ( x ) = x 5x − 1 . D'après le théorème de la racine rationnelle, cela n'a pas de zéros rationnels. Il n'a pas non plus de facteurs linéaires modulo 2 ou 3.

Le groupe de Galois de f ( x ) modulo 2 est cyclique d'ordre 6, car f ( x ) modulo 2 se factorise en polynômes d'ordre 2 et 3, ( x 2 + x + 1)( x 3 + x 2 + 1) .

f ( x ) modulo 3 n'a pas de facteur linéaire ou quadratique, et est donc irréductible. Ainsi son groupe de Galois modulo 3 contient un élément d'ordre 5.

On sait qu'un groupe de Galois modulo a prime est isomorphe à un sous-groupe du groupe de Galois sur les rationnels. Un groupe de permutation sur 5 objets avec des éléments d'ordres 6 et 5 doit être le groupe symétrique S 5 , qui est donc le groupe de Galois de f ( x ) . C'est l'un des exemples les plus simples d'un polynôme quintique non résolvable. Selon Serge Lang , Emil Artin était friand de cet exemple.

Problème de Galois inverse

Le problème de Galois inverse consiste à trouver une extension de champ avec un groupe de Galois donné.

Tant qu'on ne précise pas aussi le champ fondamental , le problème n'est pas très difficile, et tous les groupes finis se présentent comme des groupes de Galois. Pour montrer cela, on peut procéder comme suit. Choisissez un corps K et un groupe fini G . Le théorème de Cayley dit que G est (à isomorphisme près) un sous-groupe du groupe symétrique S sur les éléments de G . Choisissez les indéterminés { x α } , un pour chaque élément α de G , et joignez-les à K pour obtenir le champ F = K ({ x α }) . Contenu dans F est le champ L des fonctions rationnelles symétriques dans le { x α } . Le groupe de Galois de F / L est S , par un résultat de base d'Emil Artin. G agit sur F par restriction d'action de S . Si le champ fixe de cette action est M , alors , par le théorème fondamental de la théorie de Galois , le groupe de Galois de F / M est G .

D'autre part, c'est un problème ouvert de savoir si tout groupe fini est le groupe de Galois d'une extension de corps du corps Q des nombres rationnels. Igor Shafarevich a prouvé que tout groupe fini résoluble est le groupe de Galois d'une certaine extension de Q . Diverses personnes ont résolu le problème de Galois inverse pour des groupes simples non abéliens sélectionnés . L'existence de solutions a été démontrée pour tous sauf peut-être un ( groupe de Mathieu M 23 ) des 26 groupes simples sporadiques. Il existe même un polynôme à coefficients intégraux dont le groupe de Galois est le groupe Monster .

Des extensions indissociables

Sous la forme mentionnée ci-dessus, comprenant notamment le théorème fondamental de la théorie galoisienne , la théorie ne considère que les extensions galoisiennes, qui sont notamment séparables. Les extensions de champ générales peuvent être divisées en une extension de champ séparable, suivie d'une extension de champ purement inséparable . Pour une extension radicielle F / K , il y a une théorie de Galois où le groupe Galois est remplacé par l' espace vectoriel de dérivations , , par exemple, K - endomorphismes linéaires de F satisfaisant la règle Leibniz. Dans cette correspondance, un champ intermédiaire E est affecté . Inversement, un sous - espace satisfaisant d'autres conditions appropriées est mappé à . Sous l'hypothèse , Jacobson (1944) a montré que cela établit une correspondance un à un. La condition imposée par Jacobson a été supprimée par Brantner & Waldron (2020) , en donnant une correspondance utilisant des notions de géométrie algébrique dérivée .

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes