Théorie de l'homotopie - Homotopy theory

En mathématiques , la théorie de l'homotopie est une étude systématique de situations dans lesquelles les cartes sont accompagnées d' homotopies entre elles. Il est à l'origine un sujet de topologie algébrique mais est aujourd'hui étudié en tant que discipline indépendante. Outre la topologie algébrique, la théorie a également été utilisée dans d'autres domaines des mathématiques tels que la géométrie algébrique (par exemple, la théorie de l'homotopie A¹ ) et la théorie des catégories (en particulier l'étude des catégories supérieures ).

Concepts

Espaces et cartes

Dans la théorie de l'homotopie et la topologie algébrique, le mot «espace» désigne un espace topologique . Afin d'éviter les pathologies , on travaille rarement avec des espaces arbitraires; à la place, on a besoin d'espaces pour répondre à des contraintes supplémentaires, comme être généré de manière compacte , ou Hausdorff , ou un complexe CW .

Dans la même veine que ci-dessus, une " carte " est une fonction continue, éventuellement avec quelques contraintes supplémentaires.

Souvent, on travaille avec un espace pointu - c'est-à-dire un espace avec un "point distingué", appelé point de base. Une carte pointée est alors une carte qui préserve les points de base; c'est-à-dire qu'il envoie le point de base du domaine à celui du codomaine. En revanche, une carte gratuite est une carte qui n'a pas besoin de conserver les points de base.

Homotopie

Soit je désigne l'intervalle unitaire. Une famille de cartes indexées par I , est appelée une homotopie de à si est une carte (par exemple, elle doit être une fonction continue ). Lorsque X , Y sont des espaces pointus, les sont nécessaires pour conserver les points de base. On peut montrer qu'une homotopie est une relation d'équivalence . Etant donné un espace pointé X et un entier , laissez - être les classes d' homotopie de cartes à base d'un (pointu) n -sphere à X . En fin de compte, ce sont des groupes ; en particulier, que l' on appelle le groupe fondamental de X .

Si l'on préfère travailler avec un espace au lieu d'un espace pointu, il y a la notion de groupoïde fondamental (et de variantes supérieures): par définition, le groupoïde fondamental d'un espace X est la catégorie où les objets sont les points de X et les morphismes sont des chemins.

Cofibration et fibration

Une carte s'appelle une cofibration si on lui donne (1) une carte et (2) une homotopie , il existe une homotopie qui s'étend et telle que . Dans un sens vague, c'est un analogue du schéma de définition d'un module injectif en algèbre abstraite . L'exemple le plus élémentaire est une paire CW ; comme beaucoup ne fonctionnent qu'avec des complexes CW, la notion de cofibration est souvent implicite.

Une fibration au sens de Serre est la double notion de cofibration: c'est-à-dire qu'une carte est une fibration si on lui donne (1) une carte et (2) une homotopie , il existe une homotopie telle que celle donnée et . Un exemple de base est une carte de couverture (en fait, une fibration est une généralisation d'une carte de couverture). Si est un G -bundle principal , c'est-à-dire un espace avec une action de groupe libre et transitive (topologique) d'un groupe ( topologique ), alors la carte de projection est un exemple de fibration.

Classer les espaces et les opérations d'homotopie

Etant donné un groupe topologique G , l' espace de classification des G- groupements principaux ("le" jusqu'à l'équivalence) est un espace tel que, pour chaque espace X ,

{principal G -bundle sur X  } / ~

  • le côté gauche est l'ensemble des classes d'homotopie des cartes ,
  • ~ fait référence à l'isomorphisme des faisceaux, et
  • = est donné en tirant vers l'arrière le bundle distingué sur (appelé bundle universel) le long d'une carte .

Le théorème de représentabilité de Brown garantit l'existence d'espaces de classification.

Spectre et cohomologie généralisée

L'idée qu'un espace de classification classifie les faisceaux principaux peut être poussée plus loin. Par exemple, on pourrait essayer de classer les classes de cohomologie: étant donné un groupe abélien A (tel que ),

où est l' espace Eilenberg – MacLane . L'équation ci-dessus conduit à la notion d'une théorie de la cohomologie généralisée; c'est-à-dire un foncteur contravariant de la catégorie des espaces à la catégorie des groupes abéliens qui satisfait les axiomes généralisant la théorie ordinaire de la cohomologie. Il s'avère qu'un tel foncteur peut ne pas être représentable par un espace mais il peut toujours être représenté par une séquence d'espaces (pointus) avec des cartes de structure appelées spectre. En d'autres termes, donner une théorie de la cohomologie généralisée, c'est donner un spectre.

Un exemple de base de spectre est un spectre de sphère :

Théorèmes clés

Théorie de l'obstruction et classe de caractéristiques

Voir aussi: Classe caractéristique , tour Postnikov , torsion Whitehead

Localisation et complétion d'un espace

Théories spécifiques

Il existe plusieurs théories spécifiques

Hypothèse d'homotopie

L'une des questions fondamentales dans les fondements de la théorie de l'homotopie est la nature d'un espace. L' hypothèse de l'homotopie demande si un espace est quelque chose de fondamentalement algébrique.

Théorie abstraite de l'homotopie

Concepts

Catégories de modèles

Théorie simplicial de l'homotopie

Voir également

Les références

  • May, J.Un cours concis en topologie algébrique
  • George William Whitehead (1978). Éléments de la théorie de l'homotopie . Textes d'études supérieures en mathématiques. 61 (3e éd.). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi + 744. ISBN   978-0-387-90336-1 . MR   0516508 . Récupéré le 6 septembre 2011 .
  • Ronald Brown, Topologie et groupoïdes (2006) Booksurge LLC ISBN   1-4196-2722-8 .

Lectures complémentaires

Liens externes