Hypoténuse - Hypotenuse

Un triangle rectangle et son hypoténuse.

En géométrie , une hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle , le côté opposé à l' angle droit . La longueur de l'hypoténuse peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore , qui stipule que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Par exemple, si l'un des autres côtés a une longueur de 3 (au carré, 9) et l'autre a une longueur de 4 (au carré, 16), alors leurs carrés totalisent 25. La longueur de l'hypoténuse est la racine carrée de 25, soit 5.

Étymologie

Le mot hypoténuse est dérivé du grec ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. γραμμή ou πλευρά ), signifiant « [côté] sous - tendant l'angle droit » ( Apollodore ), ὑποτείνουσα hupoteinousa étant le participe féminin présent actif du verbe ὑποτείνω hupo-teinō " s'étirer en dessous, sous-tendre", de τείνω teinō "étirer, étendre". Le participe nominalisé, ὑποτείνουσα , a été utilisé pour l'hypoténuse d'un triangle au 4ème siècle avant JC (attesté dans Platon , Timée 54d). Le terme grec a été prêté au latin tardif , comme hypotēnūsa . L'orthographe en -e , comme hypoténuse , est d'origine française ( Estienne de La Roche 1520).

Calcul de l'hypoténuse

La longueur de l'hypoténuse peut être calculée en utilisant la fonction racine carrée impliquée par le théorème de Pythagore . En utilisant la notation commune que la longueur des deux jambes du triangle (les côtés perpendiculaires entre eux) sont a et b et celle de l'hypoténuse est c , nous avons

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Le théorème de Pythagore, et donc cette longueur, peut également être dérivé de la loi des cosinus en observant que l'angle opposé à l'hypoténuse est de 90° et en notant que son cosinus est 0 :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt { a^{2}+b^{2}}}.}$

De nombreux langages informatiques prennent en charge la fonction standard ISO C hypot( x , y ), qui renvoie la valeur ci-dessus. La fonction est conçue pour ne pas échouer lorsque le calcul simple peut déborder ou manquer et peut être légèrement plus précis et parfois considérablement plus lent.

Certains calculateurs scientifiques fournissent une fonction de conversion de coordonnées rectangulaires à coordonnées polaires . Cela donne à la fois la longueur de l'hypoténuse et l' angle que l'hypoténuse fait avec la ligne de base ( c ₁ ci-dessus) en même temps lorsque x et y sont donnés . L'angle renvoyé est normalement donné par atan2 ( y , x ).

Propriétés

Sur la figure, a est l'hypoténuse et b et c sont les cathètes. La projection orthographique de b est m , et de c est n .

Projections orthographiques :

• La longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des longueurs des projections orthographiques des deux cathètes.
• Le carré de la longueur d'un cathète est égal au produit des longueurs de sa projection orthographique sur l'hypoténuse par la longueur de celle-ci.

b² = a · m

c² = a · n

• Aussi, la longueur d'un cathète b est la moyenne proportionnelle entre les longueurs de sa projection m et l'hypoténuse a .

a/b = b/m

a/c = c/n

Rapports trigonométriques

Au moyen des rapports trigonométriques , on peut obtenir la valeur de deux angles aigus, et , du triangle rectangle. ${\style d'affichage \alpha \,}$${\displaystyle \beta \,}$

Compte tenu de la longueur de l'hypoténuse et d'un cathète , le rapport est : ${\style d'affichage c\,}$${\style d'affichage b\,}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

La fonction inverse trigonométrique est :

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

dans lequel est l'angle opposé au cathète . ${\displaystyle \beta \,}$${\style d'affichage b\,}$

L'angle adjacent de la cathète est = 90° –${\style d'affichage b\,}$${\style d'affichage \alpha \,}$${\displaystyle \beta \,}$

On peut aussi obtenir la valeur de l'angle par l'équation : ${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

dans laquelle se trouve l'autre cathète. ${\style d'affichage a\,}$

Voir également

• cathète
• Triangle
• Diagonale de l'espace
• Numéro sans hypoténuse
• Géométrie du taxi
• Trigonométrie
• Triangles rectangles spéciaux
• Pythagoras

Remarques

Les références

• Hypoténuse à l'Encyclopédie des mathématiques
• Weisstein, Eric W. "Hypoténuse" . MathWorld .