Topologie générale - General topology

La courbe sinusoïdale du topologue , un exemple utile en topologie à ensemble de points. Il est connecté mais pas connecté au chemin.

En mathématiques , la topologie générale est la branche de la topologie qui traite des définitions et des constructions de base de la théorie des ensembles utilisées en topologie. C'est le fondement de la plupart des autres branches de la topologie, y compris la topologie différentielle , la topologie géométrique et la topologie algébrique . Un autre nom pour la topologie générale est la topologie à ensemble de points .

Les concepts fondamentaux de la topologie des ensembles de points sont la continuité , la compacité et la connexité :

  • Les fonctions continues , intuitivement, emmènent des points proches vers des points proches.
  • Les ensembles compacts sont ceux qui peuvent être couverts par un nombre fini d'ensembles de taille arbitrairement petite.
  • Les ensembles connectés sont des ensembles qui ne peuvent pas être divisés en deux morceaux très éloignés l'un de l'autre.

Les termes « à proximité », « arbitrairement petit » et « éloignés » peuvent tous être précisés en utilisant le concept d' ensembles ouverts . Si nous modifions la définition de « ensemble ouvert », nous changeons ce que sont les fonctions continues, les ensembles compacts et les ensembles connectés. Chaque choix de définition pour « ensemble ouvert » est appelé une topologie . Un ensemble avec une topologie est appelé un espace topologique .

Les espaces métriques sont une classe importante d'espaces topologiques où une distance réelle et non négative, également appelée métrique , peut être définie sur des paires de points de l'ensemble. Avoir une métrique simplifie de nombreuses preuves, et bon nombre des espaces topologiques les plus courants sont des espaces métriques.

Histoire

La topologie générale s'est développée à partir d'un certain nombre de domaines, les plus importants étant les suivants :

La topologie générale a pris sa forme actuelle vers 1940. Elle capture, pourrait-on dire, presque tout dans l'intuition de la continuité , sous une forme techniquement adéquate qui peut être appliquée dans n'importe quel domaine des mathématiques.

Une topologie sur un ensemble

Soit X un ensemble et soit τ une famille de sous - ensembles de X . Alors τ est appelé une topologie sur X si :

  1. L' ensemble vide et X sont des éléments de τ
  2. Toute union d'éléments de τ est un élément de τ
  3. Toute intersection de nombreux éléments de finiment τ est un élément de τ

Si τ est une topologie sur X , puis la paire ( X , τ ) est appelé un espace topologique . La notation X τ peut être utilisé pour désigner un ensemble X muni de la topologie particulière τ .

Les membres de τ sont appelés ensembles ouverts dans X . Un sous - ensemble de X est dit être fermé si son complément est en τ ( par exemple, son complément est ouvert). Un sous-ensemble de X peut être ouvert, fermé, les deux ( clopen set ), ou aucun. L'ensemble vide et X lui-même sont toujours à la fois fermés et ouverts.

Base d'une topologie

Une base (ou base ) B pour un espace topologique X de topologie T est une collection d' ouverts de T telle que tout ouvert de T peut s'écrire comme une union d'éléments de B . On dit que la base génère la topologie T . Les bases sont utiles car de nombreuses propriétés de topologies peuvent être réduites à des déclarations sur une base qui génère cette topologie et parce que de nombreuses topologies sont plus facilement définies en termes de base qui les génère.

Sous-espace et quotient

Chaque sous-ensemble d'un espace topologique peut se voir attribuer la topologie de sous - espace dans laquelle les ensembles ouverts sont les intersections des ensembles ouverts du plus grand espace avec le sous-ensemble. Pour toute famille indexée d'espaces topologiques, le produit peut recevoir la topologie de produit , qui est générée par les images inverses d'ensembles ouverts des facteurs sous les mappages de projection . Par exemple, dans les produits finis, une base pour la topologie de produit se compose de tous les produits d'ensembles ouverts. Pour les produits infinis, il y a l'exigence supplémentaire que dans un ensemble ouvert de base, toutes ses projections, sauf un nombre fini, représentent l'espace entier.

Un espace quotient est défini comme suit : si X est un espace topologique et Y est un ensemble, et si f  : XY est une fonction surjective , alors la topologie quotient sur Y est l'ensemble des sous-ensembles de Y qui ont des images inverses ouvertes sous f . Autrement dit, la topologie quotient est la topologie la plus fine sur Y pour laquelle f est continue. Un exemple courant de topologie quotient est lorsqu'une relation d'équivalence est définie sur l'espace topologique X . L'application f est alors la projection naturelle sur l'ensemble des classes d'équivalence .

Exemples d'espaces topologiques

Un ensemble donné peut avoir de nombreuses topologies différentes. Si un ensemble reçoit une topologie différente, il est considéré comme un espace topologique différent.

Topologies discrètes et triviales

Tout ensemble peut recevoir la topologie discrète , dans laquelle chaque sous-ensemble est ouvert. Les seules séquences ou réseaux convergents dans cette topologie sont ceux qui sont finalement constants. En outre, tout ensemble peut recevoir la topologie triviale (également appelée topologie indiscrète), dans laquelle seuls l'ensemble vide et l'espace entier sont ouverts. Chaque séquence et réseau dans cette topologie converge vers chaque point de l'espace. Cet exemple montre que dans les espaces topologiques généraux, les limites des séquences n'ont pas besoin d'être uniques. Cependant, les espaces topologiques doivent souvent être des espaces de Hausdorff où les points limites sont uniques.

Topologies cofinites et cocontables

Tout ensemble peut recevoir la topologie cofinie dans laquelle les ensembles ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles dont le complément est fini. Il s'agit de la plus petite topologie T 1 sur un ensemble infini.

Tout ensemble peut recevoir la topologie cocountable , dans laquelle un ensemble est défini comme ouvert s'il est vide ou si son complément est dénombrable. Lorsque l'ensemble est indénombrable, cette topologie sert de contre-exemple dans de nombreuses situations.

Topologies sur les nombres réels et complexes

Il existe de nombreuses façons de définir une topologie sur R , l' ensemble des nombres réels . La topologie standard sur R est générée par les intervalles ouverts . L'ensemble de tous les intervalles ouverts forme une base ou une base pour la topologie, ce qui signifie que chaque ensemble ouvert est une union d'une collection d'ensembles de la base. En particulier, cela signifie qu'un ensemble est ouvert s'il existe un intervalle ouvert de rayon non nul autour de chaque point de l'ensemble. Plus généralement, on peut donner aux espaces euclidiens R n une topologie. Dans la topologie habituelle sur R n les ensembles ouverts de base sont les boules ouvertes . De même, C , l'ensemble des nombres complexes , et C n ont une topologie standard dans laquelle les ensembles ouverts de base sont des boules ouvertes.

La ligne réelle peut également recevoir la topologie limite inférieure . Ici, les ensembles ouverts de base sont les intervalles semi-ouverts [ a , b ). Cette topologie sur R est strictement plus fine que la topologie euclidienne définie ci-dessus ; une suite converge vers un point de cette topologie si et seulement si elle converge d'en haut dans la topologie euclidienne. Cet exemple montre qu'un ensemble peut avoir plusieurs topologies distinctes définies dessus.

La topologie métrique

Chaque espace métrique peut se voir attribuer une topologie métrique, dans laquelle les ensembles ouverts de base sont des boules ouvertes définies par la métrique. C'est la topologie standard sur n'importe quel espace vectoriel normé . Sur un espace vectoriel de dimension finie, cette topologie est la même pour toutes les normes.

Autres exemples

Fonctions continues

La continuité s'exprime en termes de voisinages : f est continue en un point x  ∈  X si et seulement si pour tout voisinage V de f ( x ) , il existe un voisinage U de x tel que f ( UV . Intuitivement, la continuité signifie que peu importe à quel point V devient "petit" , il y a toujours un U contenant x qui est mappé à l'intérieur de V et dont l'image sous f contient f ( x ) . Ceci est équivalent à la condition que les pré - images des ensembles ouverts (fermés) dans Y soient ouverts (fermés) dans X . Dans les espaces métriques, cette définition est équivalente à la définition ε–δ qui est souvent utilisée en analyse.

Un exemple extrême : si un ensemble X reçoit la topologie discrète , toutes les fonctions

à tout espace topologique T sont continues. En revanche, si X est doté de la topologie indiscrète et que l'espace T ensemble est au moins T 0 , alors les seules fonctions continues sont les fonctions constantes. A l'inverse, toute fonction dont la portée est indiscrète est continue.

