Théorème de l'indice Atiyah-Singer - Atiyah–Singer index theorem

Théorème de l'indice Atiyah-Singer
Champ Géométrie différentielle
Première preuve par Michael Atiyah et Isadore Chanteur
Première preuve en 1963
Conséquences Théorème de Chern-Gauss-Bonnet Théorème de
Grothendieck-Riemann-Roch Théorème de
signature de Hirzebruch Théorème de
Rokhlin

En géométrie différentielle , le théorème de l'indice Atiyah-Singer , prouvé par Michael Atiyah et Isadore Singer (1963), stipule que pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété compacte , l' indice analytique (lié à la dimension de l'espace des solutions) est égal à l' indice topologique (défini en fonction de certaines données topologiques). Il comprend de nombreux autres théorèmes, tels que le théorème de Chern-Gauss-Bonnet et le théorème de Riemann-Roch , en tant que cas particuliers, et a des applications en physique théorique .

Histoire

Le problème d'indice pour les opérateurs différentiels elliptiques a été posé par Israel Gel'fand . Il remarqua l'invariance d'homotopie de l'indice et en demanda une formule au moyen d' invariants topologiques . Certains des exemples motivants comprenaient le théorème de Riemann-Roch et sa généralisation le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch et le théorème de signature de Hirzebruch . Friedrich Hirzebruch et Armand Borel avaient prouvé l'intégralité du genre  d'une variété de spin, et Atiyah a suggéré que cette intégralité pourrait s'expliquer s'il s'agissait de l'indice de l' opérateur de Dirac (qui a été redécouvert par Atiyah et Singer en 1961).

Le théorème d'Atiyah-Singer a été annoncé en 1963. La preuve esquissée dans cette annonce n'a jamais été publiée par eux, bien qu'elle figure dans le livre du Palais. Elle apparaît également dans le "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" qui s'est tenu à Paris en même temps que le séminaire dirigé par Richard Palais à l'Université de Princeton . La dernière conférence à Paris était par Atiyah sur les variétés avec frontière. Leur première preuve publiée a remplacé la théorie du cobordisme de la première preuve par la K-théorie , et ils l'ont utilisé pour donner des preuves de diverses généralisations dans une autre séquence d'articles.

  • 1965 : Sergey P. Novikov publie ses résultats sur l'invariance topologique des classes de Pontryagin rationnelles sur les variétés lisses.
  • Les résultats de Robion Kirby et Laurent C. Siebenmann , combinés à l'article de René Thom , ont prouvé l'existence de classes de Pontryagin rationnelles sur les variétés topologiques. Les classes de Pontryagin rationnelles sont des ingrédients essentiels du théorème de l'indice sur les variétés lisses et topologiques.
  • 1969 : Michael Atiyah définit des opérateurs elliptiques abstraits sur des espaces métriques arbitraires. Les opérateurs elliptiques abstraits sont devenus les protagonistes de la théorie de Kasparov et de la géométrie différentielle non commutative de Connes.
  • 1971 : Isadore Singer propose un programme complet pour les futures extensions de la théorie des indices.
  • 1972 : Gennadi G. Kasparov publie ses travaux sur la réalisation de la K-homologie par des opérateurs elliptiques abstraits.
  • 1973 : Atiyah, Raoul Bott et Vijay Patodi ont donné une nouvelle preuve du théorème de l'indice en utilisant l' équation de la chaleur , décrite dans un article de Melrose.
  • 1977 : Dennis Sullivan établit son théorème sur l'existence et l'unicité de Lipschitz et des structures quasi-conformes sur des variétés topologiques de dimension différente de 4.
  • 1983 : Ezra Getzler, motivé par les idées d'Edward Witten et de Luis Alvarez-Gaume , a donné une courte démonstration du théorème de l'indice local pour les opérateurs qui sont localement des opérateurs de Dirac ; cela couvre de nombreux cas utiles.
  • 1983 : Nicolae Teleman prouve que les indices analytiques des opérateurs de signature avec des valeurs dans des fibrés vectoriels sont des invariants topologiques.
  • 1984 : Teleman établit le théorème de l'indice sur les variétés topologiques.
  • 1986 : Alain Connes publie son article fondamental sur la géométrie non commutative .
  • 1989 : Simon K. Donaldson et Sullivan étudient la théorie de Yang-Mills sur les variétés quasi-conformes de dimension 4. Ils introduisent l'opérateur de signature S défini sur les formes différentielles de degré deux.
  • 1990 : Connes et Henri Moscovici prouvent la formule de l'indice local dans le contexte de la géométrie non commutative.
  • 1994 : Connes, Sullivan et Teleman prouvent le théorème d'indice pour les opérateurs de signature sur les variétés quasi-conformes.

