Argument du trou - Hole argument

En relativité générale , l' argument du trou est un paradoxe apparent qui a beaucoup troublé Albert Einstein en développant ses fameuses équations de champ .

Certains philosophes de la physique prennent l' argument pour soulever un problème pour le substantialisme multiple , une doctrine selon laquelle la multiplicité d'événements dans l' espace - temps est une « substance » qui existe indépendamment du champ métrique défini sur elle ou de la matière qu'elle contient. D'autres philosophes et physiciens sont en désaccord avec cette interprétation et considèrent l'argument comme une confusion sur l' invariance de jauge et la fixation de jauge à la place.

L'argument du trou d'Einstein

Dans une équation de champ habituelle, connaître la source du champ et les conditions aux limites détermine le champ partout. Par exemple, si l'on nous donne la densité de courant et de charge et les conditions aux limites appropriées, les équations de Maxwell déterminent les champs électrique et magnétique. Cependant, ils ne déterminent pas le potentiel vectoriel, car le potentiel vectoriel dépend d'un choix arbitraire de jauge.

Einstein a remarqué que si les équations de la gravité sont généralement covariantes , alors la métrique ne peut être déterminée uniquement par ses sources en fonction des coordonnées de l'espace-temps. À titre d'exemple : considérons une source gravitationnelle, comme le soleil. Il existe alors un champ gravitationnel décrit par une métrique g(r). Effectuez maintenant une transformation de coordonnées r r' où r' est le même que r pour les points qui sont à l'intérieur du soleil mais r' est différent de r à l'extérieur du soleil. La description des coordonnées de l'intérieur du soleil n'est pas affectée par la transformation, mais la forme fonctionnelle de la métrique g' pour les nouvelles valeurs de coordonnées à l'extérieur du soleil est modifiée. En raison de la covariance générale des équations de champ, cette métrique transformée g' est également une solution dans le système de coordonnées non transformé. ${\style d'affichage \to }$

Cela signifie qu'une source, le soleil, peut être la source de nombreuses mesures apparemment différentes. La résolution est immédiate : deux champs qui ne diffèrent que par une telle transformation "trou" sont physiquement équivalents, de même que deux potentiels vecteurs différents qui diffèrent par une transformation de jauge sont physiquement équivalents. Alors toutes ces solutions mathématiquement distinctes ne sont pas physiquement distinguables - elles représentent une seule et même solution physique des équations de champ.

Il existe de nombreuses variantes de cet apparent paradoxe. Dans une version, vous considérez une surface de valeur initiale avec quelques données et trouvez la métrique en fonction du temps. Ensuite, vous effectuez une transformation de coordonnées qui déplace les points dans le futur de la surface de valeur initiale, mais qui n'affecte pas la surface initiale ni aucun point à l'infini. Ensuite, vous pouvez conclure que les équations de champ généralement covariantes ne déterminent pas l'avenir de manière unique, car cette nouvelle métrique transformée de coordonnées est une solution tout aussi valable des mêmes équations de champ dans le système de coordonnées d'origine. Ainsi, le problème de la valeur initiale n'a pas de solution unique en relativité générale. Cela est également vrai en électrodynamique, car vous pouvez effectuer une transformation de jauge qui n'affectera que le potentiel vectoriel demain. La résolution dans les deux cas consiste à utiliser des conditions supplémentaires pour fixer une jauge.

Contester la version ci-dessus de l'argument du trou d'Einstein

La dérivation par Einstein des équations du champ gravitationnel a été retardée à cause de l'argument du trou qu'il a créé en 1913. Cependant, le problème n'était pas celui indiqué dans la section ci-dessus. En 1912, au moment où Einstein a commencé ce qu'il a appelé sa « lutte avec la signification des coordonnées », il savait déjà rechercher des équations tensorielles car celles-ci ne sont pas affectées par le changement de coordonnées. Il avait déjà trouvé la forme du champ gravitationnel (à savoir en tant que tétrade ou champ de trame ou métrique ), et les équations du mouvement de la matière dans un champ gravitationnel donné (qui découlent de la maximisation du temps propre donné par ). Il est évident que ceci est invariant sous des transformations de coordonnées. ${\displaystyle e_{\mu }^{I}(x)}$${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}$

