Homologie (mathématiques) - Homology (mathematics)

En mathématiques , l' homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques, tels que des groupes ou modules abéliens , à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques . Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine en topologie algébrique . Des constructions similaires sont disponibles dans une grande variété d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite , les groupes , les algèbres de Lie , la théorie de Galois et la géométrie algébrique .

La motivation initiale pour définir les groupes d'homologie était l'observation que deux formes peuvent être distinguées en examinant leurs trous. Par exemple, un cercle n'est pas un disque car le cercle est traversé par un trou alors que le disque est solide, et la sphère ordinaire n'est pas un cercle car la sphère renferme un trou bidimensionnel tandis que le cercle renferme un trou unidimensionnel. Cependant, comme un trou n'est "pas là", il n'est pas immédiatement évident de définir un trou ou de distinguer différents types de trous. L'homologie était à l'origine une méthode mathématique rigoureuse pour définir et catégoriser les trous dans une variété . En gros, un cycle est une sous-variété fermée, une frontière est un cycle qui est aussi la frontière d'une sous-variété, et une classe d'homologie (qui représente un trou) est une classe d'équivalence de cycles frontières modulo. Une classe d'homologie est ainsi représentée par un cycle qui n'est la frontière d'aucune sous-variété : le cycle représente un trou, à savoir une variété hypothétique dont la frontière serait ce cycle, mais qui n'est « pas là ».

Il existe de nombreuses théories d'homologie différentes. Un type particulier d'objet mathématique, tel qu'un espace topologique ou un groupe , peut avoir une ou plusieurs théories d'homologie associées. Lorsque l'objet sous-jacent a une interprétation géométrique comme le font les espaces topologiques, le n ème groupe d'homologie représente le comportement en dimension n . La plupart des groupes ou modules d'homologie peuvent être formulés comme des foncteurs dérivés sur des catégories abéliennes appropriées , mesurant l'échec d'un foncteur pour être exact . Dans cette perspective abstraite, les groupes d'homologie sont déterminés par des objets d'une catégorie dérivée .

Arrière-plan

Origines

On peut dire que la théorie de l'homologie commence par la formule du polyèdre d'Euler, ou caractéristique d'Euler . Cela a été suivi par la définition de Riemann des invariants numériques de genre et de connexité n en 1857 et la preuve de Betti en 1871 de l'indépendance des « nombres d'homologie » du choix de la base.

L'homologie elle-même a été développée comme un moyen d'analyser et de classer les variétés en fonction de leurs cycles - des boucles fermées (ou plus généralement des sous-variétés) qui peuvent être dessinées sur une variété donnée à n dimensions mais pas continuellement déformées les unes dans les autres. Ces cycles sont aussi parfois considérés comme des coupes qui peuvent être recollées, ou comme des fermetures à glissière qui peuvent être fermées et détachées. Les cycles sont classés par dimension. Par exemple, une ligne tracée sur une surface représente un cycle 1, une boucle fermée ou (1 collecteur), tandis qu'une surface coupée à travers un collecteur tridimensionnel est un cycle 2.

Surfaces

Cycles sur une 2-sphère
Cycles sur un tore
Cycles sur une bouteille de Klein
Cycles sur un plan projectif hémisphérique

Sur la sphère ordinaire , le cycle b du diagramme peut être rétréci au pôle, et même le grand cercle équatorial a peut être rétréci de la même manière. Le théorème de la courbe de Jordan montre que tout cycle arbitraire tel que c peut être réduit de la même manière en un point. Tous les cycles de la sphère peuvent donc se transformer en continu les uns dans les autres et appartenir à la même classe d'homologie. Ils sont dits homologues à zéro. Couper un collecteur le long d'un cycle homologue à zéro sépare le collecteur en deux ou plusieurs composants. Par exemple, couper la sphère le long d' un produit deux hémisphères.

Ceci n'est généralement pas vrai pour les cycles sur d'autres surfaces. Le tore a des cycles qui ne peuvent pas se déformer en continu, par exemple dans le schéma aucun des cycles a , b ou c ne peut se déformer l'un dans l'autre. En particulier, les cycles a et b ne peuvent pas être rétrécis jusqu'à un point alors que le cycle c le peut, le rendant ainsi homologue à zéro.

