Géodésique - Geodesic
Dans la géométrie , une géodésique ( / ˌ dʒ i ə d ɛ s ɪ k , ˌ dʒ i oʊ -, - d i -, - z ɪ k / ) est généralement une courbe qui représente en quelque sorte le chemin le plus court ( arc ) entre deux points d'une surface , ou plus généralement d'une variété riemannienne . Le terme a également un sens dans toute variété différentiable avec une connexion . C'est une généralisation de la notion de « ligne droite » à un cadre plus général.
Le nom géodésique et l'adjectif géodésique viennent de la géodésie , la science de la mesure de la taille et de la forme de la Terre , tandis que de nombreux principes sous-jacents peuvent être appliqués à n'importe quelle géométrie ellipsoïdale . Au sens premier, une géodésique était le chemin le plus court entre deux points à la surface de la Terre . Pour une Terre sphérique , il s'agit d'un segment d'un grand cercle (voir aussi distance de grand cercle ). Le terme a été généralisé pour inclure des mesures dans des espaces mathématiques beaucoup plus généraux ; par exemple, en théorie des graphes , on pourrait considérer une géodésique entre deux sommets /nœuds d'un graphe .
Dans une variété ou sous-variété riemannienne, les géodésiques sont caractérisées par la propriété d'avoir une courbure géodésique nulle . Plus généralement, en présence d'une liaison affine , une géodésique est définie comme une courbe dont les vecteurs tangents restent parallèles s'ils sont transportés le long d'elle. L'application de ceci à la connexion Levi-Civita d'une métrique riemannienne récupère la notion précédente.
Les géodésiques sont d'une importance particulière en relativité générale . Les géodésiques temporelles en relativité générale décrivent le mouvement des particules d'essai en chute libre .
introduction
Un chemin localement le plus court entre deux points donnés dans un espace courbe, supposé être une variété riemannienne , peut être défini en utilisant l' équation de la longueur d'une courbe (une fonction f d'un intervalle ouvert de R à l'espace), puis minimiser cette longueur entre les points en utilisant le calcul des variations . Cela pose quelques problèmes techniques mineurs car il existe un espace infini de différentes manières de paramétrer le chemin le plus court. Il est plus simple de restreindre l'ensemble des courbes à celles qui sont paramétrées « à vitesse constante » 1, c'est-à-dire que la distance de f ( s ) à f ( t ) le long de la courbe vaut | s − t |. De manière équivalente, une quantité différente peut être utilisée, appelée énergie de la courbe ; minimiser l'énergie conduit aux mêmes équations pour une géodésique (ici la "vitesse constante" est une conséquence de la minimisation). Intuitivement, on peut comprendre cette seconde formulation en remarquant qu'une bande élastique tendue entre deux points se contractera de sa longueur, et ce faisant minimisera son énergie. La forme résultante de la bande est une géodésique.
Il est possible que plusieurs courbes différentes entre deux points minimisent la distance, comme c'est le cas pour deux points diamétralement opposés sur une sphère. Dans un tel cas, n'importe laquelle de ces courbes est une géodésique.
Un segment contigu d'une géodésique est à nouveau une géodésique.
En général, les géodésiques ne sont pas les mêmes que les "courbes les plus courtes" entre deux points, bien que les deux concepts soient étroitement liés. La différence est que les géodésiques ne sont que localement la distance la plus courte entre les points, et sont paramétrées à "vitesse constante". Faire le « long chemin » sur un grand cercle entre deux points sur une sphère est une géodésique mais pas le chemin le plus court entre les points. La carte de l'intervalle unitaire sur la droite des nombres réels à elle-même donne le chemin le plus court entre 0 et 1, mais n'est pas une géodésique car la vitesse du mouvement correspondant d'un point n'est pas constante.
Les géodésiques sont couramment observées dans l'étude de la géométrie riemannienne et plus généralement de la géométrie métrique . En relativité générale , les géodésiques dans l' espace - temps décrivent le mouvement de particules ponctuelles sous l'influence de la gravité seule. En particulier, le chemin emprunté par une chute de pierre, un satellite en orbite ou la forme d'une orbite planétaire sont autant de géodésiques dans un espace-temps courbe. Plus généralement, le thème de la géométrie sous-riemannienne traite des chemins que peuvent emprunter les objets lorsqu'ils ne sont pas libres, et leur mouvement est contraint de diverses manières.
Cet article présente le formalisme mathématique impliqué dans la définition, la recherche et la preuve de l'existence des géodésiques, dans le cas des variétés riemanniennes . L'article Connexion Levi-Civita traite du cas plus général d'une variété pseudo-riemannienne et géodésique (relativité générale) traite plus en détail du cas particulier de la relativité générale.
