Généralité de l'algèbre - Generality of algebra

Dans l' histoire des mathématiques , la généralité de l'algèbre était une expression utilisée par Augustin-Louis Cauchy pour décrire une méthode d'argumentation utilisée au XVIIIe siècle par des mathématiciens tels que Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange , en particulier dans la manipulation de séries infinies . Selon Koetsier, le principe de généralité de l'algèbre supposait, grosso modo, que les règles algébriques qui s'appliquent à une certaine classe d'expressions peuvent être étendues pour s'appliquer plus généralement à une plus grande classe d'objets, même si les règles ne sont plus manifestement valides. En conséquence, les mathématiciens du XVIIIe siècle pensaient qu'ils pouvaient obtenir des résultats significatifs en appliquant les règles habituelles de l'algèbre et du calcul qui s'appliquent aux développements finis même lorsqu'ils manipulent des développements infinis.

Dans des travaux tels que Cours d'Analyse , Cauchy a rejeté l'utilisation de méthodes de « généralité de l'algèbre » et a cherché une base plus rigoureuse pour l'analyse mathématique .

Exemple

Un exemple est la dérivation d'Euler de la série

${\displaystyle {\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+\cdots }$

( 1 )

pour . Il a d'abord évalué l'identité ${\style d'affichage 0<x<\pi }$

${\displaystyle {\frac {1-r\cos x}{1-2r\cos x+r^{2}}}=1+r\cos x+r^{2}\cos 2x+r^{3 }\cos 3x+\cdots }$

( 2 )

à pour obtenir ${\style d'affichage r=1}$

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots .}$

( 3 )

La série infinie du membre de droite de ( 3 ) diverge pour tout réel . Mais néanmoins l' intégration de ce terme à terme donne ( 1 ), une identité qui est connue pour être vraie par les méthodes modernes. ${\style d'affichage x}$

Voir également

• Principe de permanence
• Principe de transfert

Les références

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• e