Notation

  • X est un compact lisse collecteur (sans limite).
  • E et F sont des fibrés vectoriels lisses sur X .
  • D est un opérateur différentiel elliptique de E dans F . Ainsi, en coordonnées locales, il agit comme un opérateur différentiel, en prenant des sections lisses de E à des sections lisses de F .

Symbole d'un opérateur différentiel

Si D est un opérateur différentiel sur un espace euclidien d'ordre n en k variables , alors son symbole est la fonction de 2 k variables , donnée en supprimant tous les termes d'ordre inférieur à n et en remplaçant par . Le symbole est donc homogène dans les variables y , de degré n . Le symbole est bien défini même s'il ne commute pas avec car nous ne gardons que les termes d'ordre le plus élevé et les opérateurs différentiels commutent "jusqu'aux termes d'ordre inférieur". L'opérateur est dit elliptique si le symbole est non nul chaque fois qu'au moins un y est non nul.

Exemple : L'opérateur de Laplace dans k variables a le symbole , et est donc elliptique car il n'est pas nul chaque fois que l'un des 's est non nul. L'opérateur wave a le symbole , qui n'est pas elliptique si , car le symbole disparaît pour certaines valeurs non nulles de y s.

Le symbole d'un opérateur différentiel d'ordre n sur une variété lisse X est défini à peu près de la même manière en utilisant des cartes de coordonnées locales, et est une fonction sur le fibré cotangent de X , homogène de degré n sur chaque espace cotangent. (En général, les opérateurs différentiels se transforment de manière assez compliquée sous des transformations de coordonnées (voir jet bundle ); cependant, les termes d'ordre le plus élevé se transforment comme des tenseurs donc nous obtenons des fonctions homogènes bien définies sur les espaces cotangents qui sont indépendantes du choix des cartes locales .) Plus généralement, le symbole d'un opérateur différentiel entre deux fibrés vectoriels E et F est une section du pullback du fibré Hom( E , F ) vers l'espace cotangent de X . L'opérateur différentiel est dit elliptique si l'élément de Hom( E x , F x ) est inversible pour tous les vecteurs cotangents non nuls en tout point x de X .

Une propriété clé des opérateurs elliptiques est qu'ils sont presque inversibles ; ceci est étroitement lié au fait que leurs symboles sont presque inversibles. Plus précisément, un opérateur elliptique D sur une variété compacte a une paramètre (ou pseudoinverse ) (non unique ) D telle que DD′ −1 et D′D −1 sont tous deux des opérateurs compacts. Une conséquence importante est que le noyau de D est de dimension finie, car tous les espaces propres des opérateurs compacts, autres que le noyau, sont de dimension finie. (Le pseudoinverse d'un opérateur différentiel elliptique n'est presque jamais un opérateur différentiel. Cependant, c'est un opérateur pseudodifférentiel elliptique .)

Indice analytique

Comme l'opérateur différentiel elliptique D a un pseudoinverse, c'est un opérateur de Fredholm . Tout opérateur de Fredholm a un indice , défini comme la différence entre la dimension (finie) du noyau de D (solutions de Df = 0), et la dimension (finie) du conoyau de D (les contraintes sur le côté d'une équation inhomogène comme Df = g , ou de manière équivalente le noyau de l'opérateur adjoint). En d'autres termes,

Indice( D ) = dim Ker(D) − dim Coker( D ) = dim Ker(D) − dim Ker( D* ).

C'est ce qu'on appelle parfois l' indice analytique de D .