Exemples
Les exemples les plus connus sont les lignes droites de la géométrie euclidienne . Sur une sphère , les images des géodésiques sont les grands cercles . Le chemin le plus court du point A au point B sur une sphère est donné par l' arc le plus court du grand cercle passant par A et B . Si A et B sont des points antipodaux , alors il y a une infinité de chemins les plus courts entre eux. Les géodésiques sur un ellipsoïde se comportent de manière plus compliquée que sur une sphère ; en particulier, ils ne sont pas fermés en général (voir figure).
Triangles
Un triangle géodésique est formé par les géodésiques joignant chaque paire de trois points sur une surface donnée. Sur la sphère, les géodésiques sont des arcs de grand cercle , formant un triangle sphérique .
Géométrie métrique
En géométrie métrique , une géodésique est une courbe qui est partout localement un minimiseur de distance . Plus précisément, une courbe γ : I → M à partir d' un intervalle I des réels à l' espace métrique M est une géodésique s'il y a une constante v ≥ 0 tel que pour tout t ∈ I il existe un voisinage J de t dans I tel que , pour tout t 1 , t 2 ∈ J , nous avons
Ceci généralise la notion de géodésique pour les variétés riemanniennes. Cependant, en géométrie métrique la géodésique considérée est souvent dotée d' une paramétrisation naturelle , c'est à dire dans l'identité ci-dessus v = 1 et
Si la dernière égalité est satisfaite pour tous les t 1 , t 2 ∈ I , la géodésique est appelée une géodésique minimisant ou chemin le plus court .
En général, un espace métrique peut ne pas avoir de géodésiques, sauf des courbes constantes. A l'autre extrême, deux points quelconques dans un espace métrique de longueur sont reliés par une séquence de minimisation de chemins rectifiables , bien que cette séquence de minimisation n'ait pas besoin de converger vers une géodésique.
Géométrie riemannienne
Dans une variété riemannienne M de tenseur métrique g , la longueur L d' une courbe continûment dérivable γ : [ a , b ] → M est définie par
La distance d ( p , q ) entre deux points p et q de M est définie comme l' infimum de la longueur prise sur toutes les courbes continues dérivables par morceaux : [ a , b ] → M telle que γ( a ) = p et ( b ) = q . En géométrie riemannienne, toutes les géodésiques sont des chemins minimisant localement la distance, mais l'inverse n'est pas vrai. En fait, seuls les chemins qui sont à la fois minimisant localement la distance et paramétrés proportionnellement à la longueur de l'arc sont des géodésiques. Une autre façon équivalente de définir les géodésiques sur une variété riemannienne, est de les définir comme les minima de la fonctionnelle d' action ou d' énergie suivante
Tous les minima de E sont également des minima de L , mais L est un ensemble plus grand puisque les chemins qui sont des minima de L peuvent être arbitrairement reparamétrés (sans changer leur longueur), alors que les minima de E ne le peuvent pas. Pour une courbe par morceaux (plus généralement, une courbe), l' inégalité de Cauchy-Schwarz donne
avec égalité si et seulement si est égal à une constante ae ; le chemin doit être parcouru à vitesse constante. Il arrive que les minimiseurs de minimisent aussi , car ils s'avèrent être affinement paramétrés, et l'inégalité est une égalité. L'utilité de cette approche est que le problème de la recherche de minimiseurs de E est un problème variationnel plus robuste. En effet, E est une « fonction convexe » de , de sorte qu'au sein de chaque classe d'isotopie de « fonctions raisonnables », on doit s'attendre à l'existence, l'unicité et la régularité des minimiseurs. En revanche, les "minimiseurs" de la fonctionnelle sont généralement peu réguliers, car des reparamétrages arbitraires sont autorisés.
Les équations du mouvement d' Euler-Lagrange pour la fonctionnelle E sont alors données en coordonnées locales par
où sont les symboles de Christoffel de la métrique. C'est l' équation géodésique , discutée ci - dessous .
Calcul des variations
Des techniques du calcul classique des variations peuvent être appliquées pour examiner la fonctionnelle énergétique E . La première variation d'énergie est définie en coordonnées locales par
Les points critiques de la première variation sont précisément les géodésiques. La seconde variante est définie par
Dans un sens approprié, les zéros de la seconde variation le long d'une géodésique apparaissent le long des champs de Jacobi . Les champs de Jacobi sont ainsi considérés comme des variations à travers les géodésiques.
En appliquant les techniques variationnelles de la mécanique classique , on peut aussi considérer les géodésiques comme des écoulements hamiltoniens . Ce sont des solutions des équations de Hamilton associées , avec une métrique (pseudo-)riemannienne prise comme hamiltonienne .