Si la surface du tore est coupée le long de a et b , elle peut être ouverte et aplatie en un rectangle ou, plus commodément, un carré. Une paire de côtés opposés représente la coupe le long de a , et l'autre paire opposée représente la coupe le long de b .

Les bords du carré peuvent ensuite être recollés de différentes manières. Le carré peut être tordu pour permettre aux bords de se rejoindre dans la direction opposée, comme indiqué par les flèches sur le schéma. Jusqu'à la symétrie, il existe quatre manières distinctes de coller les côtés, chacune créant une surface différente :

Les quatre façons de coller un carré pour faire une surface fermée : collez des flèches simples ensemble et collez des flèches doubles ensemble.

est la bouteille de Klein , qui est un tore avec une torsion (la torsion peut être vue dans le diagramme carré comme l'inversion de la flèche du bas). C'est un théorème que la surface recollée doit s'auto-intersecter (lorsqu'elle est immergée dans l' espace 3 euclidien ). Comme le tore, les cycles a et b ne peuvent pas être rétrécis alors que c peut l'être. Mais contrairement au tore, suivre b en avant à droite et en arrière inverse à gauche et à droite, car b arrive à traverser la torsion donnée à une jointure. Si une coupe équidistante d'un côté de b est faite, elle revient de l'autre côté et fait le tour de la surface une seconde fois avant de revenir à son point de départ, en découpant une bande de Möbius torsadée . Parce que la gauche et la droite locales peuvent être arbitrairement réorientées de cette manière, la surface dans son ensemble est dite non orientable.

Le plan projectif a les deux jointures tordues. La forme non coupée, généralement représentée comme la surface Boy , est visuellement complexe, de sorte qu'un plongement hémisphérique est montré dans le diagramme, dans lequel les points antipodaux autour du bord tels que A et A′ sont identifiés comme le même point. Encore une fois, a et b ne sont pas rétractables alors que c l' est. Mais cette fois, a et b inversent à gauche et à droite.

Les cycles peuvent être joints ou ajoutés ensemble, comme un et b les tores ont été quand il a été coupé ouvert et aplati vers le bas. Dans le diagramme de la bouteille de Klein, a fait le tour dans un sens et − a fait le tour dans le sens inverse. Si a est considéré comme une coupe, alors − a peut être considéré comme une opération de collage. Faire une découpe puis la recoller ne change pas la surface, donc a + (− a ) = 0.

Mais maintenant considérer deux un -cycles. Comme la bouteille de Klein n'est pas orientable, vous pouvez en transporter une tout autour de la bouteille (le long du cycle b ), et elle reviendra sous la forme − a . En effet, la bouteille de Klein est constituée d'un cylindre dont les extrémités d' un cycle sont collées ensemble avec des orientations opposées. D'où 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Ce phénomène est appelé torsion . De même, dans le plan projectif, suivre deux fois le cycle inrétrécissable b crée remarquablement un cycle trivial qui peut être rétréci jusqu'à un point ; c'est-à-dire b + b = 0. Parce que b doit être suivi environ deux fois pour obtenir un cycle nul, la surface est dite avoir un coefficient de torsion de 2. Cependant, suivre un b -cycle environ deux fois dans la bouteille de Klein donne simplement b + b = 2 b , puisque ce cycle vit dans une classe d'homologie sans torsion. Cela correspond au fait que dans le polygone fondamental de la bouteille de Klein, une seule paire de côtés est collée avec une torsion, alors que dans le plan projectif les deux côtés sont tordus.

Un carré est un espace topologique contractile , ce qui implique qu'il a une homologie triviale. Par conséquent, des coupes supplémentaires le déconnectent. Le carré n'est pas la seule forme dans le plan qui peut être collée dans une surface. Le collage des côtés opposés d'un octogone, par exemple, produit une surface avec deux trous. En fait, toutes les surfaces fermées peuvent être produites en collant les côtés de certains polygones et tous les polygones à côtés pairs (2 n -gons) peuvent être collés pour créer différentes variétés. Inversement, une surface fermée avec n classes non nulles peut être découpée en un 2 n -gon. Des variantes sont également possibles, par exemple un hexagone peut également être collé pour former un tore.

La première théorie reconnaissable de l'homologie a été publiée par Henri Poincaré dans son article fondateur " Analysis situs ", J. Ecole polytech. (2) 1 . 1-121 (1895). L'article présente les classes et les relations d'homologie. Les configurations possibles de cycles orientables sont classées par les nombres de Betti de la variété (les nombres de Betti sont un raffinement de la caractéristique d'Euler). La classification des cycles non orientables nécessite des informations supplémentaires sur les coefficients de torsion.

La classification complète des variétés 1 et 2 est donnée dans le tableau.

Caractéristiques topologiques des variétés fermées 1 et 2
Collecteur Euler non. ,
χ
Orientabilité Numéros de Betty Coefficient de torsion
(1 dimension)
symbole Nom b 0 b 1 b 2
Cercle (1-collecteur) 0 Orientable 1 1 N / A N / A
Sphère 2 Orientable 1 0 1 Rien
Cercle plein (c'est-à-dire disque ; 2-collecteur) Non orientable 1 0 0
Sphère solide (c'est-à-dire boule) Non orientable 1 0 0
Torus 0 Orientable 1 2 1 Rien
Plan projectif 1 Non orientable 1 0 0 2
Bouteille de Klein 0 Non orientable 1 1 0 2
tore 2 trous -2 Orientable 1 4 1 Rien
tore g troué ( g est le genre ) 2 - 2 g Orientable 1 2 grammes 1 Rien
Sphère avec croix c 2 - c Non orientable 1 c −1 0 2
2-Manifold avec g  trous et c  cross-caps ( c  >  0) 2   (2 g  + c )  Non orientable 1 (2 g  + c ) − 1    0 2
Remarques
  1. Pour une surface non orientable, un trou équivaut à deux calottes croisées.
  2. Toute 2-variété est la somme connexe de g tores et c plans projectifs. Pour la sphère , g = c = 0.

Généralisation

Un collecteur avec limite ou collecteur ouvert est topologiquement distinct d'un collecteur fermé et peut être créé en faisant une coupe dans n'importe quel collecteur fermé approprié. Par exemple, le disque ou 1-ball est délimité par un cercle . Il peut être créé en coupant un cycle trivial dans n'importe quel 2-collecteur et en gardant la pièce retirée, en perçant la sphère et en étirant largement la perforation, ou en coupant le plan projectif. Il peut également être vu comme remplissant le cercle dans l'avion.

Lorsque deux cycles peuvent être continuellement déformés l'un dans l'autre, alors couper le long de l'un produit la même forme que couper le long de l'autre, jusqu'à un certain pliage et étirement. Dans ce cas, les deux cycles sont dits homologues ou appartiennent à la même classe d'homologie . De plus, si un cycle peut être continuellement déformé en une combinaison d'autres cycles, alors couper le long du cycle initial est identique à couper le long de la combinaison d'autres cycles. Par exemple, couper le long d'un 8 équivaut à couper le long de ses deux lobes. Dans ce cas, le chiffre 8 est dit homologue à la somme de ses lobes.

Deux variétés ouvertes avec des limites similaires (jusqu'à une certaine flexion et étirement) peuvent être collées ensemble pour former une nouvelle variété qui est leur somme connectée.

Cette analyse géométrique des variétés n'est pas rigoureuse. Dans une recherche d'une rigueur accrue, Poincaré a continué à développer l'homologie simplicielle d'une variété triangulée et à créer ce qu'on appelle maintenant un complexe de chaîne . Ces complexes de chaînes (depuis largement généralisés) forment la base de la plupart des traitements modernes d'homologie.

Dans de tels traitements, un cycle n'a pas besoin d'être continu : un cycle 0 est un ensemble de points, et couper le long de ce cycle correspond à percer le collecteur. Un 1-cycle correspond à un ensemble de boucles fermées (une image du 1-manifold ). Sur une surface, la coupe le long d'un cycle de 1 donne soit des pièces déconnectées, soit une forme plus simple. Un 2-cycle correspond à un ensemble de surfaces incrustées telles qu'une sphère ou un tore, et ainsi de suite.

