Hermann Grassmann - Hermann Grassmann

Hermann Günther Grassmann
Hermann Graßmann.jpg
Hermann Günther Grassmann
( 1809-04-15 )15 avril 1809
Décédés 26 septembre 1877 (1877-09-26)(68 ans)
Stettin, Empire allemand
mère nourricière Université de Berlin
Connu pour
Récompenses PhD (Hon) :
Université de Tübingen (1876)
Carrière scientifique
Établissements Gymnase de Stettin

Hermann Günther Grassmann (allemand: Graßmann , prononcé [hɛʁman ɡʏntɐ ɡʁasman] , 15 Avril 1809-1826 Septembre 1877) était un Allemand polymathe , connu en son temps en tant que linguiste et maintenant en tant que mathématicien . Il était également physicien , universitaire et éditeur. Son travail mathématique a été peu noté jusqu'à ce qu'il soit dans la soixantaine.

Biographie

Grassmann était le troisième des 12 enfants de Justus Günter Grassmann, un ministre ordonné qui enseignait les mathématiques et la physique au Stettin Gymnasium , où Hermann a fait ses études.

Grassmann était un étudiant sans distinction jusqu'à ce qu'il obtienne une note élevée aux examens d'admission dans les universités prussiennes . À partir de 1827, il étudia la théologie à l' université de Berlin , prenant également des cours de langues classiques , de philosophie et de littérature. Il ne semble pas avoir suivi de cours de mathématiques ou de physique .

Bien que dépourvu de formation universitaire en mathématiques, c'est le domaine qui l'intéresse le plus lorsqu'il revient à Stettin en 1830 après avoir terminé ses études à Berlin. Après un an de préparation, il passe les examens nécessaires pour enseigner les mathématiques dans un gymnase, mais obtient un résultat suffisamment bon pour lui permettre d'enseigner uniquement aux niveaux inférieurs. À cette époque, il a fait ses premières découvertes mathématiques importantes, celles qui l'ont conduit aux idées importantes qu'il a exposées dans son article de 1844 Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik , ici dénommé A1 .

En 1834, Grassmann commença à enseigner les mathématiques à la Gewerbeschule de Berlin. Un an plus tard, il retourne à Stettin pour enseigner les mathématiques, la physique, l'allemand, le latin et les études religieuses dans une nouvelle école, l'Otto Schule. Au cours des quatre années suivantes, Grassmann réussit des examens lui permettant d'enseigner les mathématiques, la physique , la chimie et la minéralogie à tous les niveaux du secondaire.

En 1847, il est nommé « Oberlehrer » ou directeur d'école. En 1852, il est nommé au poste de feu son père au Stettin Gymnasium, acquérant ainsi le titre de professeur. En 1847, il a demandé au ministère prussien de l'Éducation d'être considéré pour un poste universitaire, après quoi ce ministère a demandé à Kummer son opinion sur Grassmann. Kummer a répondu en disant que l'essai du prix de Grassmann de 1846 (voir ci-dessous) contenait "un matériel louable, exprimé sous une forme déficiente". Le rapport de Kummer a mis fin à toute chance que Grassmann puisse obtenir un poste universitaire. Cet épisode s'est avéré la norme; maintes et maintes fois, les personnalités de premier plan de l'époque de Grassmann n'ont pas reconnu la valeur de ses mathématiques.

À partir de la tourmente politique en Allemagne, 1848-1849, Hermann et son frère Robert ont publié un journal Stettin, Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben , appelant à l'unification allemande sous une monarchie constitutionnelle . (Cela s'est produit en 1871.) Après avoir écrit une série d'articles sur le droit constitutionnel , Hermann s'est séparé du journal, se trouvant de plus en plus en désaccord avec son orientation politique.

Grassmann a eu onze enfants, dont sept ont atteint l'âge adulte. Un fils, Hermann Ernst Grassmann, est devenu professeur de mathématiques à l' université de Giessen .

Mathématicien

L'un des nombreux examens auxquels Grassmann a passé exigeait qu'il soumette un essai sur la théorie des marées. En 1840, il l' a fait, en prenant la théorie de base de Laplace « s Traité de mécanique céleste et de Lagrange » s Mécanique analytique , mais expositing cette théorie en utilisant des vecteurs méthodes qu'il avait été ressassant depuis 1832. Cet essai, publié dans les Collected Works de 1894-1911, contient la première apparition connue de ce qu'on appelle maintenant l'algèbre linéaire et la notion d' espace vectoriel . Il a continué à développer ces méthodes dans ses A1 et A2 .

En 1844, Grassmann publia son chef-d'œuvre ( A1 ) et communément appelé l' Ausdehnungslehre , qui se traduit par « théorie de l'extension » ou « théorie des grandeurs extensives ». Puisque A1 a proposé une nouvelle fondation pour toutes les mathématiques, le travail a commencé avec des définitions assez générales de nature philosophique. Grassmann montra alors qu'une fois la géométrie mise sous la forme algébrique qu'il préconisait, le nombre trois n'a plus de rôle privilégié comme nombre de dimensions spatiales ; le nombre de dimensions possibles est en effet illimité.