Géodésiques affines
Une géodésique sur une variété lisse M avec une connexion affine est définie comme une courbe ( t ) telle que le transport parallèle le long de la courbe préserve le vecteur tangent à la courbe, donc
-
( 1 )
à chaque point le long de la courbe, où est la dérivée par rapport à . Plus précisément, pour en définir la dérivée covariante, il faut d'abord l'étendre à un champ de vecteurs continûment dérivable dans un ensemble ouvert . Cependant, la valeur résultante de ( 1 ) est indépendante du choix de l'extension.
En utilisant les coordonnées locales sur M , nous pouvons écrire l' équation géodésique (en utilisant la convention de sommation ) comme
où sont les coordonnées de la courbe γ( t ) et sont les symboles de Christoffel de la connexion ∇. C'est une équation différentielle ordinaire pour les coordonnées. Il a une solution unique, étant donné une position initiale et une vitesse initiale. Par conséquent, du point de vue de la mécanique classique , les géodésiques peuvent être considérées comme des trajectoires de particules libres dans une variété. En effet, l'équation signifie que le vecteur accélération de la courbe n'a pas de composantes dans la direction de la surface (et donc qu'il est perpendiculaire au plan tangent de la surface en chaque point de la courbe). Ainsi, le mouvement est complètement déterminé par la flexion de la surface. C'est aussi l'idée de la relativité générale où les particules se déplacent sur les géodésiques et la flexion est causée par la gravité.
Existence et unicité
Le théorème d'existence locale et d'unicité des géodésiques stipule que les géodésiques sur une variété lisse avec une connexion affine existent et sont uniques. Plus précisément:
- Pour tout point p de M et pour tout vecteur V de T p M (l' espace tangent à M en p ) il existe une unique géodésique : I → M telle que
- et
- où I est un intervalle ouvert maximal dans R contenant 0.
La preuve de ce théorème découle de la théorie des équations différentielles ordinaires , en remarquant que l'équation géodésique est une EDO du second ordre. L'existence et l'unicité découlent alors du théorème de Picard-Lindelöf pour les solutions des EDO avec des conditions initiales prescrites. γ dépend en douceur à la fois p et V .
En général, je ne peux pas être tout de R comme par exemple pour un disque ouvert dans R 2 . Tout γ s'étend à tout ℝ si et seulement si M est géodésiquement complet .
Flux géodésique
Géodésique écoulement est une section locale R - l' action sur le faisceau tangent TM d'un collecteur M défini de la manière suivante
où t ∈ R , V ∈ TM et désigne la géodésique avec des données initiales . Ainsi, ( V ) = exp( tV ) est l'application exponentielle du vecteur tV . Une orbite fermée du flux géodésique correspond à une géodésique fermée sur M .
Sur une variété (pseudo-)riemannienne, le flot géodésique est identifié à un flot hamiltonien sur le fibré cotangent. L' hamiltonien est alors donné par l'inverse de la métrique (pseudo-)riemannienne, évaluée par rapport à la forme unique canonique . En particulier, le flot préserve la métrique (pseudo-)riemannienne , c'est-à-dire
En particulier, lorsque V est un vecteur unitaire, reste la vitesse unitaire partout, de sorte que le flux géodésique est tangent au fibré tangent unitaire . Le théorème de Liouville implique l'invariance d'une mesure cinématique sur le fibré tangent unitaire.
Spray géodésique
Le flot géodésique définit une famille de courbes dans le fibré tangent . Les dérivées de ces courbes définissent un champ de vecteurs sur l' espace total du faisceau tangent, connu sous le nom de spray géodésique .
Plus précisément, une connexion affine donne lieu à un dédoublement du fibré double tangent TT M en fibrés horizontaux et verticaux :
Le spray géodésique est l'unique champ vectoriel horizontal W satisfaisant
en chaque point v T M ; ici π ∗ : TT M → T M désigne la poussée (différentielle) le long de la projection π : T M → M associée au fibré tangent.
Plus généralement, la même construction permet de construire un champ de vecteurs pour toute connexion d'Ehresmann sur le fibré tangent. Pour que le champ de vecteurs résultant soit un spray (sur le fibré tangent supprimé T M \ {0}), il suffit que la connexion soit équivariante sous des remises à l'échelle positives : elle n'a pas besoin d'être linéaire. C'est-à-dire que (cf. connexion d'Ehresmann#Fibrés vectoriels et dérivées covariantes ) il suffit que la distribution horizontale satisfasse
pour tout X ∈ T M \ {0} et > 0. Ici d ( S λ ) est la poussée le long de l'homothétie scalaire Un cas particulier d'une connexion non linéaire résultant de cette manière est celui associé à une variété de Finsler .
