Modèle Hodgkin-Huxley - Hodgkin–Huxley model

Composants de base des modèles de type Hodgkin-Huxley. Les modèles de type Hodgkin-Huxley représentent la caractéristique biophysique des membranes cellulaires. La bicouche lipidique est représentée par une capacité ( C _m ). Les canaux ioniques voltage-dépendants et de fuite sont représentés par des conductances non linéaires ( g _n ) et linéaires ( g _L ), respectivement. Les gradients électrochimiques entraînant le flux d'ions sont représentés par des batteries (E), et les pompes et échangeurs d'ions sont représentés par des sources de courant ( I _p ).

Le modèle Hodgkin-Huxley , ou modèle basé sur la conductance , est un modèle mathématique qui décrit comment les potentiels d'action dans les neurones sont initiés et propagés. Il s'agit d'un ensemble d' équations différentielles non linéaires qui se rapprochent des caractéristiques électriques des cellules excitables telles que les neurones et les myocytes cardiaques . C'est un système dynamique en temps continu .

Alan Hodgkin et Andrew Huxley ont décrit le modèle en 1952 pour expliquer les mécanismes ioniques qui sous-tendent l'initiation et la propagation des potentiels d'action dans l' axone géant du calmar . Ils ont reçu le prix Nobel de physiologie ou médecine 1963 pour ce travail.

Composants de base

Le modèle typique de Hodgkin-Huxley traite chaque composant d'une cellule excitable comme un élément électrique (comme le montre la figure). La bicouche lipidique est représentée par une capacité (C _m ). Les canaux ioniques voltage-dépendants sont représentés par des conductances électriques ( g _n , où n est le canal ionique spécifique) qui dépendent à la fois de la tension et du temps. Les canaux de fuite sont représentés par des conductances linéaires ( g _L ). Les gradients électrochimiques entraînant le flux d'ions sont représentés par des sources de tension ( E _n ) dont les tensions sont déterminées par le rapport des concentrations intra- et extracellulaires des espèces ioniques d'intérêt. Enfin, les pompes à ions sont représentées par des sources de courant ( I _p ). Le potentiel de membrane est noté V _m .

Mathématiquement, le courant traversant la bicouche lipidique s'écrit sous la forme

${\displaystyle I_{c}=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}}$

et le courant traversant un canal ionique donné est le produit

${\displaystyle I_{i}={g_{i}}(V_{m}-V_{i})\;}$

où est le potentiel d'inversion du i- ième canal ionique. Ainsi, pour une cellule à canaux sodium et potassium, le courant total traversant la membrane est donné par : ${\style d'affichage V_{i}}$

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+g_{K}(V_{m}-V_{K })+g_{Na}(V_{m}-V_{Na})+g_{l}(V_{m}-V_{l})}$

où I est le courant membranaire total par unité de surface, C _m est la capacité membranaire par unité de surface, g _K et g _Na sont les conductances de potassium et de sodium par unité de surface, respectivement, V _K et V _Na sont les potentiels d'inversion du potassium et du sodium , respectivement, et g _l et V _l sont respectivement la conductance de fuite par unité de surface et le potentiel d'inversion de fuite. Les éléments dépendant du temps de cette équation sont V _m , g _Na et g _K , où les deux dernières conductances dépendent également explicitement de la tension.

Caractérisation du courant ionique

Dans les canaux ioniques voltage-dépendants, la conductance du canal est fonction à la fois du temps et de la tension ( sur la figure), tandis que dans les canaux de fuite est une constante ( sur la figure). Le courant généré par les pompes ioniques dépend des espèces ioniques spécifiques à cette pompe. Les sections suivantes décriront ces formulations plus en détail. ${\style d'affichage g_{l}}$${\style d'affichage g_{n}(t,V)}$${\style d'affichage g_{l}}$${\style d'affichage g_{L}}$

Canaux ioniques voltage-dépendants

À l'aide d'une série d' expériences de voltage imposé et en faisant varier les concentrations extracellulaires de sodium et de potassium, Hodgkin et Huxley ont développé un modèle dans lequel les propriétés d'une cellule excitable sont décrites par un ensemble de quatre équations différentielles ordinaires . Avec l'équation pour le courant total mentionné ci-dessus, ce sont:

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K }}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na} )+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

où I est le courant par unité de surface, et et sont des constantes de vitesse pour le i- ième canal ionique, qui dépendent de la tension mais pas du temps. est la valeur maximale de la conductance. n , m et h sont des quantités sans dimension entre 0 et 1 qui sont associées à l'activation des canaux potassiques, à l'activation des canaux sodiques et à l'inactivation des canaux sodiques, respectivement. Pour , et prendre la forme ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$${\style d'affichage p=(n,m,h)}$${\displaystyle \alpha _{p}}$${\displaystyle \beta _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}.}$

${\displaystyle p_{\infty }}$et sont les valeurs à l'état stationnaire pour l'activation et l'inactivation, respectivement, et sont généralement représentées par les équations de Boltzmann en fonction de . Dans l'article original de Hodgkin et Huxley, les fonctions et sont données par ${\displaystyle (1-p_{\infty })}$${\displaystyle V_{m}}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10+V)}{\exp {\big (}{\frac {10+ V}{10}}{\grand )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25+V)}{\exp {\grand (}{\ frac {25+V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}{\frac {V}{20} }{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}{\frac {V}{80}}{\bigg )}&\beta _{m }(V_{m})=4\exp {\bigg (}{\frac {V}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1 }{\exp {\big (}{\frac {30+V}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

où désigne la dépolarisation négative en mV. ${\displaystyle V=V_{reste}-V_{m}}$

Alors que dans de nombreux logiciels actuels, des modèles de type Hodgkin-Huxley généralisent et à ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p} }}{\grand )}-D_{p}}}}$

Afin de caractériser les canaux voltage-dépendants, les équations sont ajustées aux données de voltage clamp. Pour une dérivation des équations de Hodgkin-Huxley sous tension-clamp, voir. En bref, lorsque le potentiel de membrane est maintenu à une valeur constante (c'est-à-dire tension-clamp), pour chaque valeur du potentiel de membrane, les équations de déclenchement non linéaires se réduisent aux équations de la forme :

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]\,}$

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]\,}$

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]\,}$

Ainsi, pour chaque valeur de potentiel de membrane, les courants de sodium et de potassium peuvent être décrits par ${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_ {m}-E_{\mathrm {Na} }),}$

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\ mathrm {K} }).}$

Afin d'arriver à la solution complète pour un potentiel d'action propagé, il faut écrire le terme courant I du côté gauche de la première équation différentielle en termes de V , de sorte que l'équation devienne une équation pour la tension seule. La relation entre I et V peut être dérivée de la théorie des câbles et est donnée par

${\displaystyle I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},}$

où a est le rayon de l' axone , R est la résistance spécifique de l' axoplasme et x est la position le long de la fibre nerveuse. La substitution de cette expression pour I transforme l'ensemble d'équations d'origine en un ensemble d' équations aux dérivées partielles , car la tension devient une fonction à la fois de x et de t .

L' algorithme de Levenberg-Marquardt est souvent utilisé pour ajuster ces équations aux données de voltage-clamp.

Alors que les expériences originales ne traitaient que les canaux sodium et potassium, le modèle Hodgkin-Huxley peut également être étendu pour tenir compte d'autres espèces de canaux ioniques .

Canaux de fuite

Les canaux de fuite représentent la perméabilité naturelle de la membrane aux ions et prennent la forme de l'équation des canaux voltage-dépendants, où la conductance est une constante. Ainsi, le courant de fuite dû aux canaux ioniques de fuite passifs dans le formalisme de Hodgkin-Huxley est . ${\displaystyle g_{fuite}}$${\displaystyle I_{l}=g_{fuite}(V-V_{fuite})}$

Pompes et échangeurs

Le potentiel membranaire dépend du maintien des gradients de concentration ionique à travers elle. Le maintien de ces gradients de concentration nécessite un transport actif d'espèces ioniques. Les échangeurs sodium-potassium et sodium-calcium sont les plus connus d'entre eux. Certaines des propriétés de base de l'échangeur Na/Ca sont déjà bien établies : la stoechiométrie d'échange est de 3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺ et l'échangeur est électrogène et sensible à la tension. L'échangeur Na/K a également été décrit en détail, avec une stoechiométrie 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ .

Propriétés mathématiques

Le modèle Hodgkin-Huxley peut être considéré comme un système d' équations différentielles avec quatre variables d'état , , et , qui changent en fonction du temps . Le système est difficile à étudier car il s'agit d'un système non linéaire et ne peut pas être résolu analytiquement. Cependant, il existe de nombreuses méthodes numériques disponibles pour analyser le système. Certaines propriétés et comportements généraux, tels que les cycles limites , peuvent être prouvés. ${\style d'affichage V_{m}(t),n(t),m(t)}$${\style d'affichage h(t)}$${\style d'affichage t}$

Une simulation du modèle Hodgkin-Huxley dans l'espace des phases, en termes de tension v(t) et de variable de déclenchement de potassium n(t). La courbe fermée est connue sous le nom de cycle limite .

Collecteur central

Comme il y a quatre variables d'état, il peut être difficile de visualiser le chemin dans l' espace des phases . Habituellement, deux variables sont choisies, la tension et la variable de contrôle du potassium , permettant de visualiser le cycle limite . Cependant, il faut être prudent car il s'agit d'une méthode ad hoc de visualisation du système à 4 dimensions. Cela ne prouve pas l'existence du cycle limite. ${\style d'affichage V_{m}(t)}$${\style d'affichage n(t)}$

Une meilleure projection peut être construite à partir d'une analyse minutieuse du Jacobien du système, évalué au point d'équilibre . Plus précisément, les valeurs propres du Jacobien sont indicatives de l' existence de la variété centrale . De même, les vecteurs propres du Jacobien révèlent l' orientation de la variété centrale . Le modèle Hodgkin-Huxley a deux valeurs propres négatives et deux valeurs propres complexes avec des parties réelles légèrement positives. Les vecteurs propres associés aux deux valeurs propres négatives se réduiront à zéro à mesure que le temps t augmente. Les deux vecteurs propres complexes restants définissent la variété centrale. En d'autres termes, le système à 4 dimensions s'effondre sur un plan à 2 dimensions. Toute solution partant du collecteur central se désintégrera vers le collecteur central. De plus, le cycle limite est contenu sur le collecteur central.

La tension v ( t ) (en millivolts) du modèle Hodgkin-Huxley, représentée graphiquement sur 50 millisecondes. Le courant injecté varie de -5 nanoampères à 12 nanoampères. Le graphique passe par trois étapes : une étape d'équilibre, une étape à pointe unique et une étape de cycle limite.

Bifurcations

Si le courant injecté a été utilisé comme paramètre de bifurcation , alors le modèle Hodgkin-Huxley subit une bifurcation de Hopf . Comme avec la plupart des modèles neuronaux, l'augmentation du courant injecté augmentera le taux de décharge du neurone. Une conséquence de la bifurcation de Hopf est qu'il y a une cadence de tir minimale. Cela signifie que soit le neurone ne se déclenche pas du tout (correspondant à une fréquence nulle), soit se déclenche à la vitesse de déclenchement minimale. En raison du principe du tout ou rien , il n'y a pas d'augmentation régulière de l' amplitude du potentiel d'action , mais plutôt un "saut" soudain d'amplitude. La transition qui en résulte est connue sous le nom de canard . ${\style d'affichage I}$

Améliorations et modèles alternatifs

Le modèle Hodgkin-Huxley est considéré comme l'une des grandes réalisations de la biophysique du XXe siècle. Néanmoins, les modèles modernes de type Hodgkin-Huxley ont été étendus de plusieurs manières importantes :

• Des populations de canaux ioniques supplémentaires ont été incorporées sur la base de données expérimentales.
• Le modèle Hodgkin-Huxley a été modifié pour incorporer la théorie des états de transition et produire des modèles thermodynamiques Hodgkin-Huxley.
• Les modèles incorporent souvent des géométries très complexes de dendrites et d' axones , souvent basées sur des données de microscopie.
• Modèles stochastiques du comportement des canaux ioniques, conduisant à des systèmes hybrides stochastiques.
• Le modèle Poisson-Nernst-Planck (PNP) est basé sur une approximation du champ moyen des interactions ioniques et des descriptions de continuum de concentration et de potentiel électrostatique.

Plusieurs modèles neuronaux simplifiés ont également été développés (comme le modèle FitzHugh-Nagumo ), facilitant une simulation efficace à grande échelle de groupes de neurones, ainsi qu'un aperçu mathématique de la dynamique de génération de potentiel d'action.

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes

• Simulation Javascript interactive du modèle HH Fonctionne dans n'importe quel navigateur compatible HTML5. Permet de modifier les paramètres du modèle et l'injection de courant.
• Applet Java interactif du modèle HH Les paramètres du modèle peuvent être modifiés ainsi que les paramètres d'excitation et les tracés de l'espace des phases de toutes les variables sont possibles.
• Lien direct vers le modèle Hodgkin-Huxley et une description dans la base de données BioModels
• Impulsions neuronales : le potentiel d'action en action par Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project
• Modèle interactif Hodgkin-Huxley par Shimon Marom, The Wolfram Demonstrations Project
• ModelDB Une base de données de code source en neurosciences computationnelles contenant 4 versions (dans différents simulateurs) du modèle Hodgkin-Huxley original et des centaines de modèles qui appliquent le modèle Hodgkin-Huxley à d'autres canaux dans de nombreux types de cellules électriquement excitables.
• Plusieurs articles sur la version stochastique du modèle et son lien avec l'original.