Groupe (mathématiques) -Group (mathematics)

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle a+b}$

${\displaystyle +}$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Pour tous les entiers , et  , on a . Exprimé en mots, l'ajout à d' abord, puis l'ajout du résultat à donne le même résultat final que l'ajout à la somme de et  . Cette propriété est connue sous le nom d'

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle a+b=0}$

${\displaystyle b+a=0}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle -a}$

Les nombres entiers, avec l'opération , forment un objet mathématique appartenant à une large classe partageant des aspects structurels similaires. Pour bien comprendre ces structures en tant que collectif, la définition suivante est développée. ${\displaystyle +}$

Définition

Un groupe est un ensemble avec une

${\displaystyle G}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle a\cdot b}$

Associativité

Pour tout , , dans , on a .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Élément d'identité

Il existe un élément dans tel que, pour tout dans , on ait et .${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\cdot a=a}$${\displaystyle a\cdot e=a}$

Un tel élément est unique ( voir ci-dessous ). C'est ce qu'on appelle l'élément identitaire du groupe.

Élément inverse

Pour chaque dans , il existe un élément dans tel que et , où est l'élément d'identité.${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b=e}$${\displaystyle b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

Pour chacun , l' élément est unique (

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle a^{-1}}$

Notation et terminologie

Formellement, le groupe est le couple ordonné d'un ensemble et d'une opération binaire sur cet ensemble qui satisfait les axiomes du groupe . L'ensemble est appelé l' ensemble sous-jacent du groupe et l'opération est appelée opération de groupe ou loi de groupe .

Un groupe et son ensemble sous-jacent sont donc deux objets mathématiques différents . Pour éviter une notation fastidieuse, il est courant d' abuser de la notation en utilisant le même symbole pour désigner les deux. Cela reflète également une manière informelle de penser : que le groupe est identique à l'ensemble, sauf qu'il a été enrichi par une structure supplémentaire fournie par l'opération.

Par exemple, considérons l'ensemble des nombres réels , qui a les opérations d'addition et de

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle a+b}$

${\displaystyle ab}$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Le groupe additif du champ est le groupe dont l'ensemble sous-jacent est et dont l'opération est l'addition. Le

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\fois }}$

${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

Plus généralement, on parle de groupe additif chaque fois que l'opération de groupe est notée addition ; dans ce cas, l'identité est typiquement notée , et l'inverse d'un élément est noté . De même, on parle de

${\displaystyle 0}$

${\style d'affichage x}$

${\displaystyle -x}$

${\displaystyle 1}$

${\style d'affichage x}$

${\displaystyle x^{-1}}$

${\displaystyle ab}$

${\displaystyle a\cdot b}$

La définition d'un groupe n'exige pas que pour tous les éléments et dans . Si cette condition supplémentaire est vérifiée, alors l'opération est dite

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle G}$

Plusieurs autres notations sont couramment utilisées pour les groupes dont les éléments ne sont pas des nombres. Pour un groupe dont les éléments sont des fonctions , l'opération est souvent une composition de fonctions ; alors l'identité peut être notée id. Dans les cas plus spécifiques des groupes de

${\displaystyle f\circ g}$

${\displaystyle \circ }$

Deuxième exemple : un groupe de symétrie

Deux figures dans le plan sont congruentes si l'une peut être changée en l'autre en utilisant une combinaison de rotations , de réflexions et de translations . Toute figure est congruente à elle-même. Cependant, certaines figures sont congruentes à elles-mêmes à plus d'un titre, et ces congruences supplémentaires sont appelées symétries . Un carré a huit symétries. Ceux-ci sont:

Les éléments du groupe de symétrie du carré, . Les sommets sont identifiés par une couleur ou un numéro. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \mathrm {id} }$(le garder tel quel)	${\displaystyle r_{1}}$(rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre)	${\displaystyle r_{2}}$(rotation de 180°)	${\displaystyle r_{3}}$(rotation de 270° dans le sens des aiguilles d'une montre)
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$(réflexion verticale)	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$(réflexion horizontale)	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$(réflexion diagonale)	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$(réflexion contre-diagonale)

• l' opération d'identité laissant tout inchangé, notée id ;
• rotations du carré autour de son centre de 90°, 180° et 270° dans le sens des aiguilles d'une montre, notées , et , respectivement ;${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$
• réflexions autour de la ligne médiane horizontale et verticale ( et ), ou à travers les deux

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Ces symétries sont des fonctions. Chacun envoie un point dans le carré au point correspondant sous la symétrie. Par exemple, envoie un point à sa rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre autour du centre du carré et envoie un point à sa réflexion sur la ligne médiane verticale du carré. La composition de deux de ces symétries donne une autre symétrie. Ces symétries déterminent un groupe appelé groupe