Géodésiques affines et projectives
L'équation ( 1 ) est invariante sous reparamétrisations affines ; c'est-à-dire des paramétrisations de la forme
où a et b sont des nombres réels constants. Ainsi, en plus de spécifier une certaine classe de courbes encastrées, l'équation géodésique détermine également une classe préférée de paramétrisations sur chacune des courbes. En conséquence, les solutions de ( 1 ) sont appelées géodésiques de paramètre affine .
Une liaison affine est déterminée par sa famille de géodésiques paramétrées affinement, jusqu'à la torsion ( Spivak 1999 , Chapitre 6, Addendum I). La torsion elle-même n'affecte en effet pas la famille des géodésiques, puisque l'équation géodésique ne dépend que de la partie symétrique de la liaison. Plus précisément, si deux liaisons sont telles que le tenseur de différence
est antisymétrique , alors et ont les mêmes géodésiques, avec les mêmes paramétrisations affines. De plus, il existe une connexion unique ayant les mêmes géodésiques que , mais avec une torsion nulle.
Les géodésiques sans paramétrage particulier sont décrites par une connexion projective .
Méthodes de calcul
Des solveurs efficaces pour le problème géodésique minimal sur des surfaces posées comme des équations eikonales ont été proposés par Kimmel et d'autres.
Test du ruban
Un "Test" de Ruban est un moyen de trouver une géodésique sur une forme courbe en 3 dimensions.
Lorsqu'un ruban est enroulé autour d'un cône, une partie du ruban ne touche pas la surface du cône. Si le ruban est enroulé autour d'un chemin incurvé différent et que toutes les particules du ruban touchent la surface du cône, le chemin est une géodésique .
Applications
Les géodésiques servent de base pour calculer :
- cellules géodésiques; voir cellule géodésique ou cellule géodésique
- structures géodésiques - par exemple des dômes géodésiques
- distances horizontales sur ou près de la Terre ; voir géodésiques terrestres
- cartographier des images sur des surfaces, pour le rendu ; voir cartographie UV
- le mouvement des particules dans les simulations informatiques de dynamique moléculaire (MD)
- planification de mouvement de robot (par exemple, lors de la peinture de pièces de voiture); voir Problème du plus court chemin
Voir également
- Introduction aux mathématiques de la relativité générale
- La relation de Clairaut
- Courbe différentiable – Étude des courbes d'un point de vue différentiel
- Géométrie différentielle des surfaces
- Cercle géodésique
- Théorème de Hopf-Rinow - Donne des déclarations équivalentes sur la complétude géodésique des variétés riemanniennes
- Métrique intrinsèque
- Ligne isotrope
- Champ Jacobi
- Théorie de Morse - Analyse la topologie d'une variété en étudiant les fonctions différentiables sur cette variété
- Surface de Zoll – Surface homéomorphe à une sphère
- Le problème de l'araignée et de la mouche – Problème de géodésique récréative
Remarques
Les références
- Spivak, Michael (1999), Une introduction complète à la géométrie différentielle (Volume 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3
Lectures complémentaires
- Adler, Ronald ; Bazin, Maurice ; Schiffer, Menahem (1975), Introduction à la relativité générale (2e éd.), New York : McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. Voir chapitre 2 .
- Abraham, Ralph H. ; Marsden, Jerrold E. (1978), Fondements de la mécanique , Londres : Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. Voir la section 2.7 .
- Jost, Jürgen (2002), Géométrie riemannienne et analyse géométrique , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. Voir la section 1.4 .
-
Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fondements de la géométrie différentielle , Vol. 1 (nouvelle édition), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
|volume=
a du texte supplémentaire ( aide ) . - Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), Théorie classique des champs , Oxford : Pergame, ISBN 978-0-08-018176-9. Voir article 87 .
- Misner, Charles W. ; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
- Ortín, Tomás (2004), Gravité et cordes , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Notez en particulier les pages 7 et 10.
- Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Ligne géodésique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press.
- Weinberg, Steven (1972), Gravitation et cosmologie : principes et applications de la théorie générale de la relativité , New York : John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. Voir chapitre 3 .
Liens externes
- Géodésiques revisitées — Introduction aux géodésiques incluant deux voies de dérivation de l'équation de la géodésique avec des applications en géométrie (géodésique sur une sphère et sur un tore ), mécanique ( brachistochrone ) et optique (faisceau lumineux en milieu inhomogène).
- Sous-variété totalement géodésique au Manifold Atlas