Transformation Helmert - Helmert transformation

La transformation d'un repère 1 vers un repère 2 peut être décrite avec trois translations Δx, Δy, Δz, trois rotations Rx, Ry, Rz et un paramètre d'échelle μ.

La transformation de Helmert (du nom de Friedrich Robert Helmert , 1843-1917) est une méthode de transformation géométrique dans un espace tridimensionnel . Il est fréquemment utilisé en géodésie pour produire des transformations de datum entre les datums . La transformation de Helmert est également appelée transformation à sept paramètres et est une transformation de similarité .

Définition

Il peut être exprimé comme :

X_{T}=C+\mu RX\,

où

$X T$ est le vecteur transformé
$X$ est le vecteur initial

Les paramètres sont :

$C$ – vecteur de traduction . Contient les trois translations le long des axes de coordonnées
$μ$ – facteur d'échelle , qui est sans unité ; s'il est donné en ppm , il doit être divisé par 1 000 000 et additionné à 1.
$R$ – matrice de rotation . Se compose de trois axes (petites rotations autour de chacun des trois axes de coordonnées) $r x$ , $r y$ , $r z$ . La matrice de rotation est une matrice orthogonale . Les angles sont donnés en degrés ou en radians .

Variantes

Un cas particulier est la transformation de Helmert bidimensionnelle. Ici, seuls quatre paramètres sont nécessaires (deux translations, une mise à l'échelle, une rotation). Ceux-ci peuvent être déterminés à partir de deux points connus; si plus de points sont disponibles, des vérifications peuvent être effectuées.

Parfois, il suffit d'utiliser la transformation à cinq paramètres , composée de trois translations, d'une seule rotation autour de l'axe Z et d'un changement d'échelle.

Restrictions

La transformation de Helmert n'utilise qu'un seul facteur d'échelle, elle ne convient donc pas pour :

La manipulation de dessins et de photographies mesurés
La comparaison des déformations du papier lors de la numérisation d' anciens plans et cartes.

Dans ces cas, une transformation affine plus générale est préférable.

Application

La transformation de Helmert est utilisée, entre autres, en géodésie pour transformer les coordonnées du point d'un système de coordonnées dans un autre. En l'utilisant, il devient possible de convertir des points d' arpentage régionaux en emplacements WGS84 utilisés par GPS .

Par exemple, en commençant par la coordonnée Gauss-Krüger , $x$ et $y$ , plus la hauteur, $h$ , sont convertis en valeurs 3D par étapes :

Annuler la projection cartographique : calcul de la latitude ellipsoïdale, longitude et hauteur ( $W$ , $L$ , $H$ )
Convertir des coordonnées géodésiques de coordonnées géocentriques : Calcul de $x$ , $y$ et $z$ par rapport à la référence ellipsoïde de topographie
Transformation à 7 paramètres (où $x$ , $y$ et $z$ changent presque uniformément, quelques centaines de mètres au plus, et les distances changent de quelques mm par km).
Pour cette raison, les positions mesurées au sol peuvent être comparées aux données GPS ; ceux-ci peuvent ensuite être introduits dans l'arpentage en tant que nouveaux points – transformés dans l'ordre inverse.

La troisième étape consiste en l'application d'une matrice de rotation , la multiplication par le facteur d'échelle (avec une valeur proche de 1) et l'addition des trois translations, $c$ $x$ , $c$ $y$ , $c$ $z$ . ${\style d'affichage \mu =1+s}$

Les coordonnées d'un système de référence B sont dérivées du système de référence A par la formule suivante :

{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\ end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\ \-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}

ou pour chaque paramètre de la coordonnée :

{\begin{aligned}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A }+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{ A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (-r_ {y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{aligned}}

Pour la transformation inverse, chaque élément est multiplié par -1.

Les sept paramètres sont déterminés pour chaque région avec au moins trois « points identiques » des deux systèmes. Pour les mettre en accord, les petites incohérences (généralement quelques cm seulement) sont corrigées par la méthode des moindres carrés , c'est-à-dire éliminées de manière statistiquement plausible.

Paramètres standards

Remarque : les angles de rotation indiqués dans le tableau sont en secondes d'arc et doivent être convertis en radians avant utilisation dans le calcul.