Définitions alternatives

Plusieurs définitions équivalentes pour une structure topologique existent et il existe donc plusieurs manières équivalentes de définir une fonction continue.

Définition du quartier

Les définitions basées sur des pré-images sont souvent difficiles à utiliser directement. Le critère suivant exprime la continuité en termes de voisinages : f est continue en un point x  ∈  X si et seulement si pour tout voisinage V de f ( x ), il existe un voisinage U de x tel que f ( UV . Intuitivement, la continuité signifie que peu importe à quel point V devient "petit" , il y a toujours un U contenant x qui se mappe à l'intérieur de V .

Si X et Y sont des espaces métriques, cela revient à considérer le système de voisinage des boules ouvertes centrées en x et f ( x ) au lieu de tous les voisinages. Cela redonne la définition δ-ε ci-dessus de la continuité dans le contexte des espaces métriques. Cependant, dans les espaces topologiques généraux, il n'y a pas de notion de proximité ou de distance.

Notez, cependant, que si l'espace cible est Hausdorff , il est toujours vrai que f est continue en a si et seulement si la limite de f lorsque x se rapproche de a est f ( a ). En un point isolé, toute fonction est continue.

Séquences et filets

Dans plusieurs contextes, la topologie d'un espace est commodément spécifiée en termes de points limites . Dans de nombreux cas, cela est accompli en spécifiant quand un point est la limite d'une séquence , mais pour certains espaces qui sont trop grands dans un certain sens, on spécifie également quand un point est la limite d'ensembles plus généraux de points indexés par un orienté ensemble , connu sous le nom de filets . Une fonction n'est continue que si elle prend des limites de séquences à des limites de séquences. Dans le premier cas, la préservation des limites est également suffisante ; dans ce dernier cas, une fonction peut préserver toutes les limites des séquences sans toutefois être continue, et la préservation des réseaux est une condition nécessaire et suffisante.

En détail, une fonction f : XY est séquentiellement continue si chaque fois qu'une suite ( x n ) dans X converge vers une limite x , la suite ( f ( x n )) converge vers f ( x ). Ainsi les fonctions séquentiellement continues "préservent les limites séquentielles". Chaque fonction continue est séquentiellement continue. Si X est un premier espace dénombrable et que le choix dénombrable est vrai , alors l'inverse est également vrai : toute fonction préservant les limites séquentielles est continue. En particulier, si X est un espace métrique, continuité séquentielle et continuité sont équivalentes. Pour les espaces non dénombrables en premier, la continuité séquentielle peut être strictement plus faible que la continuité. (Les espaces pour lesquels les deux propriétés sont équivalentes sont appelés espaces séquentiels .) Cela motive la considération des réseaux au lieu des séquences dans les espaces topologiques généraux. Les fonctions continues préservent les limites des réseaux, et en fait cette propriété caractérise les fonctions continues.

Définition de l'opérateur de fermeture

Au lieu de spécifier les sous-ensembles ouverts d'un espace topologique, la topologie peut également être déterminée par un opérateur de fermeture (noté cl), qui assigne à tout sous-ensemble AX sa fermeture , ou un opérateur intérieur (noté int), qui assigne à tout sous-ensemble A de X son intérieur . En ces termes, une fonction

entre les espaces topologiques est continue au sens ci-dessus si et seulement si pour tous les sous-ensembles A de X

C'est-à-dire que, étant donné tout élément x de X qui est dans la clôture de tout sous-ensemble A , f ( x ) appartient à la clôture de f ( A ). Cela équivaut à l'exigence que pour tous les sous-ensembles A ' de X '

De plus,

est continue si et seulement si

pour tout sous-ensemble A de X .

Propriétés

Si f : XY et g : YZ sont continues, alors la composition gf : XZ l'est aussi . Si f : XY est continue et

Les topologies possibles sur un ensemble fixe X sont partiellement ordonnées : une topologie τ 1 est dite plus grossière qu'une autre topologie τ 2 (notation : τ 1 ⊆ τ 2 ) si tout sous-ensemble ouvert par rapport à τ 1 est aussi ouvert par rapport à τ 2 . Ensuite, la carte d'identité

id X : ( X , 2 ) → ( X , 1 )

est continue si et seulement si τ 1 ⊆ τ 2 (voir aussi comparaison de topologies ). Plus généralement, une fonction continue

reste continue si la topologie τ Y est remplacée par une topologie plus grossière et/ou τ X est remplacée par une topologie plus fine .