${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle b\circ a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle a}$

Le tableau de groupe répertorie les résultats de toutes ces compositions possibles. Par exemple, une rotation de 270° dans le sens des aiguilles d'une montre ( ) puis une réflexion horizontale ( ) revient à effectuer une réflexion le long de la diagonale ( ). A l'aide des symboles ci-dessus, surlignés en bleu dans le tableau des groupes : ${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$

$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Tableau de groupe de${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
Les éléments , , , et forment un sous- groupe dont le tableau de groupe est mis en surbrillance dans${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$  rouge (région supérieure gauche). Un coset gauche et droit de ce sous-groupe est mis en surbrillance dans vert (dans la dernière rangée) et jaune (dernière colonne), respectivement.

Compte tenu de cet ensemble de symétries et de l'opération décrite, les axiomes de groupe peuvent être compris comme suit.

Opération binaire : La composition est une opération binaire. Autrement dit, est une symétrie pour deux symétries quelconques et . Par exemple, ${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Associativité : L'axiome d'associativité traite de la composition de plus de deux symétries : A partir de trois éléments , et de , il y a deux manières possibles d'utiliser ces trois symétries dans cet ordre pour déterminer une symétrie du carré. L'une de ces façons consiste à composer d'abord et en une seule symétrie, puis à composer cette symétrie avec . L'autre façon est de composer d'abord et , puis de composer la symétrie résultante avec . Ces deux voies doivent toujours donner le même résultat, c'est-à-dire ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$

${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\ circ r_{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{ 1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} } =r_{1}.\end{aligné}}}$$

Élément d'identité : L'élément d'identité est , car il ne change aucune symétrie lorsqu'il est composé avec lui à gauche ou à droite. ${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle a}$

Élément inverse : Chaque symétrie a un inverse : , les réflexions , , , et la rotation de 180° sont leur propre inverse, car les effectuer deux fois ramène le carré à son orientation d'origine. Les rotations et sont inverses l'une de l'autre, car une rotation de 90° puis une rotation de 270° (ou vice versa) donne une rotation sur 360° qui laisse le carré inchangé. Cela se vérifie facilement sur le tableau. ${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{1}}$

Contrairement au groupe d'entiers ci-dessus, où l'ordre de l'opération est sans importance, il importe dans , comme, par exemple, mais . Autrement dit, n'est pas abélien. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

Histoire

Le concept moderne d'un groupe abstrait s'est développé à partir de plusieurs domaines des mathématiques. La motivation originale de la théorie des groupes était la recherche de solutions d' équations polynomiales de degré supérieur à 4. Le mathématicien français du XIXe siècle Évariste Galois , prolongeant les travaux antérieurs de Paolo Ruffini et Joseph-Louis Lagrange , a donné un critère de solvabilité d'un équation polynomiale en fonction du groupe de symétrie de ses racines (solutions). Les éléments d'un tel groupe de Galois correspondent à certaines permutations des racines. Au début, les idées de Galois ont été rejetées par ses contemporains et publiées seulement à titre posthume. Des groupes de permutation plus généraux ont été étudiés en particulier par Augustin Louis Cauchy . Arthur Cayley 's Sur la théorie des groupes, comme dépendant de l'équation symbolique${\displaystyle \thêta ^{n}=1}$ (1854) donne la première définition abstraite d'un groupe fini .

La géométrie était un deuxième domaine dans lequel les groupes étaient utilisés systématiquement, en particulier les groupes de symétrie dans le cadre du

Le troisième champ contribuant à la théorie des groupes était la théorie des nombres . Certaines structures de groupe abéliennes avaient été utilisées implicitement dans l'ouvrage de théorie des nombres

L' année 1960-1961 de la théorie des groupes de l' Université de Chicago a réuni des théoriciens des groupes tels que Daniel Gorenstein , John G. Thompson et Walter Feit , jetant les bases d'une collaboration qui, avec la contribution de nombreux autres mathématiciens, a conduit à la classification des formes finies . groupes simples , avec la dernière étape franchie par Aschbacher et Smith en 2004. Ce projet a dépassé les efforts mathématiques précédents par sa taille, à la fois en longueur de preuve et en nombre de chercheurs. Les recherches concernant cette preuve de classification sont en cours. La théorie des groupes reste une branche mathématique très active, impactant de nombreux autres domaines, comme l' illustrent les exemples ci -dessous .