Emmy Noether et, indépendamment, Leopold Vietoris et Walther Mayer ont développé la théorie des groupes d'homologie algébrique au cours de la période 1925-1928. La nouvelle topologie combinatoire traitait formellement les classes topologiques comme des groupes abéliens . Les groupes d'homologie sont des groupes abéliens de type fini, et les classes d'homologie sont des éléments de ces groupes. Les nombres de Betti de la variété sont le rang de la partie libre du groupe d'homologie, et les cycles non orientables sont décrits par la partie de torsion.

La diffusion ultérieure des groupes d'homologie a apporté un changement de terminologie et de point de vue de la « topologie combinatoire » à la « topologie algébrique ». L'homologie algébrique reste la principale méthode de classification des variétés.

Exemples informels

L'homologie d'un espace topologique X est un ensemble d' invariants topologiques de X représentés par ses groupes d'homologie

où le groupe d'homologie décrit, de manière informelle, le nombre de trous de dimension k dans X . Un trou de dimension 0 est simplement un espace entre deux composants . Par conséquent, décrit les composants connectés au chemin de X .

Le cercle ou 1-sphère
La 2-sphère est la coquille, pas l'intérieur, d'une boule

Une sphère unidimensionnelle est un cercle . Il a un seul composant connecté et un trou unidimensionnel, mais pas de trous de dimension supérieure. Les groupes d'homologie correspondants sont donnés par

où est le groupe des nombres entiers et est le groupe trivial . Le groupe représente un groupe abélien de génération finie , avec un seul générateur représentant le trou unidimensionnel contenu dans un cercle.

Une sphère bidimensionnelle a un seul composant connecté, aucun trou unidimensionnel, un trou bidimensionnel et aucun trou de dimension supérieure. Les groupes d'homologie correspondants sont

En général pour une sphère à n dimensions les groupes d'homologie sont

Le disque solide ou 2-ball
Le tore

Une boule bidimensionnelle est un disque solide. Il a un seul composant connecté à un chemin, mais contrairement au cercle, il n'a pas de trous unidimensionnels ou de dimension supérieure. Les groupes d'homologie correspondants sont tous triviaux à l'exception de . En général, pour une boule de dimension n

Le tore est défini comme le produit de deux cercles . Le tore a un seul composant connecté au chemin, deux trous unidimensionnels indépendants (indiqués par des cercles en rouge et bleu) et un trou bidimensionnel à l'intérieur du tore. Les groupes d'homologie correspondants sont

Les deux trous indépendants à une dimension forment des générateurs indépendants dans un groupe abélien de génération finie, exprimé comme le groupe de produits

Pour le plan projectif P , un calcul simple montre (où est le groupe cyclique d'ordre 2) :

correspond, comme dans les exemples précédents, au fait qu'il n'y a qu'un seul composant connecté. est un phénomène nouveau : intuitivement, cela correspond au fait qu'il existe une seule « boucle » non contractible, mais si on fait la boucle deux fois, elle devient contractile à zéro. Ce phénomène est appelé torsion .

Construction de groupes d'homologie

La construction commence par un objet tel qu'un espace topologique X , sur lequel on définit d' abord une chaîne complexe C ( X ) codant des informations sur X . Une chaîne complexe est une séquence de groupes ou modules abéliens . reliés par des homomorphismes appelés opérateurs frontières . C'est-à-dire,

où 0 désigne le groupe trivial et pour i < 0. Il est également nécessaire que la composition de deux opérateurs de frontière consécutifs soit triviale. C'est-à-dire, pour tout n ,

c'est-à-dire, l'application constante envoyant chaque élément de à l'identité de groupe dans L'énoncé selon lequel la frontière d'une frontière est triviale est équivalent à l'énoncé qui , où désigne l' image de l'opérateur de frontière et de son noyau . Les éléments de sont appelés limites et les éléments de sont appelés cycles .