Ce qui le dérangeait était une conséquence de son principe de covariance générale et découle de ce qui suit. La covariance générale stipule que les lois de la physique devraient prendre la même forme mathématique dans tous les référentiels et donc dans tous les systèmes de coordonnées et donc l'équation différentielle qui sont les équations de champ du champ gravitationnel devrait prendre la même forme mathématique dans tous les systèmes de coordonnées. En d'autres termes, étant donné deux systèmes de coordonnées, disons coordonnées et coordonnées, l'un a exactement la même équation différentielle à résoudre dans les deux, sauf dans l'un la variable indépendante est et dans l'autre la variable indépendante est . Cela implique que dès que l'on trouve une fonction métrique dans le système de coordonnées qui résout les équations de champ, on peut simplement écrire la même fonction mais remplacer tous les 's par des 's, ce qui résout les équations de champ dans le système de coordonnées. Comme ces deux solutions ont la même forme fonctionnelle mais appartiennent à des systèmes de coordonnées différents, elles imposent des géométries spatio-temporelles différentes. Notez que cette seconde solution n'est pas liée à la première par une transformation de coordonnées, mais c'est quand même une solution. Voici le problème qui a tant inquiété Einstein : si ces systèmes de coordonnées ne diffèrent qu'après il y a alors deux solutions ; ils ont les mêmes conditions initiales mais ils imposent des géométries différentes après . Sur la base de cette observation, Einstein passa trois ans à chercher des équations de champ non généralement covariantes dans une course effrénée contre Hilbert . ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage t=0}$${\style d'affichage t=0}$

Pour être plus précis, Einstein a conçu une situation où la distribution de la matière est connue partout en dehors d'une région fermée de l'espace-temps dépourvue de matière, le trou. Ensuite, les équations de champ ainsi que les conditions aux limites permettent supposément de déterminer le champ métrique à l'intérieur du trou. On prend les coordonnées et pour différer à l'intérieur du trou mais s'accorder à l'extérieur. L'argument se déroule alors comme dans le paragraphe ci-dessus. ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$

Comme ces deux solutions ont la même forme fonctionnelle, elles prennent les mêmes valeurs ; ils les assument simplement à des endroits différents. Par conséquent, une solution est obtenue à partir de l'autre en faisant activement glisser la fonction métrique sur la variété d'espace-temps dans la nouvelle configuration. C'est ce qu'on appelle un difféomorphisme , parfois appelé difféomorphisme actif par les physiciens pour le distinguer des transformations de coordonnées (difféomorphismes passifs). Einstein n'a pas réussi à trouver des équations de champ non généralement covariantes pour revenir à l'argument du trou et le résoudre. Il s'agissait essentiellement d'accepter que ces deux solutions sont physiquement équivalentes en affirmant que la façon dont la métrique est localisée sur la variété d'espace-temps n'a pas d'importance physique et que les points individuels d'espace-temps définis en termes de coordonnées d'espace-temps n'ont aucune signification physique en eux-mêmes (c'est la source du problème pour le substantialisme multiple). Pour donner un sens à la « localisation », Einstein a généralisé la situation donnée dans les paragraphes ci-dessus en introduisant deux particules ; alors les points physiques (à l'intérieur du trou) peuvent être définis en fonction de leurs lignes d'univers coïncidentes. Cela fonctionne parce que la matière est entraînée avec la métrique sous des difféomorphismes actifs. Sans l'introduction de ces particules, on ne serait pas en mesure de définir des points physiques de l'espace-temps (à l'intérieur du trou) ; voir les citations d'Einstein données ci-dessous dans la section 'La résolution d'Einstein'.

