Divisibilité infinie - Infinite divisibility

La divisibilité infinie apparaît de différentes manières en philosophie , en physique , en économie , en théorie de l'ordre (une branche des mathématiques) et en théorie des probabilités (également une branche des mathématiques). On peut parler de divisibilité infinie, ou de son absence, de la matière , de l' espace , du temps , de l' argent ou d'objets mathématiques abstraits comme le continu .

En philosophie

L'origine de l'idée dans la tradition occidentale remonte au 5ème siècle avant notre ère en commençant par le philosophe grec ancien pré-socratique Démocrite et son professeur Leucippe , qui a théorisé la divisibilité de la matière au-delà de ce qui peut être perçu par les sens jusqu'à finalement aboutir à un indivisible. atome. Le philosophe indien Kanada a également proposé une théorie atomistique, mais il existe une ambiguïté autour de la période de vie de ce philosophe, allant du 6ème siècle au 2ème siècle avant notre ère. Atomisme est explorée dans Platon du Timée et a également été soutenu par Aristote . Andrew Pyle rend compte avec lucidité de la divisibilité infinie dans les premières pages de son Atomisme et ses critiques . Là, il montre comment la divisibilité infinie implique l'idée qu'il existe un élément étendu , comme une pomme, qui peut être divisé à l'infini plusieurs fois, où l'on ne se divise jamais en un point ou en atomes de quelque sorte que ce soit. De nombreux philosophes professionnels affirment que la divisibilité infinie implique soit une collection d' un nombre infini d'éléments (puisqu'il y a des divisions infinies, il doit y avoir une collection infinie d'objets), ou (plus rarement), des éléments de taille ponctuelle , ou les deux. Pyle déclare que les mathématiques des extensions infiniment divisibles n'impliquent aucune de celles-ci - qu'il existe des divisions infinies, mais seulement des collections finies d'objets et qu'elles ne sont jamais divisées en éléments sans extension.

Zeno s'est demandé comment une flèche peut se déplacer si à un moment elle est ici et immobile et à un moment plus tard elle est ailleurs et immobile.

Le raisonnement de Zénon est cependant fallacieux, lorsqu'il dit que si tout, lorsqu'il occupe un espace égal, est au repos, et si ce qui est en locomotion occupe toujours un tel espace à tout moment, la flèche volante est donc immobile. C'est faux, car le temps n'est pas plus composé d'instants indivisibles qu'aucune autre grandeur n'est composée d'indivisibles.

—  Aristote, Physique VI:9, 239b5

En référence au paradoxe de Zeno de la flèche en vol, Alfred North Whitehead écrit qu'« un nombre infini d'actes de devenir peut avoir lieu dans un temps fini si chaque acte suivant est plus petit dans une série convergente » :

L'argument, dans la mesure où il est valable, suscite une contradiction des deux prémisses : (i) que dans un devenir quelque chose ( res vera ) devient, et (ii) que chaque acte de devenir est divisible en sections antérieures et postérieures qui sont eux-mêmes actes de devenir. Considérons, par exemple, un acte de devenir pendant une seconde. L'acte est divisible en deux actes, l'un au cours de la première moitié du second, l'autre au cours de la seconde moitié du second. Ainsi ce qui devient pendant toute la seconde présuppose ce qui devient pendant la première demi-seconde. Par analogie, ce qui devient pendant la première demi-seconde présuppose ce qui devient pendant le premier quart de seconde, et ainsi de suite indéfiniment. Ainsi, si nous considérons le processus de devenir jusqu'au début de la seconde en question, et demandons ce qui devient alors, aucune réponse ne peut être donnée. Car, quelle que soit la créature que nous indiquons, présuppose une créature antérieure qui est devenue après le début de la seconde et antérieurement à la créature indiquée. Il n'y a donc rien qui devienne, de manière à effectuer une transition dans la seconde en question.

—  AN Whitehead, processus et réalité

En physique quantique

Jusqu'à la découverte de la mécanique quantique , aucune distinction n'était faite entre la question de savoir si la matière est divisible à l'infini et la question de savoir si la matière peut être découpée en parties plus petites à l' infini .

En conséquence, le mot grec átomos ( ἄτομος ), qui signifie littéralement « incoupable », est généralement traduit par « indivisible ». Alors que l'atome moderne est bien divisible, il est en réalité indécoupable : il n'y a pas de partition de l'espace telle que ses parties correspondent aux parties matérielles de l'atome. En d'autres termes, la description quantique de la matière n'est plus conforme au paradigme de l'emporte-pièce. Cela jette une lumière nouvelle sur l' énigme ancienne de la divisibilité de la matière. La multiplicité d'un objet matériel — le nombre de ses parties — dépend de l'existence, non de surfaces délimitantes, mais de relations spatiales internes (positions relatives entre parties), et celles-ci manquent de valeurs déterminées. Selon le modèle standard de la physique des particules, les particules qui composent un atome, les quarks et les électrons, sont des particules ponctuelles : elles ne prennent pas de place. Ce qui fait qu'un atome occupe néanmoins de l'espace, ce n'est pas une "truc" spatialement étendue qui "occupe l'espace", et qui pourrait être découpée en morceaux de plus en plus petits, mais l' indétermination de ses relations spatiales internes.

L'espace physique est souvent considéré comme infiniment divisible : on pense que toute région de l'espace, aussi petite soit-elle, pourrait être davantage divisée. Le temps est également considéré comme infiniment divisible.

Cependant, les travaux pionniers de Max Planck (1858-1947) dans le domaine de la physique quantique suggèrent qu'il existe, en fait, une distance minimale mesurable (maintenant appelée longueur de Planck , 1,616229(38)×10 −35 mètres) et donc un intervalle de temps minimum (le temps que prend la lumière pour parcourir cette distance dans le vide, 5,39116 (13) × 10 −44 secondes, connu sous le nom de temps de Planck ) plus petit que celui auquel une mesure significative est impossible.