Homéomorphismes

Symétrique au concept d'une carte continue est une carte ouverte , pour laquelle les images d'ensembles ouverts sont ouvertes. En fait, si une application ouverte f a une fonction inverse , cet inverse est continu, et si une application continue g a un inverse, cet inverse est ouvert. Étant donné une fonction bijective f entre deux espaces topologiques, la fonction inverse f -1 n'a pas besoin d'être continue. Une fonction continue bijective avec une fonction inverse continue est appelée un homéomorphisme .

Si une bijection continue a pour domaine un espace compact et que son codomaine est Hausdorff , alors c'est un homéomorphisme.

Définition de topologies via des fonctions continues

Étant donné une fonction

X est un espace topologique et S est un ensemble (sans topologie spécifiée), la topologie finale sur S est définie en laissant les ensembles ouverts de S être les sous-ensembles A de S pour lesquels f −1 ( A ) est ouvert dans X . Si S a une topologie existante, f est continue par rapport à cette topologie si et seulement si la topologie existante est plus grossière que la topologie finale sur S . Ainsi, la topologie finale peut être caractérisée comme la topologie la plus fine sur S qui rend f continue. Si f est surjective , cette topologie s'identifie canoniquement à la topologie quotient sous la relation d'équivalence définie par f .

Dualement, pour une fonction f d'un ensemble S à un espace topologique, la topologie initiale sur S a pour sous-ensembles ouverts A de S les sous-ensembles pour lesquels f ( A ) est ouvert dans X . Si S possède une topologie existante, f est continue par rapport à cette topologie si et seulement si la topologie existante est plus fine que la topologie initiale sur S . Ainsi, la topologie initiale peut être caractérisée comme la topologie la plus grossière sur S qui rend f continue. Si f est injective, cette topologie s'identifie canoniquement à la topologie de sous - espace de S , considérée comme un sous-ensemble de X .

Une topologie sur un ensemble S est uniquement déterminée par la classe de toutes les fonctions continues dans tous les espaces topologiques X . Doublement , une idée similaire peut être appliquée aux cartes

Ensembles compacts

Formellement, un espace topologique X est dit compact si chacune de ses couvertures ouvertes a une sous- couverture finie . Sinon, il est dit non compact . Explicitement, cela signifie que pour chaque collection arbitraire

de sous-ensembles ouverts de X tels que

il existe un sous-ensemble fini J de A tel que

Certaines branches des mathématiques telles que la géométrie algébrique , typiquement influencée par l'école française de Bourbaki , utilisent le terme quasi-compact pour la notion générale, et réservent le terme compact pour les espaces topologiques qui sont à la fois Hausdorff et quasi-compact . Un ensemble compact est parfois appelé compactum , pluriel compacta .

Tout intervalle fermé de R de longueur finie est compact . Plus est vrai : dans R n , un ensemble est compact si et seulement s'il est fermé et borné. (Voir le théorème de Heine-Borel ).

Toute image continue d'un espace compact est compacte.

Un sous-ensemble compact d'un espace de Hausdorff est fermé.

Toute bijection continue d'un espace compact vers un espace de Hausdorff est nécessairement un homéomorphisme .

Chaque séquence de points dans un espace métrique compact a une sous-suite convergente.

Chaque boîtier compact de dimension finie variété peut être intégré dans un espace euclidien R n .

Ensembles connectés

Un espace topologique X est dit déconnecté s'il est l' union de deux ouverts non vides disjoints . Sinon, X est dit connecté . Un sous - ensemble d'un espace topologique est dit connecté s'il est connecté sous sa topologie de sous-espace . Certains auteurs excluent l' ensemble vide (avec sa topologie unique) en tant qu'espace connecté, mais cet article ne suit pas cette pratique.

Pour un espace topologique X les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. X est connecté.
  2. X ne peut pas être divisé en deux ensembles fermés non vides disjoints .
  3. Les seuls sous-ensembles de X qui sont à la fois ouverts et fermés ( ensembles clopen ) sont X et l'ensemble vide.
  4. Les seuls sous-ensembles de X avec une limite vide sont X et l'ensemble vide.
  5. X ne peut pas être écrit comme l'union de deux ensembles séparés non vides .
  6. Les seules fonctions continues de X à {0,1}, l'espace à deux points doté de la topologie discrète, sont constantes.

