Nid d'abeille (géométrie) - Honeycomb (geometry)

En géométrie , un nid d'abeilles est un remplissage d'espace ou un compactage serré de cellules polyédriques ou de dimensions supérieures , de sorte qu'il n'y ait pas de lacunes. Il est un exemple de la mathématique plus générale carrelage ou tessellation dans un certain nombre de dimensions. Sa dimension peut être clarifiée n -honeycomb pour un nid d'abeille n espace de dimension.

Les nids d'abeilles sont généralement construits dans un espace euclidien ordinaire («plat»). Ils peuvent également être construits dans des espaces non euclidiens , tels que des nids d'abeilles hyperboliques . Tout polytope uniforme fini peut être projeté vers sa circonscription pour former un nid d'abeilles uniforme dans l'espace sphérique.

Il est possible de remplir le plan avec des polygones qui ne se rejoignent pas à leurs coins, par exemple en utilisant des rectangles , comme dans un motif de mur en brique : ce n'est pas un carrelage approprié car les coins se trouvent en partie le long du bord d'un polygone voisin. De même, dans un nid d'abeilles approprié, il ne doit pas y avoir d'arêtes ou de sommets situés en partie le long de la face d'une cellule voisine. L'interprétation de chaque face de brique comme un hexagone ayant deux angles intérieurs de 180 degrés permet au motif d'être considéré comme un carrelage approprié. Cependant, tous les géomètres n'acceptent pas de tels hexagones.

Classification

Il existe une infinité de nids d'abeilles, qui n'ont été que partiellement classés. Les plus réguliers ont suscité le plus d'intérêt, tandis qu'un assortiment riche et varié d'autres continue à être découvert.

Les nids d'abeilles les plus simples à construire sont formés de couches empilées ou de dalles de prismes basées sur des pavages du plan. En particulier, pour chaque parallélépipède , les copies peuvent remplir l'espace, le nid d'abeilles cubique étant spécial car c'est le seul nid d'abeilles régulier dans l'espace ordinaire (euclidien). Une autre famille intéressante est celle des tétraèdres des collines et de leurs généralisations, qui peuvent également carreler l'espace.

3 nids d'abeilles uniformes

Un nid d'abeilles uniforme en 3 dimensions est un nid d'abeilles dans un espace 3 composé de cellules polyédriques uniformes , et ayant tous les sommets identiques (c'est-à-dire que le groupe des [isométries de l'espace 3 qui préservent le pavage] est transitif sur les sommets ). Il existe 28 exemples convexes dans l'espace 3 euclidien, également appelés nids d'abeilles d'Archimède .

Un nid d'abeille est dit régulier si le groupe d'isométries préservant le pavage agit de manière transitoire sur des drapeaux, où un drapeau est un sommet posé sur une arête posée sur une face posée sur une cellule. Chaque nid d'abeilles régulier est automatiquement uniforme. Cependant, il n'y a qu'un seul nid d'abeilles régulier dans l'espace 3 euclidien, le nid d'abeille cubique . Deux sont quasi - réguliers (constitués de deux types de cellules régulières):

Type Nid d'abeille cubique régulier Nids d'abeilles quasi-réguliers
Cellules Cubique Octaèdres et tétraèdres
Couche de dalle Semicheck cubique.png Tétroctaédrique semicheck.png

Le nid d'abeilles tétraédrique-octaédrique et les nids d'abeilles tétraédriques-octaédriques tournants sont générés par 3 ou 2 positions de couche de dalle de cellules, chacune alternant tétraèdres et octaèdres. Un nombre infini de nids d'abeilles uniques peut être créé par un ordre supérieur de motifs de répétition de ces couches de dalle.

Polyèdres remplissant l'espace

Un nid d'abeilles ayant toutes les cellules identiques dans ses symétries est dit transitif cellulaire ou isochore . Dans l'espace euclidien tridimensionnel, une cellule d'un tel nid d'abeille est dite être un polyèdre remplissant l'espace . Une condition nécessaire pour qu'un polyèdre soit un polyèdre remplissant l'espace est que son invariant de Dehn doit être nul, excluant tout solide platonicien autre que le cube.

Cinq polyèdres remplissant l'espace peuvent tesseller un espace euclidien en trois dimensions en utilisant uniquement des traductions. Ils sont appelés paralléloèdres :

  1. Nid d'abeille cubique (ou variantes: cuboïde , hexaèdre rhombique ou parallélépipède )
  2. Nid d'abeille prismatique hexagonal
  3. Nid d'abeille dodécaédrique rhombique
  4. Nid d'abeille dodécaédrique allongé
  5. Nid d'abeilles cubiques bitroncés ou octaèdres tronqués
Nid d'abeille prisme rhomboédrique.png
nid d'abeille cubique
Nid d'abeille prisme hexagonal incliné.png
Nid d'abeille prismatique hexagonal
Dodécaèdres rhombiques.png
Dodécaèdres rhombiques
Nid d'abeille de dodécaèdre rhombique allongé.png
Dodécaèdres allongés
Octaèdres tronqués.png
Octaèdres tronqués
Cube
(parallélépipède)
Prisme hexagonal Dodécaèdre rhombique Dodécaèdre allongé Octaèdre tronqué
Cube d'arêtes parallélèdre.png Prisme hexagonal à bords parallélèdres.png Dodécaèdre rhombique à bords parallélèdre.png Bords parallélèdres dodécaèdre rhombique allongé.png Parallelohedron edge octaedron tronqué.png
3 longueurs de bord 3 + 1 longueurs de bord 4 longueurs de bord 4 + 1 longueurs de bord 6 longueurs de bord