Fearnley-Sander décrit la fondation de Grassmann de l'algèbre linéaire comme suit :

La définition d'un espace linéaire ( espace vectoriel ) […] est devenue largement connue vers 1920, lorsque Hermann Weyl et d'autres ont publié des définitions formelles. En fait, une telle définition avait été donnée trente ans auparavant par Peano , qui connaissait parfaitement les travaux mathématiques de Grassmann. Grassmann n'a pas posé de définition formelle – la langue n'était pas disponible – mais il ne fait aucun doute qu'il avait le concept.

Partant d'une collection d'« unités » e 1 , e 2 , e 3 , ..., il définit effectivement l'espace linéaire libre qu'elles engendrent ; c'est-à-dire qu'il considère des combinaisons linéaires formelles a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ... où les a j sont des nombres réels, définit l'addition et la multiplication par des nombres réels [dans ce qui est maintenant l'habituel manière] et prouve formellement les propriétés de l'espace linéaire pour ces opérations. ... Il développe ensuite la théorie de l'indépendance linéaire d'une manière étonnamment similaire à la présentation que l'on trouve dans les textes modernes d'algèbre linéaire. Il définit les notions de sous - espace , d'indépendance linéaire , d' étendue , de dimension , de jointure et de rencontre de sous-espaces et de projections d'éléments sur des sous-espaces.

[…] rares sont ceux qui se sont rapprochés d'Hermann Grassmann de la création, à eux seuls, d'un nouveau sujet.

Suivant une idée du père de Grassmann, A1 a également défini le produit extérieur , également appelé « produit combinatoire » (en allemand : kombinatorisches Produkt ou äußeres Produkt « produit extérieur »), l'opération clé d'une algèbre désormais appelée algèbre extérieure . (Il faut garder à l'esprit qu'à l'époque de Grassmann, la seule théorie axiomatique était la géométrie euclidienne , et la notion générale d'une algèbre abstraite n'avait pas encore été définie.) En 1878, William Kingdon Clifford joignit cette algèbre extérieure à celle de William Rowan Hamilton . quaternions en remplaçant la règle de Grassmann e p e p = 0 par la règle e p e p = 1. (Pour les quaternions , nous avons la règle i 2 = j 2 = k 2 = −1.) Pour plus de détails, voir Algèbre extérieure .

A1 était un texte révolutionnaire, trop en avance sur son temps pour être apprécié. Lorsque Grassmann le soumit pour postuler à un poste de professeur en 1847, le ministère demanda à Ernst Kummer un rapport. Kummer a assuré qu'il contenait de bonnes idées, mais a trouvé l'exposition insuffisante et a déconseillé de donner à Grassmann un poste universitaire. Au cours des 10 prochaines années, Grassmann a écrit une variété de travaux appliquant sa théorie de l'extension, y compris sa Neue Theorie der Elektrodynamik de 1845 et plusieurs articles sur les courbes et les surfaces algébriques, dans l'espoir que ces applications amèneraient d'autres à prendre sa théorie au sérieux. .

En 1846, Möbius invita Grassmann à participer à un concours pour résoudre un problème initialement proposé par Leibniz : concevoir un calcul géométrique dépourvu de coordonnées et de propriétés métriques (ce que Leibniz a appelé l' analyse situs ). Geometrische Analyze geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik de Grassmann , était l'entrée gagnante (également la seule entrée). Möbius, en tant que l'un des juges, a critiqué la manière dont Grassmann a introduit des notions abstraites sans donner au lecteur aucune intuition quant à la raison pour laquelle ces notions avaient de la valeur.

En 1853, Grassmann publia une théorie sur le mélange des couleurs ; elle et ses trois lois de couleur sont encore enseignées, comme la loi de Grassmann . Les travaux de Grassmann sur ce sujet étaient incompatibles avec ceux de Helmholtz . Grassmann a également écrit sur la cristallographie , l' électromagnétisme et la mécanique .

En 1861, Grassmann a jeté les bases de l'axiomatisation de Peano de l'arithmétique dans son Lehrbuch der Arithmetik . En 1862, Grassmann a publié une deuxième édition entièrement réécrite de A1 , dans l'espoir de gagner une reconnaissance tardive pour sa théorie de l'extension, et contenant l'exposition définitive de son algèbre linéaire . Le résultat, Die Ausdehnungslehre : Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ), n'a pas fait mieux que A1 , même si la manière d'exposer A2 anticipe les manuels du 20e siècle.

Réponse

Dans les années 1840, les mathématiciens n'étaient généralement pas préparés à comprendre les idées de Grassmann. Dans les années 1860 et 1870, divers mathématiciens en vinrent à des idées similaires à celles de Grassmann, mais Grassmann lui-même ne s'intéressait plus aux mathématiques.

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant a développé un calcul vectoriel similaire à celui de Grassmann qu'il a publié en 1845. Il est alors entré en conflit avec Grassmann pour savoir lequel des deux avait pensé aux idées en premier. Grassmann avait publié ses résultats en 1844, mais Saint-Venant prétendait avoir développé ces idées pour la première fois en 1832.

L'un des premiers mathématiciens à apprécier les idées de Grassmann de son vivant était Hermann Hankel , dont 1867 Theorie der complexen Zahlensysteme .

[…], il a développé […] certaines des algèbres d'Hermann Grassmann et les quaternions de WR Hamilton . Hankel a été le premier à reconnaître l'importance des écrits longtemps négligés de Grassmann et a été fortement influencé par eux.

En 1872, Victor Schlegel publia la première partie de son System der Raumlehre qui utilisait l'approche de Grassmann pour dériver des résultats anciens et modernes en géométrie plane. Felix Klein a écrit une critique négative du livre de Schlegel, citant son caractère incomplet et son manque de perspective sur Grassmann. Schlegel a suivi en 1875 avec une deuxième partie de son Système selon Grassmann, développant cette fois une géométrie supérieure. Pendant ce temps, Klein faisait avancer son programme Erlangen qui élargissait également le champ de la géométrie.

La compréhension de Grassmann attendait le concept d' espaces vectoriels qui pourrait alors exprimer l' algèbre multilinéaire de sa théorie des extensions. Pour établir la priorité de Grassmann sur Hamilton, Josiah Willard Gibbs a exhorté les héritiers de Grassmann à publier l'essai de 1840 sur les marées. La première monographie d' AN Whitehead , l' Universal Algebra (1898), comprenait la première exposition systématique en anglais de la théorie de l'extension et de l' algèbre extérieure . Avec l'essor de la géométrie différentielle, l'algèbre extérieure a été appliquée aux formes différentielles .

En 1995, Lloyd C. Kannenberg a publié une traduction anglaise de The Ausdehnungslehre and Other works. Pour une introduction au rôle des travaux de Grassmann dans la physique mathématique contemporaine , voir The Road to Reality de Roger Penrose .

Linguiste

Les idées mathématiques de Grassmann n'ont commencé à se répandre que vers la fin de sa vie. Trente ans après la parution de A1, l'éditeur écrit à Grassmann : « Votre livre Die Ausdehnungslehre est épuisé depuis un certain temps. Comme votre ouvrage ne s'est pratiquement pas vendu, environ 600 exemplaires ont été utilisés en 1864 comme vieux papier et les quelques rares exemplaires restants sont maintenant épuisés, à l'exception d'un exemplaire dans notre bibliothèque ». Déçu par la réception de ses travaux dans les milieux mathématiques, Grassmann perd ses contacts avec les mathématiciens ainsi que son intérêt pour la géométrie. Les dernières années de sa vie, il se tourna vers la linguistique historique et l'étude du sanskrit . Il a écrit des livres sur la grammaire allemande , a rassemblé des chansons folkloriques et a appris le sanskrit. Il a écrit un dictionnaire de 2 000 pages et une traduction du Rigveda (plus de 1 000 pages) qui lui ont valu d'être membre de l' American Orientalists' Society . Dans les études rigvédiques modernes, les travaux de Grassmann sont souvent cités. En 1955, la troisième édition de son dictionnaire du Rigveda a été publiée.

Grassmann a également découvert une loi saine des langues indo-européennes , qui a été nommée loi de Grassmann en son honneur.

Ces réalisations philologiques ont été honorées de son vivant; il a été élu à l' American Oriental Society et en 1876, il a reçu un doctorat honorifique de l' Université de Tübingen .

Publications

  • A1 :
    • Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre (en allemand). Leipzig : Otto Wigand.
    • Grassmann, Hermann (1994). Une nouvelle branche des mathématiques . Traduit par Kannenberg, Lloyd C. Open Court . p. 9-297. ISBN 9780812692761.
  • Grassmann, Hermann (1847). Analyse géométrique (en allemand). Leipzig : Weidmannsche Buchhandlung .
  • Grassmann, Hermann (1861). Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten . 1 : Arithmétik. Berlin : Adolph Enslin.
  • A2 :
  • 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda . Leipzig : Brockhaus.
  • 1876-1877. Rig-Véda . Leipzig : Brockhaus. Traduction en deux vol., vol. 1 publié en 1876, vol. 2 publié en 1877.
  • 1894-1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke , en 3 vol. Friedrich Engel éd. Leipzig : BG Teubner. Réimprimé 1972, New York : Johnson.

Voir également

Citations

Les références

Remarque : Bibliographie en ligne étendue , révélant un intérêt contemporain substantiel pour la vie et l'œuvre de Grassmann. Fait référence à chaque chapitre de Schubring.

Liens externes