Signification de l'invariance des coordonnées

Pour les philosophes, il y a encore une certaine subtilité. Si les composants métriques sont considérés comme les variables dynamiques de la relativité générale , la condition selon laquelle les équations sont invariantes en coordonnées n'a pas de contenu en soi. Toutes les théories physiques sont invariantes sous des transformations de coordonnées si elles sont formulées correctement. Il est possible d'écrire les équations de Maxwell dans n'importe quel système de coordonnées et de prédire l'avenir de la même manière.

Mais pour formuler l'électromagnétisme dans un système de coordonnées arbitraire, il faut introduire une description de la géométrie de l'espace-temps qui n'est pas liée à un système de coordonnées particulier. Cette description est un tenseur métrique en chaque point, ou une connexion qui définit quels vecteurs voisins sont parallèles. L'objet mathématique introduit, la métrique de Minkowski, change de forme d'un système de coordonnées à un autre, mais il ne fait pas partie de la dynamique, il n'obéit pas aux équations du mouvement. Peu importe ce qui arrive au champ électromagnétique, c'est toujours le même. Il agit sans être agi.

En relativité générale, chaque quantité locale distincte qui est utilisée pour décrire la géométrie est elle-même un champ dynamique local, avec sa propre équation de mouvement. Cela produit des restrictions sévères, car l'équation du mouvement doit être raisonnable. Il doit déterminer le futur à partir des conditions initiales, il ne doit pas avoir d'instabilités galopantes pour les petites perturbations, il doit définir une énergie définie positive pour les petits écarts. Si l'on considère que l'invariance des coordonnées est trivialement vraie, le principe de l'invariance des coordonnées stipule simplement que la métrique elle-même est dynamique et que son équation de mouvement n'implique pas une géométrie de fond fixe.

La résolution d'Einstein

En 1915, Einstein réalisa que l'argument du trou fait une hypothèse sur la nature de l'espace-temps : il présume qu'il y a un sens à parler de la valeur du champ gravitationnel (jusqu'à de simples transformations de coordonnées) à un point de l'espace-temps défini par une coordonnée de l'espace-temps — plus précisément, cela suppose qu'il y a un sens à parler des propriétés physiques du champ gravitationnel, par exemple s'il est plat ou courbe (c'est une propriété indépendante des coordonnées du champ gravitationnel), à un point de l'espace-temps. En abandonnant cette hypothèse, la covariance générale est devenue compatible avec le déterminisme. Alors que deux champs gravitationnels qui diffèrent par un difféomorphisme actif semblent différents géométriquement, après recalcul des trajectoires de toutes les particules, leurs interactions définissent manifestement des emplacements « physiques » par rapport auxquels le champ gravitationnel prend la même valeur sous tous les difféomorphismes actifs. (Notez que si les deux métriques étaient liées l'une à l'autre par une simple transformation de coordonnées, les lignes d'univers des particules ne seraient pas transposées ; c'est parce que ces deux métriques imposent la même géométrie d'espace-temps et parce que les lignes d'univers sont définies géométriquement comme des trajectoires de maximum temps proprement dit — ce n'est qu'avec un difféomorphisme actif que la géométrie est modifiée et les trajectoires modifiées.) Ce fut la première déclaration claire du principe de l' invariance de jauge dans la loi physique.

Einstein croyait que l'argument du trou implique que la seule définition significative de l'emplacement et du temps passe par la matière. Un point de l'espace-temps n'a pas de sens en soi, car l'étiquette que l'on donne à un tel point est indéterminée. Les points de l'espace-temps n'acquièrent leur signification physique que parce que la matière se déplace à travers eux. Dans ses mots :

"Toutes nos vérifications spatio-temporelles se résument invariablement à une détermination de coïncidences spatio-temporelles. Si, par exemple, les événements consistaient simplement en le mouvement de points matériels, alors en fin de compte rien ne serait observable que la rencontre de deux ou plusieurs de ces points. "

Il considérait cela comme la compréhension la plus profonde de la relativité générale. Selon cette intuition, le contenu physique de toute théorie est épuisé par le catalogue des coïncidences spatio-temporelles qu'elle autorise. John Stachel a appelé ce principe l' argument de la coïncidence ponctuelle .