Exemple : supposons que la variété est le cercle (considéré comme R / Z ), et D est l'opérateur d/dx − λ pour une constante complexe λ. (C'est l'exemple le plus simple d'un opérateur elliptique.) Alors le noyau est l'espace des multiples de exp(λ x ) si λ est un multiple entier de 2π i et vaut 0 sinon, et le noyau de l'adjoint est un espace similaire avec λ remplacé par son complexe conjugué. Donc D a l'indice 0. Cet exemple montre que le noyau et le conyx des opérateurs elliptiques peuvent sauter de manière discontinue lorsque l'opérateur elliptique varie, il n'y a donc pas de formule intéressante pour leurs dimensions en termes de données topologiques continues. Cependant les sauts dans les dimensions du noyau et du conoyau sont les mêmes, donc l'indice, donné par la différence de leurs dimensions, varie en effet continûment, et peut être donné en termes de données topologiques par le théorème de l'indice.

Indice topologique

L' indice topologique d'un opérateur différentiel elliptique entre des fibrés vectoriels lisses et sur une variété compacte de dimension est donné par

en d'autres termes la valeur de la composante dimensionnelle supérieure de la classe de cohomologie mixte sur la classe d'homologie fondamentale de la variété . Ici,

  • est la classe de Todd du fibré tangent complexifié de .
  • est égal à , où
    • est l' isomorphisme de Thom pour le fibré de sphères
    • est le personnage de Chern
    • est l'"élément de différence" associé à deux fibrés vectoriels et sur et un isomorphisme entre eux sur le sous-espace .
    • est le symbole de

On peut également définir l'indice topologique en utilisant uniquement la K-théorie (et cette définition alternative est compatible dans un certain sens avec la construction du caractère de Chern ci-dessus). Si X est une sous-variété compacte d'une variété Y alors il y a une application poussée (ou « criarde ») de K( TX ) à K( TY ). L'indice topologique d'un élément de K( TX ) est défini comme l'image de cette opération avec Y un espace euclidien, pour lequel K( TY ) peut être naturellement identifié avec les entiers Z (en conséquence de la périodicité de Bott). Cette carte est indépendante du plongement de X dans l'espace euclidien. Or un opérateur différentiel comme ci-dessus définit naturellement un élément de K( TX ), et l'image en Z sous cette carte "est" l'indice topologique.

Comme d'habitude, D est un opérateur différentiel elliptique entre les fibrés vectoriels E et F sur une variété compacte X .

Le problème d'indice est le suivant : calculer l'indice (analytique) de D en utilisant uniquement le symbole s et les données topologiques dérivées de la variété et du fibré vectoriel. Le théorème de l'indice Atiyah-Singer résout ce problème et déclare :

L'indice analytique de D est égal à son indice topologique.

Malgré sa définition redoutable, l'indice topologique est généralement simple à évaluer explicitement. Cela permet donc d'évaluer l'indice analytique. (Le conoyau et le noyau d'un opérateur elliptique sont en général extrêmement difficiles à évaluer individuellement ; le théorème de l'indice montre que nous pouvons généralement au moins évaluer leur différence .) De nombreux invariants importants d'une variété (comme la signature) peuvent être donnés comme le indice d'opérateurs différentiels appropriés, donc le théorème de l'indice nous permet d'évaluer ces invariants en termes de données topologiques.

Bien que l'indice analytique soit généralement difficile à évaluer directement, il s'agit au moins évidemment d'un nombre entier. L'indice topologique est par définition un nombre rationnel, mais il n'est généralement pas du tout évident d'après la définition qu'il est également intégral. Ainsi, le théorème de l'indice Atiyah-Singer implique des propriétés d'intégralité profondes, car il implique que l'indice topologique est intégral.

L'indice d'un opérateur différentiel elliptique s'annule évidemment si l'opérateur est auto-adjoint. Il disparaît également si la variété X a une dimension impaire, bien qu'il existe des opérateurs elliptiques pseudodifférentiels dont l'indice ne s'annule pas dans les dimensions impaires.