Puisque chaque groupe de chaînes C n est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux. Alors parce que est un sous-groupe de C n , est abélien, et puisque donc est un sous-groupe normal de . On peut alors créer le groupe quotient

appelé le n ième groupe d'homologie de X . Les éléments de H n ( X ) sont appelés classes d' homologie . Chaque classe d'homologie est une classe d'équivalence sur les cycles et deux cycles d'une même classe d'homologie sont dits homologues .

A est complexe chaîne dit être exacte si l'image de la ( n + 1) ième carte est toujours égale au noyau du n ième carte. Les groupes d'homologie de X mesurent donc "à quelle distance" le complexe de chaîne associé à X est d'être exact.

Les groupes d'homologie réduite d'un complexe de chaîne C ( X ) sont définis comme des homologies du complexe de chaîne augmenté

où l'opérateur frontière est

pour une combinaison de points qui sont les générateurs fixes de C 0 . Les groupes d'homologie réduits coïncident avec pour L'extra dans le complexe de la chaîne représente l'application unique du simplexe vide à X .

Le calcul du cycle et des groupes limites est généralement assez difficile car ils ont un très grand nombre de générateurs. D'autre part, il existe des outils qui facilitent la tâche.

Les groupes d' homologie simpliciale H n ( X ) d'un complexe simplicial X sont définis en utilisant le complexe de chaînes simpliciales C ( X ), avec C n ( X ) le groupe abélien libre engendré par les n- simplices de X . Voir homologie simplicial pour plus de détails.

Les groupes d' homologie singuliers H n ( X ) sont définis pour tout espace topologique X , et s'accordent avec les groupes d'homologie simplicial pour un complexe simplicial.

Groupes de cohomologie sont formellement similaire à des groupes d'homologie: on part d'un complexe de cochaine , qui est identique à une chaîne complexe , mais dont les flèches, maintenant notée point dans la direction d'augmentation de n au lieu de diminuer n ; alors les groupes de cocycles et de cofrontières découlent de la même description. Le n ième groupe de cohomologie de X est alors le groupe quotient

par analogie avec le n ième groupe d'homologie.

Homologie vs homotopie

Les groupes d'homotopie sont similaires aux groupes d'homologie en ce sens qu'ils peuvent représenter des "trous" dans un espace topologique. Il existe un lien étroit entre le premier groupe d'homotopie et le premier groupe d'homologie : ce dernier est l' abélianisation du premier. Par conséquent, il est dit que « l'homologie est une alternative commutative à l'homotopie ». Les groupes d'homotopie supérieurs sont abéliens et sont liés aux groupes d'homologie par le théorème de Hurewicz , mais peuvent être beaucoup plus compliqués. Par exemple, les groupes d'homotopie des sphères sont mal compris et ne sont pas connus en général, contrairement à la description simple donnée ci-dessus pour les groupes d'homologie.

A titre d'exemple, soit X le chiffre huit . Son premier groupe d'homotopie est le groupe de boucles dirigées commençant et se terminant en un point prédéterminé (par exemple son centre). Il est équivalent au groupe libre de rang 2, qui n'est pas commutatif : boucler autour du cycle le plus à gauche puis autour du cycle le plus à droite est différent que boucler autour du cycle le plus à droite puis boucler autour du cycle le plus à gauche. En revanche, son premier groupe d'homologie est le groupe de coupes réalisées dans une surface. Ce groupe est commutatif, puisque (de manière informelle) couper le cycle le plus à gauche puis le cycle le plus à droite conduit au même résultat que couper le cycle le plus à droite puis le cycle le plus à gauche.

Types d'homologie

Les différents types de théorie de l'homologie découlent de la cartographie des foncteurs de diverses catégories d'objets mathématiques à la catégorie des complexes de chaînes. Dans chaque cas, la composition du foncteur des objets aux complexes de chaînes et du foncteur des complexes de chaînes aux groupes d'homologie définit le foncteur d'homologie global pour la théorie.

