Tétraèdre de colline - Hill tetrahedron

En géométrie , les tétraèdres de Hill sont une famille de tétraèdres remplissant l'espace . Ils ont été découverts en 1896 par MJM Hill , professeur de mathématiques à l' University College de Londres , qui a montré qu'ils sont congruents en ciseaux à un cube .

Construction

Pour chaque , soit trois vecteurs unitaires avec un angle entre chacun d'eux. Définissez le tétraèdre de Hill comme suit : ${\displaystyle \alpha \in (0,2\pi /3)}$${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\style d'affichage \alpha }$ ${\style d'affichage Q(\alpha )}$

${\displaystyle Q(\alpha )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1} \leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.}$

Un cas particulier est le tétraèdre dont tous les côtés sont des triangles rectangles, deux avec des côtés et deux avec des côtés . Ludwig Schläfli a étudié comme un cas particulier de l' orthoschéma , et HSM Coxeter l'a appelé le tétraèdre caractéristique du remplissage d'espace cubique. ${\style d'affichage Q=Q(\pi /2)}$${\style d'affichage (1,1,{\sqrt {2}})}$${\style d'affichage (1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$${\style d'affichage Q}$

Propriétés

• Un cube peut être carrelé avec six copies de .${\style d'affichage Q}$
• Chacun peut être disséqué en trois polytopes qui peuvent être réassemblés en un prisme .${\style d'affichage Q(\alpha )}$

Généralisations

En 1951, Hugo Hadwiger a trouvé la généralisation n- dimensionnelle suivante des tétraèdres de Hill :

${\displaystyle Q(w)\,=\,\{c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}\mid 0\leq c_{1}\leq \cdots \leq c_ {n}\leq 1\},}$

où les vecteurs satisfont pour tout , et où . Hadwiger a montré que tous ces simplices sont congruents en ciseaux à un hypercube . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\style d'affichage (v_{i},v_{j})=w}$${\style d'affichage 1\leq i<j\leq n}$${\style d'affichage -1/(n-1)<w<1}$

Voir également

• Orthoschéma Schläfli

Les références

• MJM Hill, Détermination des volumes de certaines espèces de tétraèdres sans emploi de la méthode des limites, Proc. Mathématiques de Londres. Soc. , 27 (1895-1896), 39-53.
• H. Hadwiger , Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lisboa) , 12 (n° 50, 1951), 47-48.
• HSM Coxeter , Motifs de frise , Acta Arithmetica 18 (1971), 297-310.
• E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), n. 1–2, 68–77.
• Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy , Cambridge University Press, 2003.
• NJA Sloane , VA Vaishampayan, Généralisations de la dissection tétraédrique de Schobi , arXiv : 0710.3857 .

Liens externes

• Dissection en trois parties d'un tétraèdre de Hill en un prisme triangulaire
• Tétraèdres qui remplissent l'espace