Relation avec Grothendieck–Riemann–Roch

Le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch était l'une des principales motivations derrière le théorème de l'indice parce que le théorème de l'indice est la contrepartie de ce théorème dans le cadre des variétés réelles. Maintenant, s'il y a une carte de variétés compactes stables presque complexes, alors il y a un diagramme commutatif

Index-theoreme-relative-to-Grothendieck-Riemann-Roch.png

si est un point, alors nous récupérons l'énoncé ci-dessus. Voici le groupe de Grothendieck des fibrés vectoriels complexes. Ce diagramme commutatif est formellement très similaire au théorème GRR car les groupes de cohomologie à droite sont remplacés par l' anneau de Chow d'une variété lisse, et le groupe de Grothendieck à gauche est donné par le groupe de Grothendieck de fibrés vectoriels algébriques.

Extensions du théorème de l'indice Atiyah-Singer

Théorème de l'indice de Teleman

En raison de ( Teleman 1983 ), ( Teleman 1984 ):

Pour tout opérateur elliptique abstrait ( Atiyah 1970 ) sur une variété topologique fermée, orientée, l'indice analytique est égal à l'indice topologique.

La preuve de ce résultat passe par des considérations spécifiques, dont l'extension de la théorie de Hodge sur les variétés combinatoires et lipschitz ( Teleman 1980 ), ( Teleman 1983 ), l'extension de l'opérateur de signature d'Atiyah-Singer aux variétés Lipschitz ( Teleman 1983 ), le K- de Kasparov homologie ( Kasparov 1972 ) et cobordisme topologique ( Kirby & Siebenmann 1977 ).

Ce résultat montre que le théorème de l'indice n'est pas simplement un énoncé de différentiabilité, mais plutôt un énoncé topologique.

Théorème de l'indice de Connes-Donaldson-Sullivan-Teleman

En raison de ( Donaldson & Sullivan 1989 ), ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ):

Pour toute variété quasi-conforme, il existe une construction locale des classes caractéristiques de Hirzebruch-Thom.

Cette théorie est basée sur un opérateur de signature S , défini sur des formes différentielles de degré moyen sur des variétés quasi-conformes de dimension paire (comparer ( Donaldson & Sullivan 1989 )).

En utilisant le cobordisme topologique et la K-homologie, on peut fournir un énoncé complet d'un théorème d'indice sur les variétés quasi-conformes (voir page 678 de ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 )). Le travail ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) "fournit des constructions locales pour des classes caractéristiques basées sur des relations de dimension supérieure de la cartographie de Riemann mesurable en dimension deux et de la théorie de Yang-Mills en dimension quatre."

Ces résultats constituent des avancées significatives dans le sens du programme de Singer Perspectives en mathématiques ( Singer 1971 ). En même temps, ils fournissent, aussi, une construction efficace des classes de Pontrjagin rationnelles sur les variétés topologiques. L'article ( Teleman 1985 ) établit un lien entre la construction originale de Thom des classes rationnelles de Pontrjagin ( Thom 1956 ) et la théorie des indices.

Il est important de mentionner que la formule d'indice est une déclaration topologique. Les théories de l'obstruction dues à Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson montrent que seule une minorité de variétés topologiques possèdent des structures différentiables et celles-ci ne sont pas nécessairement uniques. Le résultat de Sullivan sur Lipschitz et les structures quasi-conformes ( Sullivan 1979 ) montre que toute variété topologique de dimension différente de 4 possède une telle structure qui est unique (à isotopie près proche de l'identité).

Les structures quasi-conformes ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) et plus généralement les L p -structures, p > n(n+1)/2 , introduites par M. Hilsum ( Hilsum 1999 ), sont les structures analytiques les plus faibles sur les variétés topologiques de dimension n pour laquelle le théorème de l'indice est vérifié.