Chaque intervalle de R est connexe .

L'image continue d'un connecté espace est connecté.

Composants connectés

Les sous- ensembles connexes maximaux (ordonnés par inclusion ) d'un espace topologique non vide sont appelés les composants connexes de l'espace. Les composantes de tout espace topologique X forment une partition de  X : elles sont disjointes , non vides, et leur union est l'espace entier. Chaque composant est un sous-ensemble fermé de l'espace d'origine. Il s'ensuit que, dans le cas où leur nombre est fini, chaque composante est aussi un sous-ensemble ouvert. Cependant, si leur nombre est infini, cela pourrait ne pas être le cas ; par exemple, les composantes connexes de l'ensemble des nombres rationnels sont les ensembles à un point, qui ne sont pas ouverts.

Soit la composante connexe de x dans un espace topologique X , et soit l'intersection de tous les ensembles ouverts-fermés contenant x (appelé quasi-composante de x .) Alors où l'égalité est vérifiée si X est de Hausdorff compact ou localement connexe.

Espaces déconnectés

Un espace dans lequel tous les composants sont des ensembles à un point est appelé totalement déconnecté . Lié à cette propriété, un espace X est dit totalement séparé si, pour deux éléments distincts x et y de X , il existe des voisinages ouverts disjoints U de x et V de y tels que X est la réunion de U et V . Il est clair que tout espace totalement séparé est totalement déconnecté, mais l'inverse ne tient pas. Par exemple, prenez deux copies des nombres rationnels Q et identifiez-les à chaque point sauf zéro. L'espace résultant, avec la topologie quotient, est totalement déconnecté. Cependant, en considérant les deux copies de zéro, on voit que l'espace n'est pas totalement séparé. En fait, ce n'est même pas Hausdorff , et la condition d'être totalement séparé est strictement plus forte que la condition d'être Hausdorff.

Ensembles connectés par chemin

Ce sous-espace de R ² est lié à un chemin, car un chemin peut être tracé entre deux points quelconques de l'espace.

Un chemin d'un point x à un point y dans un espace topologique X est une fonction continue f de l' intervalle unitaire [0,1] à X avec f (0) = x et f (1) = y . Une composante de chemin de X est une classe d'équivalence de X sous la relation d'équivalence , ce qui rend x équivalent à y s'il existe un chemin de x à y . L'espace X est dit chemin connecté (ou trajectorielle connecté ou 0-liée ) s'il y a au plus un chemin-composant, à savoir s'il existe un chemin joignant deux points quelconques dans X . Encore une fois, de nombreux auteurs excluent l'espace vide.

Chaque espace connecté au chemin est connecté. L'inverse n'est pas toujours vrai : des exemples d'espaces connectés qui ne sont pas connectés par des chemins incluent la longue ligne étendue L * et la courbe sinusoïdale du topologue .

Cependant, des sous-ensembles de la ligne réelle R sont connectés si et seulement s'ils sont connectés par chemin ; ces sous-ensembles sont les intervalles de R . De plus, les sous - ensembles ouverts de R n ou C n sont connectés si et seulement s'ils sont connectés par chemin. De plus, la connexité et la connexité de chemin sont les mêmes pour les espaces topologiques finis .

Produits des espaces

Étant donné X tel que

est le produit cartésien des espaces topologiques X i , indexés par , et des projections canoniques p i  : XX i , la topologie produit sur X est définie comme la topologie la plus grossière (c'est-à-dire la topologie avec le moins d'ouverts) pour laquelle tout les projections p i sont continues . La topologie du produit est parfois appelée topologie de Tychonoff .

Les ensembles ouverts dans la topologie du produit sont les syndicats (fini ou infini) des ensembles de la forme , où chaque U i est ouvert dans X i et U i  ≠  X i seulement finiment plusieurs fois. En particulier, pour un produit fini (en particulier, pour le produit de deux espaces topologiques), les produits des éléments de base des X i donnent une base au produit .

La topologie produit sur X est la topologie engendrée par les ensembles de la forme p i -1 ( U ), où i est dans I et U est un sous-ensemble ouvert de X i . Autrement dit, les ensembles { p i -1 ( U )} forment une sous- base pour la topologie sur X . Un sous - ensemble de X est ouvert si et seulement si c'est une union (éventuellement infinie) d' intersections d'un nombre fini d'ensembles de la forme p i −1 ( U ). Les p i -1 ( U ) sont parfois appelés cylindres ouverts , et leurs intersections sont des ensembles de cylindres .