Homologie simpliste

L'exemple motivant vient de la topologie algébrique : l' homologie simpliciale d'un complexe simplicial X . Ici le groupe de chaînes C n est le groupe ou module abélien libre dont les générateurs sont les simplexes orientés à n dimensions de X . L'orientation est capturée en ordonnant les sommets du complexe et en exprimant un simplexe orienté comme un n -uplet de ses sommets répertoriés par ordre croissant (c'est- à- dire dans l'ordre des sommets du complexe, où est le e sommet apparaissant dans le tuple). Le mappage de C n à C n−1 est appelé le mappage de frontière et envoie le simplexe

à la somme formelle

qui est considéré comme 0 si Ce comportement sur les générateurs induit un homomorphisme sur l'ensemble de C n comme suit. Étant donné un élément , écrivez-le comme la somme des générateurs où est l'ensemble des n -simplexes dans X et les m i sont des coefficients de l'anneau sur lequel C n est défini (généralement des entiers, sauf indication contraire). puis définir

La dimension de la n- ième homologie de X s'avère être le nombre de "trous" dans X à la dimension n . Il peut être calculé en mettant les représentations matricielles de ces mappages de limites sous la forme normale de Smith .

Homologie singulière

En utilisant l'exemple d'homologie simplicial comme modèle, on peut définir une homologie singulière pour tout espace topologique X . Un complexe de chaîne de X est définie en prenant en C n à être le groupe abélien libre (ou module libre) dont les génératrices sont toutes en continu des cartes de n à n dimensions simplexes dans X . Les homomorphismes ∂ n sont issus des cartes limites des simplexes.

Homologie de groupe

En algèbre abstraite , on utilise l'homologie pour définir des foncteurs dérivés , par exemple les foncteurs Tor . Ici on part d'un foncteur additif covariant F et d'un module X . La chaîne complexe pour X est définie comme suit : d'abord trouver un module libre et un homomorphisme surjectif Puis on trouve un module libre et un homomorphisme surjectif En continuant ainsi, une suite de modules libres et d'homomorphismes peut être définie. En appliquant le foncteur F à cette séquence, on obtient une chaîne complexe ; l'homologie de ce complexe ne dépend que de F et X et est, par définition, le n- ième foncteur dérivé de F , appliqué à X .

Une utilisation courante de la (co)homologie de groupe est de classer les groupes d'extension possibles E qui contiennent un G -module M donné comme un sous-groupe normal et ont un groupe quotient donné G , de sorte que

Autres théories d'homologie

Fonctions d'homologie

Les complexes de chaînes forment une catégorie : Un morphisme du complexe de chaînes ( ) au complexe de chaînes ( ) est une séquence d'homomorphismes tels que pour tout n . La n- ième homologie H n peut être considérée comme un foncteur covariant de la catégorie des complexes de chaînes à la catégorie des groupes abéliens (ou modules).

Si le complexe en chaîne dépend de l'objet X de manière covariante (c'est-à-dire que tout morphisme induit un morphisme du complexe en chaîne de X vers le complexe en chaîne de Y ), alors les H n sont des foncteurs covariants de la catégorie à laquelle X appartient dans la catégorie des groupes abéliens (ou modules).

La seule différence entre homologie et cohomologie est qu'en cohomologie les complexes de chaînes dépendent de manière contravariante de X , et que donc les groupes d'homologie (qui sont appelés groupes de cohomologie dans ce contexte et notés H n ) forment des foncteurs contravariants de la catégorie qui X appartient à la catégorie des groupes ou modules abéliens.

Propriétés

Si ( ) est une chaîne complexe telle que tous les A n sauf un nombre fini sont nuls, et les autres sont des groupes abéliens de type fini (ou des espaces vectoriels de dimension finie), alors nous pouvons définir la caractéristique d'Euler

(en utilisant le rang dans le cas des groupes abéliens et la dimension de Hamel dans le cas des espaces vectoriels). Il s'avère que la caractéristique d'Euler peut également être calculée au niveau de l'homologie :

et, en particulier en topologie algébrique, cela fournit deux façons de calculer l'invariant important pour l'objet X qui a donné naissance au complexe de la chaîne.