Autres extensions

  • Le théorème d'Atiyah-Singer s'applique aux opérateurs pseudodifférentiels elliptiques de la même manière que pour les opérateurs différentiels elliptiques. En fait, pour des raisons techniques, la plupart des premières preuves fonctionnaient avec des opérateurs pseudodifférentiels plutôt que différentiels : leur flexibilité supplémentaire facilitait certaines étapes des preuves.
  • Au lieu de travailler avec un opérateur elliptique entre deux fibrés vectoriels, il est parfois plus pratique de travailler avec un complexe elliptique
de faisceaux de vecteurs. La différence est que les symboles forment maintenant une séquence exacte (hors de la section zéro). Dans le cas où il n'y a que deux fibrés non nuls dans le complexe, cela implique que le symbole est un isomorphisme de la section zéro, donc un complexe elliptique avec 2 termes est essentiellement le même qu'un opérateur elliptique entre deux fibrés vectoriels. Inversement, le théorème de l'indice pour un complexe elliptique se réduit facilement au cas d'un opérateur elliptique : les deux fibrés vectoriels sont donnés par les sommes des termes pairs ou impairs du complexe, et l'opérateur elliptique est la somme des opérateurs de le complexe elliptique et ses adjoints, restreints à la somme des fibrés pairs.
  • Si la variété est autorisée à avoir une frontière, alors certaines restrictions doivent être mises sur le domaine de l'opérateur elliptique afin d'assurer un indice fini. Ces conditions peuvent être locales (comme exiger que les sections du domaine disparaissent à la frontière) ou des conditions globales plus compliquées (comme exiger que les sections du domaine résolvent une équation différentielle). Le cas local a été élaboré par Atiyah et Bott, mais ils ont montré que de nombreux opérateurs intéressants (par exemple, l' opérateur de signature ) n'admettent pas de conditions aux limites locales. Pour gérer ces opérateurs, Atiyah , Patodi et Singer ont introduit des conditions aux limites globales équivalentes à l'attachement d'un cylindre à la variété le long de la frontière, puis à la restriction du domaine aux sections carrées intégrables le long du cylindre. Ce point de vue est adopté dans la preuve de Melrose (1993) du théorème de l'indice Atiyah-Patodi-Singer .
  • Au lieu d'un seul opérateur elliptique, on peut considérer une famille d'opérateurs elliptiques paramétrés par un espace Y . Dans ce cas, l'indice est un élément de la K-théorie de Y , plutôt qu'un entier. Si les opérateurs de la famille sont réels, alors l'indice se situe dans la K-théorie réelle de Y . Cela donne un peu d'informations supplémentaires, car l'application de la théorie K réelle de Y à la théorie K complexe n'est pas toujours injective.
  • S'il existe une action de groupe d'un groupe G sur la variété compacte X , commutant avec l'opérateur elliptique, alors on remplace la K-théorie ordinaire par la K-théorie équivariante . De plus, on obtient des généralisations du théorème de point fixe de Lefschetz , avec des termes provenant de sous-variétés de point fixe du groupe G . Voir aussi : théorème de l'indice équivariant .
  • Atiyah (1976) a montré comment étendre le théorème de l'indice à certaines variétés non compactes, sur lesquelles agit un groupe discret à quotient compact. Le noyau de l'opérateur elliptique est en général de dimension infinie dans ce cas, mais il est possible d'obtenir un indice fini en utilisant la dimension d'un module sur une algèbre de von Neumann ; cet indice est en général réel plutôt qu'entier. Cette version s'appelle le théorème de l'indice L 2 , et a été utilisée par Atiyah & Schmid (1977) pour recalculer les propriétés des représentations en série discrète des groupes de Lie semi - simples .
  • Le théorème d'indice de Callias est un théorème d'indice pour un opérateur de Dirac sur un espace de dimension impaire non compact. L'indice Atiyah-Singer n'est défini que sur des espaces compacts, et disparaît lorsque leur dimension est impaire. En 1978 Constantine Callias , à la suggestion de son doctorat. Le conseiller Roman Jackiw , a utilisé l' anomalie axiale pour dériver ce théorème d'indice sur des espaces équipés d'une matrice hermitienne appelée champ de Higgs . L'indice de l'opérateur de Dirac est un invariant topologique qui mesure l'enroulement du champ de Higgs sur une sphère à l'infini. Si U est la matrice unitaire dans la direction du champ de Higgs, alors l'indice est proportionnel à l'intégrale de U ( dU ) n −1 sur la ( n −1)-sphère à l'infini. Si n est pair, il est toujours nul.

Exemples

Caractéristique d'Euler

Supposons que M soit une variété orientée compacte. Si nous prenons E comme la somme des puissances extérieures paires du fibré cotangent, et F comme la somme des puissances impaires, définissons D = d + d* , considéré comme une application de E vers F . Alors l'indice topologique de D est la caractéristique d'Euler de la cohomologie de Hodge de M , et l'indice analytique est la classe d'Euler de la variété. La formule d'indice de cet opérateur donne le théorème de Chern-Gauss-Bonnet .

Théorème de Hirzebruch–Riemann–Roch

Prenons X une variété complexe avec un fibré vectoriel holomorphe V . Soit les fibrés vectoriels E et F les sommes des fibrés de formes différentielles à coefficients dans V de type (0, i ) avec i pair ou impair, et on laisse l'opérateur différentiel D la somme

limité à E . Alors l'indice analytique de D est la caractéristique holomorphe d'Euler de V :

L'indice topologique de D est donné par

,

le produit du caractère Chern de V et de la classe Todd de X évalué sur la classe fondamentale de X . En égalant les indices topologiques et analytiques, nous obtenons le théorème de Hirzebruch–Riemann–Roch . En fait, nous en obtenons une généralisation à toutes les variétés complexes : la preuve de Hirzebruch n'a fonctionné que pour les variétés complexes projectives X .

Cette dérivation du théorème de Hirzebruch–Riemann–Roch est plus naturelle si nous utilisons le théorème de l'indice pour les complexes elliptiques plutôt que les opérateurs elliptiques. Nous pouvons considérer le complexe comme

avec le différentiel donné par . Alors le i' ème groupe de cohomologie est juste le groupe de cohomologie cohérent H i ( X , V ), donc l'indice analytique de ce complexe est la caractéristique d'Euler holomorphe Σ (−1) i dim(H i ( X , V )). Comme précédemment, l'indice topologique est ch( V )Td( X )[ X ].

Théorème de la signature de Hirzebruch

Le théorème de signature de Hirzebruch énonce que la signature d'une variété orientée compacte X de dimension 4 k est donnée par le genre L de la variété. Cela découle du théorème d'index d'Atiyah-Singer appliqué à l' opérateur de signature suivant .

Les fibrés E et F sont donnés par les espaces propres +1 et −1 de l'opérateur sur le fibré des formes différentielles de X , qui agit sur les k -formes comme

fois l' opérateur de Hodge* . L'opérateur D est le Hodge Laplacien

restreint à E , où d est la dérivée extérieure de Cartan et d * est son adjoint.

L'indice analytique de D est la signature de la variété X , et son indice topologique est le genre L de X , donc ceux-ci sont égaux.

 genre et théorème de Rochlin

Le genre  est un nombre rationnel défini pour toute variété, mais n'est en général pas un entier. Borel et Hirzebruch ont montré qu'il est intégral pour les variétés de spin, et entier pair si en plus la dimension est 4 mod 8. Ceci peut être déduit du théorème de l'indice, ce qui implique que le genre  pour les variétés de spin est l'indice d'un Dirac opérateur. Le facteur supplémentaire de 2 dans les dimensions 4 mod 8 vient du fait que dans ce cas le noyau et le conoyau de l'opérateur de Dirac ont une structure quaternionique, donc en tant qu'espaces vectoriels complexes ils ont des dimensions paires, donc l'indice est pair.

En dimension 4, ce résultat implique le théorème de Rochlin selon lequel la signature d'une variété de spin à 4 dimensions est divisible par 16 : cela s'ensuit parce qu'en dimension 4 le genre  est moins un huitième de la signature.

Techniques de preuve

Opérateurs pseudo-différentiels

Les opérateurs pseudo-différentiels peuvent être expliqués facilement dans le cas des opérateurs à coefficients constants sur l'espace euclidien. Dans ce cas, les opérateurs différentiels à coefficient constant ne sont que les transformées de Fourier de multiplication par des polynômes, et les opérateurs pseudodifférentiels à coefficient constant ne sont que les transformées de Fourier de multiplication par des fonctions plus générales.

De nombreuses preuves du théorème de l'indice utilisent des opérateurs pseudodifférentiels plutôt que des opérateurs différentiels. La raison en est qu'à de nombreuses fins, il n'y a pas assez d'opérateurs différentiels. Par exemple, un pseudoinverse d'un opérateur différentiel elliptique d'ordre positif n'est pas un opérateur différentiel, mais est un opérateur pseudodifférentiel. De plus, il existe une correspondance directe entre les données représentant des éléments de K(B( X ), S ( X )) (fonctions d'embrayage) et les symboles d'opérateurs pseudodifférentiels elliptiques.

