Particules identiques - Identical particles

Mécanique statistique
Thermodynamique Théorie cinétique
Statistiques de particules Théorème des statistiques de spin Particules identiques Maxwell–Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac Parastatistique Statistiques anyoniques Statistiques de tresse
Ensembles thermodynamiques NVE Microcanonique NVT Canonique µVT Grand canonique NPH Isoenthalpique–isobare NPT Isotherme–isobare
Des modèles Au revoir Einstein Je chante Potts
Potentiels Énergie interne Enthalpie L'énergie libre de Helmholtz L'énergie gratuite de Gibbs Grand potentiel / Landau énergie libre
Scientifiques Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Au revoir Fermi Bose
v t e

En mécanique quantique , les particules identiques (appelées aussi particules indiscernables ou indiscernables ) sont des particules qui ne peuvent être distinguées les unes des autres, même en principe. Les espèces de particules identiques comprennent, sans s'y limiter, les particules élémentaires (telles que les électrons ), les particules subatomiques composites (telles que les noyaux atomiques ), ainsi que les atomes et les molécules . Les quasiparticules se comportent également de cette manière. Bien que toutes les particules indiscernables connues n'existent qu'à l' échelle quantique , il n'y a pas de liste exhaustive de toutes les sortes de particules possibles ni de limite d'applicabilité précise, comme exploré dans les statistiques quantiques .

Il existe deux catégories principales de particules identiques : les bosons , qui peuvent partager des états quantiques , et les fermions , qui ne le peuvent pas (comme décrit par le principe d'exclusion de Pauli ). Des exemples de bosons sont les photons , les gluons , les phonons , les noyaux d' hélium-4 et tous les mésons . Des exemples de fermions sont les électrons, les neutrinos , les quarks , les protons , les neutrons et les noyaux d' hélium-3 .

Le fait que des particules puissent être identiques a des conséquences importantes en mécanique statistique , où les calculs reposent sur des arguments probabilistes , sensibles à l'identité ou non des objets étudiés. En conséquence, des particules identiques présentent un comportement statistique nettement différent des particules distinguables. Par exemple, l'indiscernabilité des particules a été proposée comme solution au paradoxe du mélange de Gibbs .

Distinguer les particules

Il existe deux méthodes pour distinguer les particules. La première méthode repose sur des différences dans les propriétés physiques intrinsèques des particules, telles que la masse , la charge électrique et le spin . Si des différences existent, il est possible de distinguer les particules en mesurant les propriétés pertinentes. Cependant, c'est un fait empirique que les particules microscopiques de la même espèce ont des propriétés physiques tout à fait équivalentes. Par exemple, chaque électron de l'univers a exactement la même charge électrique ; c'est pourquoi il est possible de parler d'une chose telle que « la charge de l'électron ».

Même si les particules ont des propriétés physiques équivalentes, il reste une seconde méthode pour distinguer les particules, qui consiste à suivre la trajectoire de chaque particule. Tant que la position de chaque particule peut être mesurée avec une précision infinie (même lorsque les particules entrent en collision), il n'y aurait aucune ambiguïté sur quelle particule est laquelle.

Le problème avec la seconde approche est qu'elle contredit les principes de la mécanique quantique . Selon la théorie quantique, les particules ne possèdent pas de positions définies pendant les périodes entre les mesures. Au lieu de cela, ils sont régis par des fonctions d' onde qui donnent la probabilité de trouver une particule à chaque position. Au fil du temps, les fonctions d'onde ont tendance à s'étaler et à se chevaucher. Une fois que cela se produit, il devient impossible de déterminer, lors d'une mesure ultérieure, laquelle des positions des particules correspond à celles mesurées précédemment. Les particules sont alors dites indiscernables.

Description de la mécanique quantique

États symétriques et antisymétriques

Ce qui suit est un exemple pour rendre concrète la discussion ci-dessus, en utilisant le formalisme développé dans l'article sur la formulation mathématique de la mécanique quantique .

Soit n un ensemble complet de nombres quantiques (discrets) pour spécifier les états d'une seule particule (par exemple, pour la particule dans un problème de boîte , prenons n pour être le vecteur d'onde quantifié de la fonction d'onde.) Pour plus de simplicité, considérons un système composé de deux particules qui n'interagissent pas entre elles. Supposons qu'une particule soit dans l'état n ₁ et l'autre dans l'état n ₂ . Intuitivement, l'état quantique du système s'écrit sous la forme

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

où l'ordre d'écriture de l'état importe tel que le premier état écrit est pour la particule 1 et le deuxième état écrit est pour la particule 2 (donc, si , alors la particule 1 occupe l'état n ₂ tandis que la particule 2 occupe l'état n ₁ ). C'est simplement la manière canonique de construire une base pour un espace produit tensoriel du système combiné à partir des espaces individuels. Cette expression est valable pour les particules distinguables, cependant, elle n'est pas appropriée pour les particules indiscernables car et à la suite de l'échange des particules sont généralement des états différents. ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$${\displaystyle H\otimes H}$${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

• "la particule 1 occupe l' état n ₁ et la particule 2 occupe l' état n ₂ " ≠ "la particule 1 occupe l' état n ₂ et la particule 2 occupe l' état n ₁ ".

Deux états ne sont physiquement équivalents que s'ils diffèrent au plus par un facteur de phase complexe. Pour deux particules indiscernables, un état avant l'échange de particules doit être physiquement équivalent à l'état après l'échange, donc ces deux états diffèrent au plus par un facteur de phase complexe. Ce fait suggère qu'un état pour deux particules indiscernables (et n'interagissant pas) est donné en suivant deux possibilités :

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

Les états où il s'agit d'une somme sont appelés symétriques , tandis que les états impliquant la différence sont appelés antisymétriques . Plus complètement, les états symétriques ont la forme

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

tandis que les états antisymétriques ont la forme

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Notez que si n ₁ et n ₂ sont identiques, l'expression antisymétrique donne zéro, qui ne peut pas être un vecteur d'état car il ne peut pas être normalisé. En d'autres termes, plus d'une particule identique ne peut pas occuper un état antisymétrique (un état antisymétrique ne peut être occupé que par une particule). C'est ce qu'on appelle le principe d'exclusion de Pauli , et c'est la raison fondamentale derrière les propriétés chimiques des atomes et la stabilité de la matière .

Symétrie d'échange

L'importance des états symétriques et antisymétriques est finalement basée sur des preuves empiriques. Il semble être un fait naturel que des particules identiques n'occupent pas d'états de symétrie mixte, tels que

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Il y a en fait une exception à cette règle, qui sera discutée plus tard. D'autre part, on peut montrer que les états symétriques et antisymétriques sont en un sens particuliers, en examinant une symétrie particulière des états à particules multiples connue sous le nom de symétrie d'échange .

Définissez un opérateur linéaire P , appelé opérateur d'échange. Lorsqu'il agit sur un produit tensoriel de deux vecteurs d'état, il échange les valeurs des vecteurs d'état :

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P est à la fois hermitien et unitaire . Parce qu'il est unitaire, il peut être considéré comme un opérateur de symétrie . Cette symétrie peut être décrite comme la symétrie sous l'échange d'étiquettes attachées aux particules (c'est-à-dire aux espaces de Hilbert à particule unique).

Clairement, (l'opérateur identité), donc les valeurs propres de P sont +1 et -1. Les vecteurs propres correspondants sont les états symétrique et antisymétrique : ${\style d'affichage P^{2}=1}$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

En d'autres termes, les états symétriques et antisymétriques sont essentiellement inchangés sous l'échange d'étiquettes de particules : ils ne sont multipliés que par un facteur de +1 ou -1, plutôt que d'être « tournés » ailleurs dans l'espace de Hilbert. Cela indique que les marqueurs de particules n'ont aucune signification physique, en accord avec la discussion précédente sur l'indiscernabilité.

Rappelons que P est hermitien. En conséquence, il peut être considéré comme un observable du système, ce qui signifie qu'en principe, une mesure peut être effectuée pour savoir si un état est symétrique ou antisymétrique. De plus, l'équivalence des particules indique que l' hamiltonien peut être écrit sous une forme symétrique, telle que

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_ {2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Il est possible de montrer que de tels hamiltoniens satisfont la relation de commutation

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

Selon l' équation de Heisenberg , cela signifie que la valeur de P est une constante de mouvement. Si l'état quantique est initialement symétrique (antisymétrique), il restera symétrique (antisymétrique) au fur et à mesure de l'évolution du système. Mathématiquement, cela dit que le vecteur d'état est confiné à l'un des deux espaces propres de P , et n'est pas autorisé à s'étendre sur tout l'espace de Hilbert. Ainsi, cet espace propre pourrait aussi bien être traité comme l'espace de Hilbert réel du système. C'est l'idée derrière la définition de l'espace Fock .

Fermions et bosons

Le choix de la symétrie ou de l'antisymétrie est déterminé par l'espèce de la particule. Par exemple, des états symétriques doivent toujours être utilisés pour décrire des photons ou des atomes d' hélium-4 , et des états antisymétriques pour décrire des électrons ou des protons .

Les particules qui présentent des états symétriques sont appelées bosons . La nature des états symétriques a des conséquences importantes pour les propriétés statistiques des systèmes composés de nombreux bosons identiques. Ces propriétés statistiques sont décrites comme des statistiques de Bose-Einstein .

Les particules qui présentent des états antisymétriques sont appelées fermions . L'antisymétrie donne naissance au principe d'exclusion de Pauli , qui interdit aux fermions identiques de partager le même état quantique. Les systèmes de nombreux fermions identiques sont décrits par la statistique de Fermi-Dirac .

Des parastatistiques sont également possibles.

Dans certains systèmes bidimensionnels, une symétrie mixte peut se produire. Ces particules exotiques sont appelées anyons et obéissent à des statistiques fractionnaires . Des preuves expérimentales de l'existence d'anyons existent dans l' effet Hall quantique fractionnaire , un phénomène observé dans les gaz d'électrons bidimensionnels qui forment la couche d'inversion des MOSFET . Il existe un autre type de statistiques, appelées statistiques de tresses , qui sont associées à des particules appelées plectons .

Le théorème de la statistique de spin relie la symétrie d'échange de particules identiques à leur spin . Il indique que les bosons ont un spin entier et que les fermions ont un spin demi-entier. Les Anyons possèdent un spin fractionnaire.

N particules

La discussion ci-dessus se généralise facilement au cas de N particules. Supposons qu'il existe N particules avec des nombres quantiques n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Si les particules sont des bosons, elles occupent un état totalement symétrique , qui est symétrique sous l'échange de deux étiquettes particulaires quelconques :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

Ici, la somme est prise sur tous les différents états sous des permutations p agissant sur N éléments. La racine carrée laissée à la somme est une constante de normalisation . La quantité m _n représente le nombre de fois où chacun des états à une particule n apparaît dans la N état - particules. Notez que _n m _n = N .

Dans le même ordre d'idées, les fermions occupent des états totalement antisymétriques :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} ( p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

Ici, sgn( p ) est le signe de chaque permutation (c'est -à- dire si est composé d'un nombre pair de transpositions, et si impair). Notez qu'il n'y a pas de terme, car chaque état de particule unique ne peut apparaître qu'une seule fois dans un état fermionique. Sinon, la somme serait à nouveau nulle en raison de l'antisymétrie, représentant ainsi un état physiquement impossible. C'est le principe d'exclusion de Pauli pour de nombreuses particules. ${\style d'affichage +1}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage -1}$${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$

Ces états ont été normalisés de sorte que

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1 }n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

La mesure

Supposons qu'il existe un système de N bosons (fermions) à l'état symétrique (antisymétrique)

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

et une mesure est effectuée sur un autre ensemble d'observables discrets, m . En général, cela donne un résultat m ₁ pour une particule, m ₂ pour une autre particule, et ainsi de suite. Si les particules sont des bosons (fermions), l'état après la mesure doit rester symétrique (antisymétrique), c'est-à-dire

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

La probabilité d'obtenir un résultat particulier pour la mesure m est

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left \langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

On peut montrer que

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_ {1},\ldots ,m_{N})=1}$

qui vérifie que la probabilité totale est 1. La somme doit être restreinte aux valeurs ordonnées de m ₁ , ..., m _N pour s'assurer que chaque état multiparticulaire n'est pas compté plus d'une fois.

Représentation de la fonction d'onde

Jusqu'à présent, la discussion n'a inclus que des observables discrets. Elle peut être étendue à des observables continus, comme la position  x .