En général, le produit des topologies de chaque X i forme une base pour ce qu'on appelle la topologie boîte sur X . En général, la topologie boîte est plus fine que la topologie produit, mais pour les produits finis, elles coïncident.

Liés à la compacité est le théorème de Tychonoff : le (arbitraire) produit d'espaces compacts est compact.

Axiomes de séparation

Beaucoup de ces noms ont des significations alternatives dans une partie de la littérature mathématique, comme expliqué sur Histoire des axiomes de séparation ; par exemple, les significations de « normal » et « T 4 » sont parfois interverties, de même que « régulier » et « T 3 », etc. De nombreux concepts ont également plusieurs noms ; cependant, celui indiqué en premier est toujours le moins susceptible d'être ambigu.

La plupart de ces axiomes ont des définitions alternatives avec le même sens ; les définitions données ici s'inscrivent dans un schéma cohérent qui relie les différentes notions de séparation définies dans la section précédente. D'autres définitions possibles peuvent être trouvées dans les articles individuels.

Dans toutes les définitions suivantes, X est à nouveau un espace topologique .

  • X est T 0 , ou Kolmogorov , si deux points distincts de X sont topologiquement distinguables . (C'est un thème commun parmi les axiomes de séparation d'avoir une version d'un axiome qui nécessite T 0 et une version qui n'en nécessite pas.)
  • X est T 1 , ou accessible ou Fréchet , si deux points distincts de X sont séparés. Ainsi, X est T 1 si et seulement si c'est à la fois T 0 et R 0 . (Bien que vous puissiez dire des choses telles que l' espace T 1 , la topologie de Fréchet et Supposons que l'espace topologique X est Fréchet , évitez de dire l' espace de Fréchet dans ce contexte, car il existe une autre notion entièrement différente de l' espace de Fréchet en analyse fonctionnelle .)
  • X est Hausdorff , ou T 2 ou séparé , si deux points distincts de X sont séparés par des voisinages. Ainsi, X est Hausdorff si et seulement si c'est à la fois T 0 et R 1 . Un espace de Hausdorff doit également être T 1 .
  • X est T , ou Urysohn , si deux points distincts de X sont séparés par des voisinages fermés. L' espace AT doit également être Hausdorff.
  • X est régulier , ou T 3 , s'il est T 0 et s'il est donné un point x et un ensemble fermé F dans X tel que x n'appartient pas à F , ils sont séparés par des voisinages. (En fait, dans un espace régulier, tous ces x et F sont également séparés par des voisinages fermés.)
  • X est Tychonoff , ou T , complètement T 3 , ou complètement régulier , s'il est T 0 et si f, étant donné un point x et un ensemble fermé F dans X tel que x n'appartient pas à F , ils sont séparés par un continu fonction.
  • X est normal , ou T 4 , s'il s'agit de Hausdorff et si deux sous-ensembles fermés disjoints de X sont séparés par des voisinages. (En fait, un espace est normal si et seulement si deux ensembles fermés disjoints peuvent être séparés par une fonction continue ; c'est le lemme d'Urysohn .)
  • X est complètement normal , ou T 5 ou complètement T 4 , s'il est T 1 et si deux ensembles séparés sont séparés par des voisinages. Un espace tout à fait normal doit aussi être normal.
  • X est parfaitement normal , ou T 6 ou parfaitement T 4 , s'il est T 1 et si deux ensembles fermés disjoints sont précisément séparés par une fonction continue. Un espace Hausdorff parfaitement normal doit également être Hausdorff tout à fait normal.

Le théorème d'extension de Tietze : Dans un espace normal, toute fonction continue à valeur réelle définie sur un sous-espace fermé peut être étendue à une application continue définie sur tout l'espace.

Axiomes de dénombrement

Un axiome de dénombrement est une propriété de certains objets mathématiques (généralement dans une catégorie ) qui nécessite l'existence d'un ensemble dénombrable avec certaines propriétés, alors que sans lui, de tels ensembles pourraient ne pas exister.