Les opérateurs pseudodifférentiels ont un ordre, qui peut être n'importe quel nombre réel ou même −∞, et ont des symboles (qui ne sont plus des polynômes sur l'espace cotangent), et les opérateurs différentiels elliptiques sont ceux dont les symboles sont inversibles pour des vecteurs cotangents suffisamment grands. La plupart des versions du théorème de l'indice peuvent être étendues des opérateurs différentiels elliptiques aux opérateurs pseudodifférentiels elliptiques.

Cobordisme

La preuve initiale était basée sur celle du théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch (1954), et impliquait la théorie du cobordisme et les opérateurs pseudodifférentiels .

L'idée de cette première preuve est grosso modo la suivante. Considérons l'anneau généré par des paires ( X , V ) où V est un fibré vectoriel lisse sur la variété compacte orientée lisse X , avec des relations selon lesquelles la somme et le produit de l'anneau sur ces générateurs sont donnés par union disjointe et produit de variétés (avec les opérations évidentes sur les fibrés vectoriels), et toute frontière d'une variété avec fibré vectoriel est 0. Ceci est similaire à l'anneau de cobordisme des variétés orientées, sauf que les variétés ont aussi un fibré vectoriel. Les indices topologiques et analytiques sont tous deux réinterprétés comme des fonctions de cet anneau aux entiers. On vérifie alors que ces deux fonctions sont bien toutes les deux des homomorphismes d'anneaux. Pour prouver qu'elles sont identiques, il suffit alors de vérifier qu'elles sont identiques sur un ensemble de générateurs de cet anneau. La théorie du cobordisme de Thom donne un ensemble de générateurs ; par exemple, des espaces vectoriels complexes avec le fibré trivial avec certains fibrés sur des sphères de dimension paire. Le théorème de l'indice peut donc être prouvé en le vérifiant sur ces cas particulièrement simples.

K-théorie

La première preuve publiée d'Atiyah et Singer utilisait la théorie K plutôt que le cobordisme. Si i est une quelconque inclusion de variétés compactes de X à Y , ils ont défini une opération 'pushforward' i ! sur les opérateurs elliptiques de X aux opérateurs elliptiques de Y qui préserve l'indice. En prenant Y comme une sphère dans laquelle X s'encastre, cela réduit le théorème d'indice au cas des sphères. Si Y est une sphère et X est un point inclus dans Y , alors tout opérateur elliptique sur Y est l'image sous i ! d'un opérateur elliptique sur le point. Cela réduit le théorème de l'indice au cas d'un point, où il est trivial.

Équation de la chaleur

Atiyah, Bott et Patodi  ( 1973 ) ont donné une nouvelle preuve du théorème de l'indice en utilisant l' équation de la chaleur , voir par exemple Berline, Getzler & Vergne (1992) . La preuve est également publiée dans ( Melrose 1993 ) et ( Gilkey 1994 ).

Si D est un opérateur différentiel avec D* adjoint , alors D*D et DD* sont des opérateurs auto-adjoints dont les valeurs propres non nulles ont les mêmes multiplicités. Cependant leurs espaces propres nuls peuvent avoir des multiplicités différentes, car ces multiplicités sont les dimensions des noyaux de D et D* . Par conséquent, l'indice de D est donné par

pour tout t positif . Le membre de droite est donné par la trace de la différence des noyaux de deux opérateurs thermiques. Ceux-ci ont un développement asymptotique pour un petit t positif , qui peut être utilisé pour évaluer la limite lorsque t tend vers 0, donnant une preuve du théorème d'indice d'Atiyah-Singer. Les développements asymptotiques pour t petit semblent très compliqués, mais la théorie des invariants montre qu'il y a d'énormes annulations entre les termes, ce qui permet de trouver explicitement les termes principaux. Ces annulations ont été expliquées plus tard en utilisant la supersymétrie.

Citations

Les références

Les papiers d'Atiyah sont réimprimés dans les volumes 3 et 4 de ses œuvres rassemblées, (Atiyah  1988a , 1988b )

Liens externes

Liens sur la théorie

Liens d'interviews