Toute suite exacte courte

des complexes de chaînes donne lieu à une longue séquence exacte de groupes d'homologie

Toutes les cartes de cette longue séquence exacte sont induites par les cartes entre les complexes de chaînes, à l'exception des cartes. Ces dernières sont appelées homomorphismes de connexion et sont fournies par le lemme en zigzag . Ce lemme peut être appliqué à l'homologie de nombreuses manières qui aident au calcul des groupes d'homologie, comme les théories de l'homologie relative et les séquences de Mayer-Vietoris .

Applications

Application en mathématiques pures

Les théorèmes notables prouvés par homologie sont les suivants :

  • Le théorème du point fixe de Brouwer : Si f est une application continue de la boule B n à elle-même, alors il existe un point fixe avec
  • Invariance du domaine : Si U est une partie ouverte de et est un injective plan continu , puis est ouvert et f est un homéomorphisme entre U et V .
  • Le théorème de la boule poilue : tout champ de vecteurs sur la 2-sphère (ou plus généralement, la 2 k -sphère pour tout ) disparaît à un moment donné.
  • Le théorème de Borsuk-Ulam : toute fonction continue à partir d' un n -sphere en euclidienne n -space maps certains paire de points de antipodaux au même point. (Deux points sur une sphère sont appelés antipodes s'ils sont dans des directions exactement opposées par rapport au centre de la sphère.)
  • Invariance de dimension: si des sous - ensembles ouverts non vides et sont homéomorphes, puis

Application en science et ingénierie

Dans l'analyse de données topologiques , les ensembles de données sont considérés comme un échantillonnage de nuages ​​de points d'une variété algébrique ou de variété intégrée dans l' espace euclidien . En reliant les points voisins les plus proches du nuage dans une triangulation, une approximation simplicielle de la variété est créée et son homologie simpliciale peut être calculée. Trouver des techniques pour calculer de manière robuste l'homologie en utilisant diverses stratégies de triangulation sur plusieurs échelles de longueur est le sujet de l'homologie persistante .

Dans les réseaux de capteurs, les capteurs peuvent communiquer des informations via un réseau ad-hoc qui change dynamiquement dans le temps. Pour comprendre le contexte global de cet ensemble de mesures locales et de voies de communication, il est utile de calculer l'homologie de la topologie du réseau pour évaluer, par exemple, les trous de couverture.

Dans la théorie des systèmes dynamiques en physique , Poincaré a été l'un des premiers à considérer l'interaction entre la variété invariante d'un système dynamique et ses invariants topologiques. La théorie de Morse relie la dynamique d'un flux de gradient sur une variété à, par exemple, son homologie. L'homologie de Floer a étendu cela aux variétés de dimension infinie. Le théorème KAM a établi que les orbites périodiques peuvent suivre des trajectoires complexes ; en particulier, ils peuvent former des tresses qui peuvent être étudiées par homologie de Floer.

Dans une classe de méthodes d'éléments finis , les problèmes de valeurs limites pour les équations différentielles impliquant l' opérateur de Hodge-Laplace peuvent devoir être résolus sur des domaines topologiquement non triviaux, par exemple, dans des simulations électromagnétiques . Dans ces simulations, la solution est aidée en fixant la classe de cohomologie de la solution en fonction des conditions aux limites choisies et de l'homologie du domaine. Les domaines FEM peuvent être triangulés, à partir desquels l'homologie simpliciale peut être calculée.

Logiciel

Divers progiciels ont été développés dans le but de calculer des groupes d'homologie de complexes cellulaires finis. Linbox est une bibliothèque C++ permettant d'effectuer des opérations matricielles rapides, y compris la forme normale de Smith ; il s'interface à la fois avec Gap et Maple . Chomp , CAPD::Redhom et Perseus sont également écrits en C++. Tous trois mettent en œuvre des algorithmes de prétraitement basés sur l' équivalence d'homotopie simple et la théorie de Morse discrète pour effectuer des réductions préservant l'homologie des complexes de cellules d'entrée avant de recourir à l'algèbre matricielle. Kenzo est écrit en Lisp, et en plus de l'homologie, il peut également être utilisé pour générer des présentations de groupes d' homotopie de complexes simpliciaux finis. Gmsh inclut un solveur d'homologie pour les maillages d'éléments finis, qui peut générer des bases de cohomologie directement utilisables par des logiciels d'éléments finis.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes