Cardinal inaccessible - Inaccessible cardinal

En théorie des ensembles , un cardinal indénombrable est inaccessible s'il ne peut pas être obtenu à partir de cardinaux plus petits par les opérations habituelles de l' arithmétique cardinale . Plus précisément, un cardinal est fortement inaccessible s'il est indénombrable, ce n'est pas une somme de moins de cardinaux qui sont inférieurs à , et implique . ${\style d'affichage \kappa }$${\style d'affichage \kappa }$${\style d'affichage \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle 2^{\alpha }<\kappa }$

Le terme « cardinal inaccessible » est ambigu. Jusqu'en 1950 environ, cela signifiait « cardinal faiblement inaccessible », mais depuis lors, il signifie généralement « cardinal fortement inaccessible ». Un cardinal indénombrable est faiblement inaccessible s'il s'agit d'un cardinal limite faible régulier . Il est fortement inaccessible, ou juste inaccessible, s'il s'agit d'un cardinal limite fort régulier (ceci est équivalent à la définition donnée ci-dessus). Certains auteurs n'exigent pas que les cardinaux faiblement et fortement inaccessibles soient innombrables (auquel cas est fortement inaccessible). Les cardinaux faiblement inaccessibles ont été introduits par Hausdorff (1908) , et ceux fortement inaccessibles par Sierpiński & Tarski (1930) et Zermelo (1930) . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Tout cardinal fortement inaccessible est également faiblement inaccessible, car chaque cardinal limite fort est aussi un cardinal limite faible. Si l' hypothèse du continu généralisé est vérifiée , alors un cardinal est fortement inaccessible si et seulement s'il est faiblement inaccessible.

${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-null ) est un cardinal limite fort régulier. En supposant l' axiome du choix , tout autre nombre cardinal infini est régulier ou une limite (faible). Cependant, seul un nombre cardinal assez grand peut être à la fois et donc faiblement inaccessible.

Un ordinal est un cardinal faiblement inaccessible si et seulement si c'est un ordinal régulier et c'est une limite d'ordinaux réguliers. (Zéro, un et sont des ordinaux réguliers, mais pas des limites d'ordinaux réguliers.) Un cardinal qui est faiblement inaccessible et aussi un cardinal limite fort est fortement inaccessible. ${\displaystyle \omega }$

L'hypothèse de l'existence d'un cardinal fortement inaccessible est parfois appliquée sous la forme de l'hypothèse que l'on peut travailler à l'intérieur d'un univers de Grothendieck , les deux idées étant intimement liées.

Modèles et cohérence

La théorie des ensembles Zermelo-Fraenkel avec le choix (ZFC) implique que le V _κ est un modèle de ZFC chaque fois que κ est fortement inaccessible. Et ZF implique que l' univers Gödel L _κ est un modèle de ZFC chaque fois que κ est faiblement inaccessible. Ainsi, ZF avec « il existe un cardinal faiblement inaccessible » implique que ZFC est cohérent. Par conséquent, les cardinaux inaccessibles sont un type de grand cardinal .

Si V est un modèle standard de ZFC et κ est un modèle inaccessible dans V , alors : V _κ est l'un des modèles visés de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel ; et Def( V _κ ) est l'un des modèles prévus de la version de Mendelson de la théorie des ensembles de Von Neumann-Bernays-Gödel qui exclut le choix global, remplaçant la limitation de taille par le remplacement et le choix ordinaire ; et V _{k + 1} est l' un des modèles prévus de la théorie des ensembles Morse-Kelley . Ici Def ( X ) est le Δ ₀ sous-ensembles définissables de X (voir univers constructible ). Cependant, κ n'a pas besoin d'être inaccessible, ou même un nombre cardinal, pour que V _k être un modèle standard de la ZF (voir ci - dessous ).

Supposons que V est un modèle de ZFC. Soit V ne contient pas inaccessible ou forte, en prenant κ être la plus petite inaccessible forte en V, V _κ est un modèle standard de ZFC qui ne contient pas Inaccessibles forte. Ainsi, la cohérence de ZFC implique la cohérence de ZFC + "il n'y a pas d'inaccessibles forts". De même, soit V ne contient pas de faiblesse ou inaccessible, en prenant κ être le plus petit ordinal qui est faiblement inaccessible par rapport à un sous-modèle standard de V, alors L _κ est un modèle standard de ZFC qui ne contient pas Inaccessibles faibles. Ainsi, la cohérence de ZFC implique la cohérence de ZFC + "il n'y a pas d'inaccessibles faibles". Cela montre que ZFC ne peut pas prouver l'existence d'un cardinal inaccessible, donc ZFC est cohérent avec la non-existence de tout cardinal inaccessible.

La question de savoir si ZFC est compatible avec l'existence d'un cardinal inaccessible est plus subtile. La preuve esquissée dans le paragraphe précédent que la cohérence de ZFC implique la cohérence de ZFC + « il n'y a pas de cardinal inaccessible » peut être formalisée en ZFC. Cependant, en supposant que ZFC soit cohérent, aucune preuve que la cohérence de ZFC implique la cohérence de ZFC + "il y a un cardinal inaccessible" ne peut être formalisée dans ZFC. Cela découle du deuxième théorème d'incomplétude de Gödel , qui montre que si ZFC + "il y a un cardinal inaccessible" est cohérent, alors il ne peut pas prouver sa propre cohérence. Parce que ZFC + "il y a un cardinal inaccessible" prouve la cohérence de ZFC, si ZFC prouvait que sa propre cohérence implique la cohérence de ZFC + "il y a un cardinal inaccessible" alors cette dernière théorie serait en mesure de prouver sa propre cohérence, ce qui est impossible si elle est cohérente.

Il existe des arguments en faveur de l'existence de cardinaux inaccessibles qui ne peuvent pas être formalisés dans ZFC. Un tel argument, présenté par Hrbáček & Jech (1999 , p. 279), est que la classe de tous les ordinaux d'un modèle particulier M de théorie des ensembles serait elle-même un cardinal inaccessible s'il existait un modèle plus large de théorie des ensembles étendant M et en préservant le jeu de puissance des éléments de M .

Existence d'une classe propre d'inaccessibles

Il existe de nombreux axiomes importants en théorie des ensembles qui affirment l'existence d'une classe appropriée de cardinaux qui satisfont à un prédicat d'intérêt. Dans le cas de l'inaccessibilité, l'axiome correspondant est l'assertion que pour tout cardinal μ , il existe un cardinal inaccessible κ qui est strictement plus grand, μ < κ . Ainsi, cet axiome garantit l'existence d'une tour infinie de cardinaux inaccessibles (et peut parfois être appelé l'axiome cardinal inaccessible). Comme c'est le cas pour l'existence de tout cardinal inaccessible, l'axiome cardinal inaccessible est impossible à prouver à partir des axiomes de ZFC. En supposant ZFC, l'axiome cardinal inaccessible est équivalent à l' axiome d'univers de Grothendieck et Verdier : chaque ensemble est contenu dans un univers de Grothendieck . Les axiomes de ZFC ainsi que l'axiome de l'univers (ou de manière équivalente l'axiome cardinal inaccessible) sont notés ZFCU (qui pourrait être confondu avec ZFC avec urelements ). Ce système axiomatique est utile pour prouver par exemple que chaque catégorie a un plongement Yoneda approprié .

C'est un grand axiome cardinal relativement faible puisqu'il revient à dire que ∞ est 1-inaccessible dans le langage de la section suivante, où ∞ désigne le moins ordinal non dans V, c'est-à-dire la classe de tous les ordinaux de votre modèle.

α -cardinaux inaccessibles et cardinaux hyper-inaccessibles

Le terme « α -cardinal inaccessible » est ambigu et différents auteurs utilisent des définitions inéquitables. Une définition est qu'un cardinal κ est dit α -inaccessible , pour α tout ordinal, si κ est inaccessible et pour tout ordinal β < α , l'ensemble des β -inaccessibles inférieurs à κ est non borné dans κ (et donc de cardinal κ , puisque κ est régulier). Dans ce cas, les cardinaux 0-inaccessibles sont les mêmes que les cardinaux fortement inaccessibles. Une autre définition possible est qu'un cardinal κ est dit α -faiblement inaccessible si κ est régulier et pour tout ordinal β < α , l'ensemble des β -faiblement inaccessibles inférieurs à κ est non borné dans κ. Dans ce cas, les cardinaux 0-faiblement inaccessibles sont les cardinaux réguliers et les cardinaux 1-faiblement inaccessibles sont les cardinaux faiblement inaccessibles.

Les cardinaux α -inaccessibles peuvent aussi être décrits comme des points fixes de fonctions qui comptent les inaccessibles inférieurs. Par exemple, notons ψ ₀ ( λ ) le λ ^ième cardinal inaccessible, alors les points fixes de ψ ₀ sont les cardinaux 1-inaccessibles. Soit alors ψ _β ( λ ) le λ ^ème β cardinal inaccessible, les points fixes de ψ _β sont les cardinaux ( β +1)-inaccessibles (les valeurs ψ _{β +1} ( λ )). Si α est un ordinal limite, un α -inaccessible est un point fixe de tout ψ _β pour β < α (la valeur ψ _α ( λ ) est le λ ^{ième de} ce cardinal). Ce processus consistant à prendre des points fixes de fonctions générant des cardinaux de plus en plus grands est couramment rencontré dans l'étude des grands nombres cardinaux .

Le terme hyper-inaccessible est ambigu et a au moins trois sens incompatibles. De nombreux auteurs l'utilisent pour signifier une limite régulière de cardinaux fortement inaccessibles (1-inaccessible). D' autres auteurs utilisent pour signifier que κ est κ -inaccessible. (Il ne peut jamais être κ +1-inaccessible.) Il est parfois utilisé pour signifier le cardinal Mahlo .

Le terme α -Hyper inaccessible est également ambigu. Certains auteurs l'utilisent pour signifier α -inaccessible. D' autres auteurs utilisent la définition que pour tout ordinal α , un cardinal κ est - α -Hyper inaccessible si et seulement si κ est hyper-inaccessible et pour chaque ordinal β < α , l'ensemble des bêta -Hyper-Inaccessibles moins de κ est sans bornes en κ .

Les cardinaux hyper-hyper-inaccessibles et ainsi de suite peuvent être définis de manière similaire, et comme d'habitude ce terme est ambigu.

Utilisation de "faiblement inaccessible" au lieu de "inaccessible", des définitions similaires peuvent être faites pour "faiblement α -inaccessible", "faiblement hyper-inaccessible", et "faiblement α -Hyper inaccessible".

Les cardinaux Mahlo sont inaccessibles, hyper-inaccessibles, hyper-hyper-inaccessibles, ... et ainsi de suite.

Deux caractérisations modèles-théoriques de l'inaccessibilité

Premièrement, un cardinal κ est inaccessible si et seulement si κ possède la propriété de réflexion suivante : pour tout sous-ensemble U V _κ , il existe α < κ tel que soit une sous - structure élémentaire de . (En fait, l'ensemble de tels α est fermé sans borne dans κ .) De manière équivalente, κ est - indescriptible pour tout n 0. ${\style d'affichage (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$${\style d'affichage (V_{\kappa },\in ,U)}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$

Il est prouvable dans ZF que ∞ satisfait une propriété de réflexion un peu plus faible, où la sous-structure (V _α , ∈, U V _α ) doit seulement être « élémentaire » par rapport à un ensemble fini de formules. En fin de compte, la raison de cet affaiblissement est que si la relation de satisfaction modèle-théorique peut être définie, la vérité elle-même ne le peut pas, en raison du théorème de Tarski . ${\displaystyle \models }$

Deuxièmement, sous ZFC on peut montrer que κ est inaccessible si et seulement si (V _κ , ∈) est un modèle de ZFC du second ordre .

Dans ce cas, par la propriété de réflexion ci - dessus, il existe α < κ tel que (V _α , ∈) est un modèle standard de ( premier ordre ) ZFC. Par conséquent, l'existence d'un cardinal inaccessible est une hypothèse plus forte que l'existence d'un modèle standard de ZFC.

Voir également

• Cardinal Mahlo
• Ensemble de club
• Modèle intérieur
• L'univers Von Neumann
• Univers constructible

Ouvrages cités