Rappelons qu'un état propre d'un observable continu représente une gamme infinitésimale de valeurs de l'observable, pas une seule valeur comme avec les observables discrets. Par exemple, si une particule est dans un état | ψ ⟩, la probabilité de le trouver dans une région de volume d ³ x entourant une certaine position x est

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

En conséquence, les états propres continus | x ⟩ sont normalisés à la fonction delta au lieu de l'unité :

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

Des états multiparticulaires symétriques et antisymétriques peuvent être construits à partir d'états propres continus de la même manière que précédemment. Cependant, il est d'usage d'utiliser une constante de normalisation différente :

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!} }\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\ rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{N!}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\ left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

Une fonction d'onde à plusieurs corps peut être écrite,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{ N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&= {\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{ p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N }}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_ {1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N}) \end{aligné}}}$

où les fonctions d'onde à particule unique sont définies, comme d'habitude, par

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

La propriété la plus importante de ces fonctions d'onde est que l'échange de deux des variables de coordonnées ne modifie la fonction d'onde que par un signe plus ou moins. C'est la manifestation de la symétrie et de l'antisymétrie dans la représentation de la fonction d'onde :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _ {n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_ {N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}( \cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

La fonction d'onde à _N corps a la signification suivante : si le système est initialement dans un état avec des nombres quantiques n ₁ , ..., n _N , et qu'une mesure de position est effectuée, la probabilité de trouver des particules dans des volumes infinitésimaux près de x ₁ , x ₂ , ..., x _N est

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

Le facteur de N ! provient de notre constante de normalisation, qui a été choisie de telle sorte que, par analogie avec les fonctions d'onde à particule unique,

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d ^{3}\!x_{N}=1}$

Étant donné que chaque intégrale s'étend sur toutes les valeurs possibles de x , chaque état multiparticule apparaît N ! fois dans l'intégrale. En d'autres termes, la probabilité associée à chaque événement est uniformément répartie sur N ! points équivalents dans l'espace intégral. Parce qu'il est généralement plus pratique de travailler avec des intégrales non restreintes que des intégrales restreintes, la constante de normalisation a été choisie pour refléter cela.

Enfin, la fonction d'onde antisymétrique peut être écrite comme le déterminant d'une matrice , connu sous le nom de déterminant de Slater :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N !}}}\gauche|{\begin{matrice}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots & \psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{ n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrice}}\right|}$

L'approche opérateur et les parastatistiques

L'espace de Hilbert pour les particules est donné par le produit tensoriel . Le groupe de permutation agit sur cet espace en permutant les entrées. Par définition, les valeurs attendues pour un observable de particules indiscernables devraient être invariantes sous ces permutations. Cela signifie que pour tous et${\style d'affichage n}$${\displaystyle \otimes _{n}H}$${\style d'affichage S_{n}}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \psi \in H}$${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

ou de manière équivalente pour chaque ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

Deux états sont équivalents chaque fois que leurs valeurs attendues coïncident pour toutes les observables. Si nous nous limitons aux observables de particules identiques, et donc aux observables satisfaisant l'équation ci-dessus, nous trouvons que les états suivants (après normalisation) sont équivalents ${\style d'affichage n}$

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

Les classes d'équivalence sont en relation bijective avec des sous- espaces irréductibles de under . ${\displaystyle \otimes _{n}H}$${\style d'affichage S_{n}}$

Deux sous-espaces irréductibles évidents sont le sous-espace unidimensionnel symétrique/bosonique et le sous-espace anti-symétrique/fermionique. Il existe cependant plusieurs types de sous-espaces irréductibles. Les états associés à ces autres sous-espaces irréductibles sont appelés états parastatistiques . De jeunes tableaux permettent de classer tous ces sous-espaces irréductibles.

Propriétés statistiques

Effets statistiques de l'indiscernabilité

L'indiscernabilité des particules a un effet profond sur leurs propriétés statistiques. Pour illustrer cela, considérons un système de N particules distinguables et n'interagissant pas. Encore une fois, soit n _j l'état (c'est-à-dire les nombres quantiques) de la particule j . Si les particules ont les mêmes propriétés physiques, les n _j s'étendent sur la même plage de valeurs. Soit ε ( n ) l' énergie d' une particule dans l' état n . Comme les particules n'interagissent pas, l'énergie totale du système est la somme des énergies des particules individuelles. La fonction de partition du système est

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon ( n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

où k est la constante de Boltzmann et T la température . Cette expression peut être factorisée pour obtenir

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

où

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

Si les particules sont identiques, cette équation est incorrecte. Considérons un état du système, décrit par les états de particules simples [ n ₁ , ..., n _N ]. Dans l'équation pour Z , chaque permutation possible des n se produit une fois dans la somme, même si chacune de ces permutations décrit le même état multiparticulaire. Ainsi, le nombre d'États a été surévalué.