Région	Référence de départ	Référence cible	$c x$ ( mètre )	$c y$ (mètre)	$c z$ (mètre)	$s$ ( ppm )	$r x$ ( seconde d'arc )	$r y$ ( arcsecond )	$r z$ ( seconde d'arc )
Slovénie ETRS89	D48	D96	409.545	72.164	486.872	17.919665	−3.085957	−5.469110	11.020289
Angleterre, Ecosse, Pays de Galles	WGS84	OSGB36	−446.448	125.157	−542,06	20.4894	−0.1502	−0.247	-0,8421
Irlande	WGS84	Irlande 1965	−482,53	130,596	−564,557	-8,15	1.042	0,214	0,631
Allemagne	WGS84	DHDN	−591.28	-81.35	−396.39	-9,82	1.4770	−0,0736	−1.4580
Allemagne	WGS84	Bessel 1841	-582	−105	-414	-8,3	-1,04	−0.35	3.08
Allemagne	WGS84	Krassovski 1940	−24	123	94	-1,1	-0,02	0,26	0,13
Autriche (BEV)	WGS84	MGI	−577.326	−90.129	−463.920	−2.423	5.137	1.474	5.297
États Unis	WGS84	Clarke 1866	8	−160	−176	0	0	0	0

Il s'agit de jeux de paramètres standard pour la transformation à 7 paramètres (ou transformation de données) entre deux références. Pour une transformation dans la direction opposée, les paramètres de transformation inverse doivent être calculés ou la transformation inverse doit être appliquée (comme décrit dans l'article "Sur les transformations géodésiques"). Les traductions $c x$ , $c y$ , $c z$ sont parfois décrits comme $t x$ , $t y$ , $t z$ , ou $dx$ , $dy$ , $dz$ . Les rotations r _x , r _y , et r _z sont parfois décrites comme , et . Au Royaume-Uni, l'intérêt principal est la transformation entre le système de référence OSGB36 utilisé par l'Ordnance Survey for Grid References sur ses cartes Landranger et Explorer à l'implémentation WGS84 utilisée par la technologie GPS. Le système de coordonnées Gauss-Krüger utilisé en Allemagne fait normalement référence à l' ellipsoïde de Bessel . Une autre donnée intéressante était ED50 (European Datum 1950) basée sur l' ellipsoïde de Hayford . ED50 faisait partie des principes fondamentaux des coordonnées OTAN jusqu'aux années 1980, et de nombreux systèmes de coordonnées nationaux de Gauss-Krüger sont définis par ED50. $\omega$ ${\style d'affichage \phi }$ ${\style d'affichage \kappa }$

La terre n'a pas une forme ellipsoïdale parfaite, mais est décrite comme un géoïde . Au lieu de cela, le géoïde de la terre est décrit par de nombreux ellipsoïdes. Selon l'emplacement réel, "l'ellipsoïde le mieux aligné localement" a été utilisé à des fins d'arpentage et de cartographie. Le jeu de paramètres standard donne une précision d'environ7 m pour une transformation OSGB36/WGS84. Ce n'est pas assez précis pour l'arpentage, et l'Ordnance Survey complète ces résultats en utilisant une table de recherche de traductions supplémentaires afin d'atteindrePrécision de 1 cm .

Estimation des paramètres

Si les paramètres de transformation sont inconnus, ils peuvent être calculés avec des points de référence (c'est-à-dire des points dont les coordonnées sont connues avant et après la transformation. Puisqu'un total de sept paramètres (trois translations, une échelle, trois rotations) doivent être déterminés, au moins deux points et une coordonnée d'un troisième point (par exemple, la coordonnée Z) doivent être connus, ce qui donne un système avec sept équations et sept inconnues, qui peuvent être résolus.

En pratique, il est préférable d'utiliser plus de points. Grâce à cette correspondance, une plus grande précision est obtenue et une évaluation statistique des résultats devient possible. Dans ce cas, le calcul est ajusté avec la méthode des moindres carrés gaussiens .

Une valeur numérique pour la précision des paramètres de transformation est obtenue en calculant les valeurs aux points de référence, et en pondérant les résultats par rapport au centroïde des points.

Bien que la méthode soit mathématiquement rigoureuse, elle dépend entièrement de la précision des paramètres utilisés. En pratique, ces paramètres sont calculés à partir de l'inclusion d'au moins trois points connus dans les réseaux. Cependant, la précision de ceux-ci affectera les paramètres de transformation suivants, car ces points contiendront des erreurs d'observation. Par conséquent, une transformation « dans le monde réel » ne sera qu'une meilleure estimation et devrait contenir une mesure statistique de sa qualité.

Voir également

Les références

Liens externes

http://www.w-volk.de/museum/mathex02.htm
https://www.webcitation.org/query?url=http://www.geocities.com/mapref/savpub/savpub-23.htm%23item40&date=2009-10-26+02:12:14 (Géométrie pour l'échange de données)
http://www.mapref.org/
Transformations 3D BestFit flexibles de TrafoStar avec : 3 traductions, 3 rotations, 3 échelles, 3 paramètres affines
Calcul des transformations de Helmert

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