Moyenne généralisée - Generalized mean

En mathématiques , les moyennes généralisées (ou moyenne puissance ou moyenne de Hölder d'Otto Hölder ) sont une famille de fonctions permettant d'agréger des ensembles de nombres. Ceux - ci comprennent comme des cas particuliers les moyens de Pythagore ( arithmétique , géométrique et harmonique des moyens ).

Définition

Si p est un nombre réel non nul et sont des nombres réels positifs, alors la moyenne généralisée ou moyenne puissance avec l'exposant p de ces nombres réels positifs est : ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i }^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

(Voir p- norme ). Pour p = 0, nous le fixons égal à la moyenne géométrique (qui est la limite des moyennes avec des exposants approchant de zéro, comme prouvé ci-dessous):

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}$$

De plus, pour une séquence de poids positifs w _i avec somme, nous définissons la moyenne de puissance pondérée comme : ${\displaystyle \textstyle {\sum _{i}w_{i}=1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{ i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\prod _{i=1} ^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}$$

Les moyennes non pondérées correspondent à l'établissement de tout w _i = 1/ n .

Cas spéciaux

Une représentation visuelle de certains des cas spécifiés pour n = 2 avec a = x ₁ = M _∞ et b = x ₂ = M _−∞ :

  moyenne harmonique, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  moyenne géométrique, G = M ₀ ( a , b )

  moyenne arithmétique, A = M ₁ ( a , b )

  moyenne quadratique, Q = M ₂ ( a , b )

Quelques valeurs particulières de p donnent des cas particuliers avec leurs propres noms :

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{ n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	le minimum
${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$	moyenne harmonique
${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})= {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$	Moyenne géométrique
${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$	moyenne arithmétique
${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}} {n}}}}$	moyenne quadratique ou moyenne quadratique
${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n} ^{3}}{n}}}}$	moyenne cubique
${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n })=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	maximum

Preuve de (moyenne géométrique) Nous pouvons réécrire la définition de M _{p en} utilisant la fonction exponentielle${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_ {i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i =1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$$

A la limite p → 0 , on peut appliquer la règle de L'Hôpital à l'argument de la fonction exponentielle. En différenciant le numérateur et le dénominateur par rapport à p , nous avons

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{ p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^ {p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _ {p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j= 1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i }}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right )^{p}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i =1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}$$

Par la continuité de la fonction exponentielle, nous pouvons substituer à la relation ci-dessus pour obtenir

$${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1 }^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_ {0}(x_{1},\points ,x_{n})}$$

comme voulu.

Preuve de et${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$  —

Supposons (éventuellement après avoir réétiqueté et combiné les termes) que . Puis ${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\ gauche(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right )^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}}$$

La formule pour suit de${\displaystyle M_{-\infty }}$${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_ {n})}}.}$

Propriétés

Soit une séquence de nombres réels positifs, alors les propriétés suivantes sont vérifiées : ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ points ,x_{n})}$.
   Chaque moyenne généralisée se situe toujours entre la plus petite et la plus grande des valeurs x .
2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$, où est un opérateur de permutation.${\style d'affichage P}$
   Chaque moyenne généralisée est une fonction symétrique de ses arguments ; permuter les arguments d'une moyenne généralisée ne change pas sa valeur.
3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Comme la plupart des moyennes , la moyenne généralisée est une fonction homogène de ses arguments x ₁ , ..., x _n . Autrement dit, si b est un nombre réel positif, alors la moyenne généralisée avec l'exposant p des nombres est égale à b fois la moyenne généralisée des nombres x ₁ , ..., x _n .${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$
4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}) ,M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots , x_{n\cdot k})\right]}$.
   Comme les moyennes quasi-arithmétiques , le calcul de la moyenne peut être scindé en calculs de sous-blocs de taille égale. Cela permet d'utiliser un algorithme diviser pour régner pour calculer les moyennes, lorsque cela est souhaitable.

Inégalité moyenne généralisée

Preuve géométrique sans mots que max  ( a , b ) > moyenne quadratique ( RMS ) ou quadratique moyenne ( QM ) > moyenne arithmétique ( AM ) > moyenne géométrique ( GM ) > moyenne harmonique ( HM ) > min  ( a , b ) de deux nombres positifs a et b

En général, si p  <  q , alors

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

et les deux moyennes sont égales si et seulement si x ₁  =  x ₂  = ... =  x _n .

L'inégalité est vraie pour les valeurs réelles de p et q , ainsi que pour les valeurs infinies positives et négatives.

Il résulte du fait que, pour tout réel p ,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$$

ce qui peut être prouvé en utilisant l'inégalité de Jensen .

En particulier, pour p dans {−1, 0, 1} , l'inégalité moyenne généralisée implique l' inégalité des moyennes pythagoriciennes ainsi que l' inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques .

Preuve de pouvoir signifie inégalité

Nous allons prouver que puissance pondérée signifie inégalité, pour les besoins de la preuve, nous supposerons ce qui suit sans perte de généralité :

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$$

La preuve pour les moyennes de puissance non pondérées est facilement obtenue en substituant w _i = 1/ n .

Équivalence des inégalités entre moyennes de signes opposés

Supposons qu'une moyenne entre les moyennes de puissance avec les exposants p et q soit vérifiée :

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\geq {\sqrt[{q}]{\ somme _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$$

en appliquant ceci, alors:

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\geq {\ sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$$

On élève les deux membres à la puissance -1 (fonction strictement décroissante en réels positifs) :

$${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{ \frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\leq {\sqrt[{q }]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}}={\sqrt[ {-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$$

Nous obtenons l'inégalité des moyennes avec les exposants −p et −q , et nous pouvons utiliser le même raisonnement à l'envers, prouvant ainsi que les inégalités sont équivalentes, ce qui sera utilisé dans certaines des preuves ultérieures.

Moyenne géométrique

Pour tout q > 0 et les poids non négatifs totalisant 1, l'inégalité suivante est vérifiée :

$${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1} ^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q} }}.}$$

La preuve découle de l'inégalité de Jensen , en utilisant le fait que le logarithme est concave :

$${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i }\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

En appliquant la fonction exponentielle des deux côtés et en observant qu'en tant que fonction strictement croissante elle préserve le signe de l'inégalité, on obtient

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

En prenant q ième puissances des x _i , on en a fini pour l'inégalité avec q positif ; le cas des négatifs est identique.

L'inégalité entre deux puissances signifie

Nous devons prouver que pour tout p < q l'inégalité suivante est vraie :

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\ somme _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$$

si p est négatif et q est positif, l'inégalité est équivalente à celle prouvée ci-dessus :

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{ n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}} }$$

La preuve pour p et q positifs est la suivante : Définir la fonction suivante : f  : R ₊ → R ₊ . f est une fonction puissance, elle a donc une dérivée seconde : ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$

$${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$$

qui est strictement positif dans le domaine de f , puisque q > p , donc nous savons que f est convexe.

En utilisant ceci, et l'inégalité de Jensen, nous obtenons :

$${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1 }^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]{\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^ {n}w_{i}x_{i}^{p}}}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}} }$$

après avoir élevé les deux membres à la puissance 1/ q (une fonction croissante, puisque 1/ q est positif) on obtient l'inégalité qui devait être prouvée :

$${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\ somme _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$$

En utilisant l'équivalence montrée précédemment, nous pouvons prouver l'inégalité pour p et q négatifs en les remplaçant par −q et −p , respectivement.

f -moyenne généralisée

La moyenne de puissance pourrait être généralisée à la suite de la f -moyenne généralisée :

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i= 1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$$

Cela couvre la moyenne géométrique sans utiliser de limite avec f ( x ) = log( x ) . La moyenne de puissance est obtenue pour f ( x ) = x ^p .

Applications

Traitement de signal

Une moyenne de puissance sert à une moyenne mobile non linéaire qui est décalée vers de petites valeurs de signal pour un petit p et met l'accent sur les grandes valeurs de signal pour un grand p . Étant donné une implémentation efficace d'une moyenne arithmétique mobile appelée, smoothon peut implémenter une moyenne de puissance mobile selon le code Haskell suivant.

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

• Pour un grand p, il peut servir de détecteur d'enveloppe sur un signal redressé .
• Pour un petit p, il peut servir de détecteur de ligne de base sur un spectre de masse .

Voir également

• Moyenne arithmétique-géométrique
• Moyenne
• moyenne héronienne
• Inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques
• Moyenne de Lehmer – également une moyenne liée aux puissances
• Distance de Minkowski
• Moyenne quasi-arithmétique - un autre nom pour la f-moyenne généralisée mentionnée ci-dessus
• Racine quadratique moyenne

Remarques

Références et lectures complémentaires

• PS Bullen : Manuel des moyens et de leurs inégalités . Dordrecht, Pays-Bas : Kluwer, 2003, chapitre III (The Power Means), pp. 175-265

Liens externes

• Puissance moyenne chez MathWorld
• Exemples de moyenne généralisée
• Une preuve de la moyenne généralisée sur PlanetMath