Si l'on néglige la possibilité de chevauchement d'états, ce qui est valable si la température est élevée, alors le nombre de fois que chaque état est compté est d'environ N !. La fonction de partition correcte est

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

Notez que cette approximation "à haute température" ne fait pas de distinction entre les fermions et les bosons.

L'écart dans les fonctions de partition des particules distinguables et indiscernables était connu dès le 19ème siècle, avant l'avènement de la mécanique quantique. Cela conduit à une difficulté connue sous le nom de paradoxe de Gibbs . Gibbs a montré que dans l'équation Z = ξ ^N , l' entropie d'un gaz parfait classique est

${\displaystyle S=Nk\ln \gauche(V\droit)+Nf(T)}$

où V est le volume du gaz et f est une fonction de T seul. Le problème avec ce résultat est que S n'est pas extensif - si N et V sont doublés, S ne double pas en conséquence. Un tel système n'obéit pas aux postulats de la thermodynamique .

Gibbs a également montré qu'en utilisant Z = ξ ^N / N ! modifie le résultat en

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

qui est parfaitement étendu. Cependant, la raison de cette correction de la fonction de partition est restée obscure jusqu'à la découverte de la mécanique quantique

Propriétés statistiques des bosons et des fermions

Il existe des différences importantes entre le comportement statistique des bosons et des fermions, qui sont décrits respectivement par les statistiques de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac . En gros, les bosons ont tendance à se regrouper dans le même état quantique, ce qui sous-tend des phénomènes tels que le laser , la condensation de Bose-Einstein et la superfluidité . Les fermions, en revanche, n'ont pas le droit de partager des états quantiques, donnant naissance à des systèmes tels que le gaz de Fermi . Ceci est connu sous le nom de principe d'exclusion de Pauli et est responsable d'une grande partie de la chimie, car les électrons d'un atome (fermions) remplissent successivement les nombreux états à l'intérieur des coquilles plutôt que tous se trouvant dans le même état d'énergie le plus bas.

Les différences entre le comportement statistique des fermions, des bosons et des particules distinguables peuvent être illustrées à l'aide d'un système de deux particules. Les particules sont désignées A et B. Chaque particule peut exister dans deux états possibles, étiquetés et , qui ont la même énergie. ${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$

Le système composite peut évoluer dans le temps, en interaction avec un environnement bruyant. Parce que les états et sont énergétiquement équivalents, aucun état n'est favorisé, donc ce processus a pour effet de randomiser les états. (Ceci est discuté dans l'article sur l'intrication quantique .) Après un certain temps, le système composite aura une probabilité égale d'occuper chacun des états disponibles. Les états des particules sont ensuite mesurés. ${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$

Si A et B sont des particules distinctes, alors le système composite a quatre états distincts : , , , et . La probabilité d'obtenir deux particules dans l' état est de 0,25 ; la probabilité d'obtenir deux particules dans l' état est de 0,25 ; et la probabilité d'obtenir une particule dans l' état et l'autre dans l' état est de 0,5. ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$

Si A et B sont des bosons identiques, alors le système composite n'a que trois états distincts : , , et . Lorsque l'expérience est réalisée, la probabilité d'obtenir deux particules dans l' état est maintenant de 0,33 ; la probabilité d'obtenir deux particules dans l' état est de 0,33 ; et la probabilité d'obtenir une particule dans l' état et l'autre dans l' état est de 0,33. Notez que la probabilité de trouver des particules dans le même état est relativement plus grande que dans le cas distinguable. Cela démontre la tendance des bosons à « s'agglomérer ». ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$

Si A et B sont des fermions identiques, il n'y a qu'un seul état disponible pour le système composite : l'état totalement antisymétrique . Lorsque l'expérience est effectuée, une particule est toujours dans l' état et l'autre est dans l' état. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$${\style d'affichage |0\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$

Les résultats sont résumés dans le tableau 1 :

Tableau 1 : Statistiques de deux particules

Particules	Les deux 0	Les deux 1	Un 0 et un 1
Distinguable	0,25	0,25	0,5
bosons	0,33	0,33	0,33
Fermions	0	0	1

Comme on peut le voir, même un système de deux particules présente des comportements statistiques différents entre les particules, les bosons et les fermions distinguables. Dans les articles sur les statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein , ces principes sont étendus à un grand nombre de particules, avec des résultats qualitativement similaires.