Axiomes de dénombrement importants pour les espaces topologiques :

Rapports:

  • Chaque premier espace dénombrable est séquentiel.
  • Chaque deuxième espace dénombrable est d'abord dénombrable, séparable et Lindelöf.
  • Chaque espace σ-compact est Lindelöf.
  • Un espace métrique est d'abord dénombrable.
  • Pour les espaces métriques, la seconde dénombrabilité, la séparabilité et la propriété de Lindelöf sont toutes équivalentes.

Espaces métriques

Un espace métrique est une paire ordonnée où est un ensemble et est une métrique sur , c'est-à-dire une fonction

tel que pour tout , ce qui suit est vérifié :

  1.     ( non négatif ),
  2. ssi     ( identité des indiscernables ),
  3.     ( symétrie ) et
  4.     ( inégalité triangulaire ).

La fonction est aussi appelée fonction de distance ou simplement distance . Souvent, est omis et on écrit juste pour un espace métrique s'il est clair d'après le contexte quelle métrique est utilisée.

Tout espace métrique est paracompact et Hausdorff , et donc normal .

Les théorèmes de métrisation fournissent les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une topologie provienne d'une métrique.

Théorème des catégories de Baire

Le théorème des catégories de Baire dit : Si X est un espace métrique complet ou un espace de Hausdorff localement compact , alors l'intérieur de chaque union d'un nombre dénombrable d' ensembles denses nulle part est vide.

Tout sous-espace ouvert d'un espace de Baire est lui-même un espace de Baire.

Principaux domaines de recherche

Trois itérations d'une construction de courbe de Peano, dont la limite est une courbe de remplissage d'espace. La courbe de Peano est étudiée en théorie des milieux continus , une branche de la topologie générale .

Théorie du continu

Un continu (pl continua ) est un espace métrique connexe compact non vide , ou moins fréquemment, un espace de Hausdorff connexe compact . La théorie des continus est la branche de la topologie consacrée à l'étude des continus. Ces objets apparaissent fréquemment dans presque tous les domaines de la topologie et de l' analyse , et leurs propriétés sont suffisamment solides pour produire de nombreuses caractéristiques « géométriques ».

Systèmes dynamiques

La dynamique topologique concerne le comportement d'un espace et de ses sous-espaces au cours du temps lorsqu'ils sont soumis à un changement continu. De nombreux exemples avec des applications à la physique et à d'autres domaines des mathématiques incluent la dynamique des fluides , le billard et les écoulements sur les collecteurs. Les caractéristiques topologiques des fractales en géométrie fractale, des ensembles de Julia et de Mandelbrot apparaissant dans la dynamique complexe , et des attracteurs dans les équations différentielles sont souvent critiques pour comprendre ces systèmes.

Topologie inutile

La topologie sans point (également appelée topologie sans point ou sans point ) est une approche de la topologie qui évite de mentionner des points. Le nom 'topologie inutile' est dû à John von Neumann . Les idées de topologie inutile sont étroitement liées aux meréotopologies , dans lesquelles les régions (ensembles) sont traitées comme fondamentales sans référence explicite aux ensembles de points sous-jacents.

Théorie des dimensions

La théorie des dimensions est une branche de la topologie générale traitant des invariants dimensionnels des espaces topologiques .

Algèbres topologiques

Une algèbre topologique A sur un champ topologique K est un espace vectoriel topologique avec une multiplication continue

cela en fait une algèbre sur K . Une algèbre topologique associative unitaire est un anneau topologique .

Le terme a été inventé par David van Dantzig ; il apparaît dans le titre de sa thèse de doctorat (1931).

Théorie de la métrisabilité

Dans la topologie et les domaines connexes de mathématiques , un espace métrisable est un espace topologique qui est homéomorphe à un espace métrique . C'est-à-dire qu'un espace topologique est dit métrisable s'il existe une métrique

tel que la topologie induite par d est . Les théorèmes de métrisation sont des théorèmes qui donnent des conditions suffisantes pour qu'un espace topologique soit métrisable.

Topologie ensembliste

La topologie ensembliste est un sujet qui combine la théorie des ensembles et la topologie générale. Il se concentre sur des questions topologiques indépendantes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Un problème célèbre est la question spatiale normale de Moore , une question de topologie générale qui a fait l'objet d'intenses recherches. La réponse à la question spatiale normale de Moore s'est finalement avérée indépendante de ZFC.

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Certains livres standard sur la topologie générale comprennent :

Le code du sujet arXiv est math.GN .

Liens externes