D'autres exemples connus de polyèdres de remplissage d'espace comprennent:

Autres nids d'abeilles avec deux polyèdres ou plus

Parfois, deux polyèdres différents ou plus peuvent être combinés pour remplir l'espace. Outre la plupart des nids d'abeilles uniformes, un autre exemple bien connu est la structure Weaire – Phelan , adoptée à partir de la structure des cristaux d'hydrate de clathrate

Nid d'abeille 12-14-hedral.png
Structure Weaire – Phelan (avec deux types de cellules)

3 nids d'abeilles non convexes

Les exemples documentés sont rares. Deux classes peuvent être distinguées:

  • Cellules non convexes qui se regroupent sans chevauchement, analogues aux pavages de polygones concaves. Ceux-ci incluent un emballage du petit dodécaèdre rhombique étoilé , comme dans le cube Yoshimoto .
  • Chevauchement de cellules dont les densités positives et négatives «s'annulent» pour former un continuum uniformément dense, analogue à des pavages superposés du plan.

Nids d'abeilles hyperboliques

Dans l'espace hyperbolique tridimensionnel , l' angle dièdre d'un polyèdre dépend de sa taille. Les nids d'abeilles hyperboliques réguliers en comprennent donc deux avec quatre ou cinq dodécaèdres se rejoignant à chaque bord; leurs angles dièdres sont donc π / 2 et 2π / 5, tous deux inférieurs à celui d'un dodécaèdre euclidien. En dehors de cet effet, les nids d'abeilles hyperboliques obéissent aux mêmes contraintes topologiques que les nids d'abeilles euclidiens et polychores.

Les 4 nids d'abeilles hyperboliques compacts et 11 paracompacts réguliers et de nombreux nids d'abeilles hyperboliques uniformes compacts et paracompacts ont été énumérés.

Quatre nids d'abeilles compacts réguliers en H 3
H3 534 CC centre.png
{5,3,4}
H3 435 CC centre.png
{4,3,5}
H3 353 CC centre.png
{3,5,3}
H3 535 CC centre.png
{5,3,5}
11 nids d'abeilles réguliers paracompacts
H3 633 FC boundary.png
{6,3,3}
H3 634 FC boundary.png
{6,3,4}
H3 635 FC boundary.png
{6,3,5}
H3 636 FC boundary.png
{6,3,6}
H3 443 FC boundary.png
{4,4,3}
H3 444 FC boundary.png
{4,4,4}
H3 336 CC centre.png
{3,3,6}
H3 436 CC centre.png
{4,3,6}
H3 536 CC centre.png
{5,3,6}
Frontière H3 363 FC.png
{3,6,3}
H3 344 CC centre.png
{3,4,4}

Dualité des 3 nids d'abeilles

Pour chaque nid d'abeilles, il y a un double nid d'abeille, qui peut être obtenu en échangeant:

cellules pour les sommets.
faces pour les arêtes.

Ce ne sont que les règles pour la dualisation des 4-polytopes à quatre dimensions , sauf que la méthode finie habituelle de réciprocité autour d'une hypersphère concentrique peut rencontrer des problèmes.

Les nids d'abeilles les plus réguliers se combinent parfaitement:

  • Le nid d'abeilles cubique est auto-double.
  • Celui des octaèdres et des tétraèdres est double à celui des dodécaèdres rhombiques.
  • Les nids d'abeilles de dalle dérivés de pavages plans uniformes sont duels les uns aux autres de la même manière que les pavages.
  • Les duals des nids d'abeilles archimédiens restants sont tous transitifs cellulaires et ont été décrits par Inchbald.

Nids d'abeilles auto-doubles

Les nids d'abeilles peuvent également être auto-doubles . Tous les nids d' abeilles hypercubiques de n dimensions avec des symboles Schläfli {4,3 n −2 , 4}, sont auto-duels.

Voir également

Références

Lectures complémentaires

Liens externes

Espace Famille / /
E 2 Carrelage uniforme {3 [3] } δ 3 3 3 Hexagonal
E 3 Nid d'abeille convexe uniforme {3 [4] } δ 4 4 4
E 4 Nid d'abeille uniforme 4 {3 [5] } δ 5 5 5 Nid d'abeille 24 cellules
E 5 Nid d'abeille uniforme 5 {3 [6] } δ 6 6 6
E 6 Nid d'abeille uniforme 6 {3 [7] } δ 7 7 7 2 22
E 7 Nid d'abeille uniforme 7 {3 [8] } δ 8 8 8 1 33 3 31
E 8 Nid d'abeille uniforme 8 {3 [9] } δ 9 9 9 1 52 2 51 5 21
E 9 Nid d'abeille uniforme 9 {3 [10] } δ 10 10 10
E n -1 Uniforme ( n -1) - nid d'abeille {3 [n] } δ n n n 1 k2 2 k1 k 21