Généralement, ce qui est invariant sous difféomorphismes actifs, et donc invariants de jauge, ce sont les coïncidences entre la valeur du champ gravitationnel et la valeur du champ de matière au même « endroit » parce que le champ gravitationnel et le champ de matière sont entraînés ensemble. sous un difféomorphisme actif. A partir de ces coïncidences, on peut former une notion de la matière étant localisée par rapport au champ gravitationnel. Comme le dit Carlo Rovelli : « Plus de champs sur l'espace-temps : juste des champs sur des champs. C'est le vrai sens du dicton « La scène disparaît et devient l'un des acteurs » ; l'espace-temps en tant que « conteneur » sur lequel la physique se déroule n'a aucune signification physique objective et au lieu de cela, l'interaction gravitationnelle est représentée comme l'un des champs formant le monde.

Einstein a qualifié sa résolution de "au-delà de mes attentes les plus folles".

Implications de l'indépendance du bruit de fond pour certaines théories de la gravité quantique

La gravitation quantique à boucles est une approche de la gravitation quantique qui tente de marier les principes fondamentaux de la RG classique avec les caractéristiques essentielles minimales de la mécanique quantique et sans exiger de nouvelles hypothèses. Les physiciens de la gravitation quantique à boucles considèrent l' indépendance de l'arrière-plan comme un principe central dans leur approche de la quantification de la gravité - une symétrie classique qui devrait être préservée par la théorie quantique si nous voulons vraiment quantifier la géométrie (=gravité). Une conséquence immédiate est que LQG est UV-fini car les petites et grandes distances sont équivalentes en jauge car on peut remplacer une fonction métrique par une autre liée à la première par un difféomorphisme actif. Un argument plus précis peut être avancé. La preuve directe de la finitude du LQG canonique en présence de toutes les formes de matière a été fournie par Thiemann. Cependant, il a été suggéré que la gravitation quantique à boucles viole l'indépendance de l'arrière-plan en introduisant un cadre de référence préféré (« mousses de spin »).

La théorie des cordes perturbatrice (en plus d'un certain nombre de formulations non perturbatives) n'est pas "évidemment" indépendante du fond, car elle dépend des conditions aux limites à l'infini, de la même manière que la relativité générale perturbative ne dépend pas "évidemment" du fond. Cependant, certains secteurs de la théorie des cordes admettent des formulations dans lesquelles l'indépendance de fond est manifeste, notamment l' AdS/CFT . On pense que la théorie des cordes est indépendante du fond en général, même si de nombreuses formulations utiles ne la rendent pas manifeste. Pour une opinion contraire, voir Smolin.

Voir également

• Erich Kretschmann
• Philosophie de l'espace et du temps

Les références

Sources

• Albert Einstein , HA Lorentz, H. Weyl, et H. Minkowski, Le principe de la relativité (1952) : Einstein, Albert (1916) "Le fondement de la théorie générale de la relativité," pp. 111-164.
• Carlo Rovelli , Quantum Gravity , publié par Cambridge University Press (2004) ISBN  0-521-83733-2 . Une version préliminaire peut être téléchargée gratuitement sur http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf .
• Norton, John, The Hole Argument , The Stanford Encyclopedia of Philosophy (édition printemps 2004), Edward N. Zalta (éd.)
• d'Inverno, Ray (1992). Présentation de la relativité d'Einstein . Oxford : Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. Voir la section 13.6 .
• La physique rencontre la philosophie à l'échelle de Planck (Cambridge University Press).
• Joy Christian , Pourquoi le quantum doit céder à la gravité , e-print disponible en gr-qc/9810078 . Apparaît dans Physics Meets Philosophy at the Planck Scale (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli et Marcus Gaul , Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance , e-print disponible en gr-qc/9910079 .
• Robert Rynasiewicz : Les leçons de l'argument du trou , Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, non. 2 (1994), p. 407-437.
• Alan Macdonald, l'argument du trou d'Einstein American Journal of Physics (février 2001) Vol 69, numéro 2, pp. 223-225.

Liens externes

• Stachel, John, "L'argument du trou et quelques implications physiques et philosophiques" , Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014).