La classe d'homotopie

Pour comprendre pourquoi les statistiques de particules fonctionnent comme elles le font, notez d'abord que les particules sont des excitations ponctuelles et que les particules qui sont séparées comme dans l'espace n'interagissent pas. Dans un espace plat de dimension d M , à un instant donné, la configuration de deux particules identiques peut être spécifiée comme un élément de M × M . S'il n'y a pas de chevauchement entre les particules, de sorte qu'elles n'interagissent pas directement, alors leurs emplacements doivent appartenir à l'espace [ M × M ]/{points coïncidents}, le sous-espace avec les points coïncidents supprimés. L'élément ( x ,  y ) décrit la configuration avec la particule I en x et la particule II en y , tandis que ( y ,  x ) décrit la configuration échangée. Avec des particules identiques, l'état décrit par ( x ,  y ) devrait être indiscernable de l'état décrit par ( y ,  x ) . Considérons maintenant la classe d'homotopie des chemins continus de ( x ,  y ) à ( y ,  x ) , dans l'espace [ M × M ]/{points coïncidents} . Si M est R ^d où d 3 , alors cette classe d'homotopie n'a qu'un seul élément. Si M est R ² , alors cette classe d'homotopie a un nombre dénombrable d'éléments (c'est-à-dire un échange antihoraire d'un demi-tour, un échange antihoraire d'un tour et demi, deux tours et demi, etc., un échange horaire d'un demi-tour , etc.). En particulier, un échange d'un demi-tour dans le sens antihoraire n'est pas homotope à un échange d'un demi-tour dans le sens horaire. Enfin, si M est R , alors cette classe d'homotopie est vide.

Supposons d'abord que d 3 . L' espace couvrant universel de [ M × M ]/{points coïncidents}, qui n'est autre que [ M × M ]/{points coïncidents} lui-même, n'a que deux points qui sont physiquement indiscernables de ( x ,  y ) , à savoir ( x ,  y ) lui - même et ( y ,  x ) . Ainsi, le seul échange autorisé est d'échanger les deux particules. Cet échange est une involution , son seul effet est donc de multiplier la phase par une racine carrée de 1. Si la racine est +1, alors les points ont des statistiques de Bose, et si la racine est -1, les points ont des statistiques de Fermi.

Dans le cas M = R ² , l'espace de recouvrement universel de [ M × M ]/{points coïncidents} a une infinité de points qui sont physiquement indiscernables de ( x ,  y ) . Ceci est décrit par le groupe cyclique infini généré en effectuant un échange d'un demi-tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Contrairement au cas précédent, effectuer cet échange deux fois de suite ne récupère pas l'état d'origine ; donc un tel échange peut donner lieu génériquement à une multiplication par exp( iθ ) pour tout réel θ (par unitarité , la valeur absolue de la multiplication doit être 1). C'est ce qu'on appelle les statistiques anyoniques . En fait, même avec deux particules distinguables , même si ( x ,  y ) est maintenant physiquement distinguable de ( y ,  x ) , l'espace couvrant universel contient encore une infinité de points qui sont physiquement indiscernables du point d'origine, maintenant généré par un sens antihoraire rotation d'un tour complet. Ce générateur aboutit alors à une multiplication par exp( iφ ). Ce facteur de phase est appelé ici les statistiques mutuelles .

Enfin, dans le cas M = R , l'espace [ M × M ]/{points coïncidents} n'est pas connecté, donc même si la particule I et la particule II sont identiques, elles peuvent toujours être distinguées via des étiquettes telles que « la particule sur le à gauche" et "la particule à droite". Il n'y a pas de symétrie d'échange ici.

Voir également

• Théorie des quasi-ensembles
• Hypothèse de DeBroglie

Notes de bas de page

Les références

• Tuckerman, Mark (2010), Mécanique statistique , ISBN 978-0198525264

Liens externes

• Échange de particules identiques et peut-être indiscernables par John S. Denker
• Identité et individualité dans la théorie quantique ( Stanford Encyclopedia of Philosophy )
• États à plusieurs électrons dans E. Pavarini, E. Koch et U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6