Théorie de la jauge gravité - Gauge theory gravity

La théorie de la jauge gravitationnelle ( GTG ) est une théorie de la gravitation exprimée dans le langage mathématique de l'algèbre géométrique . Pour ceux qui sont familiers avec la relativité générale , il rappelle fortement le formalisme tétrade bien qu'il existe des différences conceptuelles importantes. Plus particulièrement, l'arrière-plan de GTG est plat, l'espace-temps de Minkowski . Le principe d'équivalence n'est pas supposé, mais découle plutôt du fait que la dérivée covariante de jauge est couplée de manière minimale . Comme en relativité générale, les équations structurellement identiques aux équations du champ d'Einstein sont dérivables d'un principe variationnel . Un tenseur de spin peut également être supporté d'une manière similaire à la théorie d' Einstein – Cartan – Sciama – Kibble . Le GTG a été proposé pour la première fois par Lasenby, Doran et Gull en 1998 comme un accomplissement de résultats partiels présentés en 1993. La théorie n'a pas été largement adoptée par le reste de la communauté de la physique, qui a principalement opté pour des approches de géométrie différentielle comme celle de la théorie de la gravitation de jauge connexe .

Fondation mathématique

Le fondement de GTG repose sur deux principes. Premièrement, l' invariance de jauge de position exige que les déplacements locaux arbitraires de champs n'affectent pas le contenu physique des équations de champ. Deuxièmement, l' invariance de jauge de rotation exige que les rotations locales arbitraires des champs n'affectent pas le contenu physique des équations de champ. Ces principes conduisent à l'introduction d'une nouvelle paire de fonctions linéaires, le champ de jauge de position et le champ de jauge de rotation. Un déplacement par une fonction arbitraire f

${\ displaystyle x \ mapsto x '= f (x)}$

donne naissance au champ de jauge de position défini par la cartographie sur son adjoint,

${\ displaystyle {\ bar {\ mathsf {h}}} (a, x) \ mapsto {\ bar {\ mathsf {h}}} '(a, x) = {\ bar {\ mathsf {h}}} (f ^ {- 1} (a), f (x)),}$

qui est linéaire dans son premier argument et a est un vecteur constant. De même, une rotation par un rotor R arbitraire donne naissance au champ de jauge de rotation

${\ displaystyle {\ bar {\ mathsf {\ Omega}}} (a, x) \ mapsto {\ bar {\ mathsf {\ Omega}}} '(a, x) = R {\ bar {\ mathsf {\ Omega}}} (a, x) R ^ {\ dagger} -2a \ cdot \ nabla RR ^ {\ dagger}.}$

On peut définir deux dérivées directionnelles covariantes différentes

${\ displaystyle a \ cdot D = a \ cdot {\ bar {\ mathsf {h}}} (\ nabla) + {\ tfrac {1} {2}} {\ mathsf {\ Omega}} ({\ mathsf { Ha))}$

${\ displaystyle a \ cdot {\ mathcal {D}} = a \ cdot {\ bar {\ mathsf {h}}} (\ nabla) + {\ mathsf {\ Omega}} ({\ mathsf {h}} ( une))}$

ou avec la spécification d'un système de coordonnées

${\ displaystyle D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} + {\ tfrac {1} {2}} \ Omega _ {\ mu}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} + \ Omega _ {\ mu} \ times,}$

où × désigne le produit du commutateur.

La première de ces dérivées est mieux adaptée pour traiter directement les spineurs tandis que la seconde est mieux adaptée aux observables . L'analogue GTG du tenseur de Riemann est construit à partir des règles de commutation de ces dérivées.

${\ displaystyle [D _ {\ mu}, D _ {\ nu}] \ psi = {\ tfrac {1} {2}} {\ mathsf {R}} _ {\ mu \ nu} \ psi}$

${\ displaystyle {\ mathcal {R}} (a \ wedge b) = {\ mathsf {R}} ({\ mathsf {h}} (a \ wedge b))}$

Equations de champ

Les équations de champ sont dérivées en postulant que l' action d'Einstein – Hilbert régit l'évolution des champs de jauge, c'est-à-dire

${\ displaystyle S = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} \ left ({\ mathcal {R}} - 2 \ Lambda \ right) + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M} } \ right] (\ det {\ mathsf {h}}) ^ {- 1} \, \ mathrm {d} ^ {4} x.}$

La minimisation de la variation de l'action par rapport aux deux champs de jauge entraîne les équations de champ

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (a) - \ Lambda a = \ kappa {\ mathcal {T}} (a)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ wedge {\ bar {\ mathsf {h}}} (a) = \ kappa {\ mathcal {S}} \ cdot {\ bar {\ mathsf {h}}} ( une),}$

où est le tenseur d' énergie-impulsion covariant et est le tenseur de spin covariant . Surtout, ces équations ne donnent pas une courbure évolutive de l'espace-temps, mais donnent plutôt simplement l'évolution des champs de jauge dans l'espace-temps plat. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

Relation avec la relativité générale

Pour ceux qui sont plus familiers avec la relativité générale, il est possible de définir un tenseur métrique à partir du champ de jauge de position d'une manière similaire aux tétrades. Dans le formalisme tétrade, un ensemble de quatre vecteurs est introduit. L'indice grec μ est élevé ou abaissé en multipliant et en se contractant avec le tenseur métrique de l'espace-temps. L'indice latin entre parenthèses (a) est une étiquette pour chacune des quatre tétrades, qui est élevée et abaissée comme si elle était multipliée et contractée avec un tenseur métrique de Minkowski séparé. GTG, en gros, inverse les rôles de ces indices. La métrique est implicitement supposée être Minkowski dans la sélection de l' algèbre de l' espace - temps . Les informations contenues dans l'autre ensemble d'indices sont subsumées par le comportement des champs de jauge. ${\ displaystyle \ {{e _ {(a)}} ^ {\ mu} \}}$

On peut faire des associations

${\ displaystyle g _ {\ mu} = {\ mathsf {h}} ^ {- 1} (e _ {\ mu})}$

${\ displaystyle g ^ {\ mu} = {\ bar {\ mathsf {h}}} (e ^ {\ mu})}$

pour un vecteur covariant et un vecteur contravariant dans un espace-temps courbe, où maintenant les vecteurs unitaires sont la base de coordonnées choisie. Ceux-ci peuvent définir la métrique à l'aide de la règle ${\ displaystyle \ {e _ {\ mu} \}}$

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ mu} \ cdot g _ {\ nu}.}$

En suivant cette procédure, il est possible de montrer que pour la plupart les prédictions observables de GTG concordent avec la théorie d'Einstein – Cartan – Sciama – Kibble pour le spin non-nul et se réduisent à la relativité générale pour le spin de fuite. GTG fait cependant des prédictions différentes sur les solutions mondiales. Par exemple, dans l'étude d'une masse ponctuelle, le choix d'une "jauge newtonienne" donne une solution similaire à la métrique de Schwarzschild en coordonnées Gullstrand – Painlevé . La relativité générale permet une extension connue sous le nom de coordonnées de Kruskal – Szekeres . GTG, en revanche, interdit une telle extension.

Les références

Liens externes

• David Hestenes: Calcul de l'espace-temps pour la théorie de la gravitation - un compte rendu du formalisme mathématique explicitement dirigé vers GTG