Conséquences élémentaires des axiomes de groupe

Les faits de base sur tous les groupes qui peuvent être obtenus directement à partir des axiomes de groupe sont généralement subsumés sous la théorie élémentaire des groupes . Par exemple, des applications répétées de l'axiome d'associativité montrent que la non-ambiguïté de

$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

Les axiomes individuels peuvent être "affaiblis" pour affirmer uniquement l'existence d'une identité à gauche et d' inverses à gauche . A partir de ces axiomes unilatéraux , on peut prouver que l'identité à gauche est aussi une identité à droite et qu'un inverse à gauche est aussi un inverse à droite pour le même élément. Puisqu'ils définissent exactement les mêmes structures que les groupes, collectivement les axiomes ne sont pas plus faibles.

Unicité de l'élément d'identité

Les axiomes de groupe impliquent que l'élément d'identité est unique : Si et sont des éléments d'identité d'un groupe, alors . Par conséquent, il est d'usage de parler de

${\displaystyle e}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

Unicité des inverses

Les axiomes de groupe impliquent également que l'inverse de chaque élément est unique : si un élément de groupe a à la fois et comme inverses, alors ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle b}$	${\displaystyle{}={}}$	${\displaystyle b\cdot e}$		puisque est l'élément d'identité ${\displaystyle e}$
	${\displaystyle{}={}}$	${\displaystyle b\cdot (a\cdot c)}$		puisque est l'inverse de , donc${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e=a\cdot c}$
	${\displaystyle{}={}}$	${\displaystyle (b\cdot a)\cdot c}$		par associativité, ce qui permet de réorganiser les parenthèses
	${\displaystyle{}={}}$	${\displaystyle e\cdot c}$		puisque est l'inverse de , donc${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b\cdot a=e}$
	${\displaystyle{}={}}$	${\displaystyle c}$		puisque est l'élément d'identité. ${\displaystyle e}$

Par conséquent, il est d'usage de parler de l' inverse d'un élément.

Division

Étant donné des éléments et d'un groupe , il existe une solution unique à l'équation , à savoir . (On évite généralement d'utiliser la notation de fraction sauf si est abélien, à cause de l'ambiguïté de savoir si cela signifie ou .) Il s'ensuit que pour chaque dans , la fonction qui mappe chacun à est une

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle G}$

${\style d'affichage x}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle a\cdot x=b}$

${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$

${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$

${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\vers G}$

${\style d'affichage x}$

${\displaystyle a\cdot x}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle a}$

De même, étant donné et , l'unique solution de est . Pour chaque , la fonction qui mappe chacun à est une bijection appelée

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle x\cdot a=b}$

${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle G\vers G}$

${\style d'affichage x}$

${\displaystyle x\cdot a}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle a}$

Concepts de base

Les sections suivantes utilisent des symboles mathématiques tels que pour désigner un ensemble contenant des éléments et , ou pour indiquer qu'il s'agit d'un élément de La notation signifie est une fonction associant à chaque élément d' un élément de${\displaystyle X=\{x,y,z\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x\dans X}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f:X\à Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

Lors de l'étude des ensembles, on utilise des concepts tels que sous- ensemble , fonction et quotient par une relation d'équivalence . Lors de l'étude des groupes, on utilise à la place des sous- groupes , des homomorphismes et des groupes quotient . Ce sont les analogues appropriés qui tiennent compte de l'existence de la structure du groupe.

Homomorphismes de groupe

Les homomorphismes de groupe sont des fonctions qui respectent la structure de groupe ; ils peuvent être utilisés pour relier deux groupes. Un homomorphisme d'un groupe à un groupe est une fonction telle que ${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle (H,*)}$${\displaystyle \varphi :G\à H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$pour tous les éléments et dans .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$

Il serait naturel d'exiger aussi que l'on respecte les identités, , et les inverses, pour tout dans . Cependant, ces exigences supplémentaires n'ont pas besoin d'être incluses dans la définition des homomorphismes, car elles sont déjà impliquées par l'exigence de respecter l'opération de groupe. ${\displaystyle\varphi }$${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

L' homomorphisme d'identité d'un groupe est l'homomorphisme qui associe chaque élément de à lui-même. Un

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \iota _{G} : G\à G}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \varphi :G\à H}$

${\displaystyle \psi :H\vers G}$

${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$

${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$

${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$

${\displaystyle h}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :G\à H}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle\varphi }$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle H}$

L'ensemble de tous les groupes, ainsi que les homomorphismes entre eux, forment une catégorie , la catégorie des groupes .

Sous-groupes

De manière informelle, un sous- groupe est un groupe contenu dans un plus grand, : il a un sous-ensemble des éléments de , avec la même opération. Concrètement, cela signifie que l'élément d'identité de doit être contenu dans , et chaque fois que et sont tous les deux dans , alors le sont aussi et , donc les éléments de , munis de l'opération de groupe sur restreinte à , forment en effet un groupe. ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$${\displaystyle h_{1}^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

Dans l'exemple des symétries d'un carré, l'identité et les rotations constituent un sous-groupe , surligné en rouge dans le tableau des groupes de l'exemple : deux rotations composées sont toujours une rotation, et une rotation peut être annulée par (c'est-à-dire est inverse à) les rotations complémentaires 270° pour 90°, 180° pour 180° et 90° pour 270°. Le

${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$

${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle h}$

${\displaystyle H}$

Étant donné tout sous-ensemble d'un groupe , le sous-groupe généré par est constitué des produits des éléments de et de leurs inverses. C'est le plus petit sous-groupe de contenant . Dans l'exemple des symétries d'un carré, le sous-groupe généré par et est constitué de ces deux éléments, l'élément d'identité et l'élément . Encore une fois, il s'agit d'un sous-groupe, car la combinaison de deux de ces quatre éléments ou de leurs inverses (qui sont, dans ce cas particulier, ces mêmes éléments) donne un élément de ce sous-groupe. ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

Cosets

Dans de nombreuses situations, il est souhaitable de considérer deux éléments de groupe identiques s'ils diffèrent par un élément d'un sous-groupe donné. Par exemple, dans le groupe de symétrie d'un carré, une fois qu'une réflexion est effectuée, les rotations seules ne peuvent pas ramener le carré à sa position d'origine, on peut donc penser que les positions réfléchies du carré sont toutes équivalentes les unes aux autres, et comme inéquivalentes aux positions non réfléchies ; les opérations de rotation sont sans rapport avec la question de savoir si une réflexion a été effectuée. Les cosets sont utilisés pour formaliser cette idée : un sous-groupe détermine les cosets gauche et droit, qui peuvent être considérés comme des traductions de par un élément de groupe arbitraire . En termes symboliques, les cosets

${\displaystyle H}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$et , respectivement.${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$

Les cosets de gauche de tout sous-groupe forment une

${\displaystyle H}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$

${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle gH=Hg}$

${\displaystyle H}$

Dans , le groupe de symétries d'un carré, avec son sous-groupe de rotations, les cosets de gauche sont soit égaux à , si est un élément de lui-même, soit égaux à (surlignés en vert dans le tableau des groupes de ). Le sous-groupe est normal, car et de même pour les autres éléments du groupe. (En fait, dans le cas de , les classes engendrées par les réflexions sont toutes égales : .) ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle gR}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h } }\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

Groupes de quotients

Dans certaines situations, l'ensemble des cosets d'un sous-groupe peut être doté d'une loi de groupe, donnant un groupe quotient ou groupe de facteurs . Pour que cela soit possible, le sous-groupe doit être normal. Étant donné tout sous-groupe normal N , le groupe quotient est défini par

$${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\},}$$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle \mathbb {Q}}$

${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

${\style d'affichage x}$

${\displaystyle x\cdot 0=1}$

${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Cependant, l'ensemble de tous les nombres rationnels non nuls forme un groupe abélien sous multiplication, également noté

${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\fois }}$

${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle b/a}$

Les nombres rationnels (y compris zéro) forment également un groupe sous addition. L'entrelacement des opérations d'addition et de multiplication donne des structures plus compliquées appelées anneaux et - si la division par autre que zéro est possible, comme dans - des champs, qui occupent une position centrale dans l'algèbre abstraite. Les arguments de la théorie des groupes sous-tendent donc certaines parties de la théorie de ces entités. ${\displaystyle \mathbb {Q}}$

Arithmétique modulaire

Les heures d'une horloge forment un groupe qui utilise l' addition modulo  12. Ici, 9 + 4 ≡ 1 .

L'arithmétique modulaire pour un module définit deux éléments quelconques et qui diffèrent d'un multiple de pour être équivalents, notés par . Tout entier est équivalent à l'un des entiers de à , et les opérations de l'arithmétique modulaire modifient l'arithmétique normale en remplaçant le résultat de toute opération par son

${\displaystyle n}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle\mathrm {Z} _{n}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle na}$

${\displaystyle a}$

Un exemple familier est l'ajout d'heures sur le cadran d'une horloge , où 12 plutôt que 0 est choisi comme représentant de l'identité. Si l'aiguille des heures est allumée et avance les heures, elle se termine sur , comme indiqué sur l'illustration. Cela s'exprime en disant que est congruent à "modulo " ou, en symboles, ${\displaystyle 9}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9+4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 12}$

$${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Pour tout nombre premier , il existe aussi le