En économie

Un dollar , ou un euro , est divisé en 100 centimes ; on ne peut payer que par tranches d'un cent. Il est assez courant que les prix de certains produits comme l'essence soient par incréments d'un dixième de cent par gallon ou par litre. Si l'essence coûte 3,979 $ le gallon et que l'on achète 10 gallons, alors le « extra » de 9/10 de cent équivaut à dix fois cela : un « extra » de 9 cents, donc le cent dans ce cas est payé. L'argent est divisible à l'infini dans le sens où il est basé sur le système des nombres réels. Cependant, les pièces modernes ne sont pas divisibles (dans le passé, certaines pièces étaient pesées à chaque transaction et étaient considérées comme divisibles sans limite particulière à l'esprit). Il y a un point de précision dans chaque transaction qui est inutile car de si petites sommes d'argent sont insignifiantes pour les humains. Plus le prix est multiplié, plus la précision peut avoir de l'importance. Par exemple, lors de l'achat d'un million d'actions, l'acheteur et le vendeur peuvent être intéressés par une différence de prix d'un dixième de cent, mais ce n'est qu'un choix. Tout le reste dans la mesure et le choix des entreprises est également divisible dans la mesure où les parties sont intéressées. Par exemple, les rapports financiers peuvent être publiés annuellement, trimestriellement ou mensuellement. Certains chefs d'entreprise exécutent des rapports de trésorerie plus d'une fois par jour.

Bien que le temps puisse être divisible à l'infini, les données sur les prix des titres sont déclarées à des moments discrets. Par exemple, si l'on regarde les records des cours des actions dans les années 1920, on peut trouver les prix à la fin de chaque journée, mais peut-être pas à trois centièmes de seconde après 12h47. Une nouvelle méthode, cependant, pourrait théoriquement rapporter deux fois plus vite, ce qui n'empêcherait pas de nouvelles augmentations de la vitesse de notification. Peut-être paradoxalement, les mathématiques techniques appliquées aux marchés financiers sont souvent plus simples si le temps infiniment divisible est utilisé comme approximation. Même dans ces cas, une précision est choisie avec laquelle travailler, et les mesures sont arrondies à cette approximation. En termes d'interaction humaine, l'argent et le temps sont divisibles, mais seulement au point où une division supplémentaire n'a pas de valeur, ce point ne peut pas être déterminé exactement.

Dans la théorie de l'ordre

Dire que le corps des nombres rationnels est divisible à l'infini (c'est-à-dire d'ordre théoriquement dense ) signifie qu'entre deux nombres rationnels il y a un autre nombre rationnel. En revanche, l' anneau des nombres entiers n'est pas divisible à l'infini.

La divisibilité infinie n'implique pas l'absence d'espace : les rationnels ne bénéficient pas de la moindre propriété de borne supérieure . Cela signifie que si l'on partitionner les rationals en deux ensembles non vides A et BA contient tous rationals moins un certain nombre irrationnel ( de π , par exemple) et B tous rationals supérieur, puis A n'a pas grand membre et B n'a pas de plus petit membre. Le champ des nombres réels , en revanche, est à la fois infiniment divisible et sans lacunes. Tout ensemble linéairement ordonné qui est infiniment divisible et sans lacunes, et a plus d'un membre, est indéfiniment infini . Pour une preuve, voir la première preuve d'uncountability de Cantor . La divisibilité infinie seule implique l'infini mais pas l'indénombrable, comme l'illustrent les nombres rationnels.

Dans les distributions de probabilité

Dire qu'une distribution de probabilité F sur la droite réelle est divisible à l'infini signifie que si X est une variable aléatoire dont la distribution est F , alors pour chaque entier positif n il existe n variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées X 1 , ..., X n dont la somme est égale en distribution à X (ces n autres variables aléatoires n'ont généralement pas la même distribution de probabilité que X ).

La distribution de Poisson , la bégayer distribution de Poisson, la distribution binomiale négative , et la distribution Gamma sont des exemples de distributions infiniment divisibles - que sont la distribution normale , distribution de Cauchy et tous les autres membres de la distribution stable famille. La distribution normale asymétrique est un exemple de distribution non infiniment divisible. (Voir Domínguez-Molina et Rocha Arteaga (2007).)

Chaque distribution de probabilité infiniment divisible correspond de façon naturelle à un processus de Lévy , c'est-à-dire un processus stochastique { X t  : t 0 } avec des incréments stationnaires indépendants ( stationnaire signifie que pour s < t , la distribution de probabilité de X tX s ne dépend que de ts ; incréments indépendants signifie que cette différence est indépendante de la différence correspondante sur tout intervalle ne chevauchant pas [ s , t ], et de même pour tout nombre fini d'intervalles).

Ce concept de divisibilité infinie des distributions de probabilité a été introduit en 1929 par Bruno de Finetti .

Voir également

Les références

  1. ^ Éducation, Pearson (2016). Le tremplin scientifique 9e . ISBN 9789332585164.
  2. ^ Aristote. "Physique" . Les archives des classiques de l'Internet .
  3. ^ un b Ross, SD (1983). Perspective dans la métaphysique de Whitehead . Série Suny en philosophie systématique. Presse de l'Université d'État de New York. p.  182 –183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN  82008332 .
  4. ^ Ulrich Mohrhoff (2000). "La mécanique quantique et le paradigme de l'emporte-pièce". arXiv : quant-ph/0009001v2 .
  • Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "Sur la divisibilité infinie de certaines distributions symétriques asymétriques". Statistiques et lettres de probabilité , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014

Liens externes