Modèle intérieur - Inner model

Dans la théorie des ensembles , une branche de la logique mathématique , un modèle interne pour une théorie T est une sous - structure d'un modèle M de la théorie des ensembles qui est à la fois un modèle de T et contient tous les ordinaux de M .

Définition

Soyons le langage de la théorie des ensembles. Soit S une théorie des ensembles particulière, par exemple les axiomes ZFC et soit T (peut-être le même que S ) une théorie dans . ${\ displaystyle L = \ langle \ in \ rangle}$${\ displaystyle L}$

Si M est un modèle pour S , et N est une -structure telle que ${\ displaystyle L}$

1. N est une sous-structure de M , c'est-à-dire que l' interprétation de dans N est ${\ displaystyle \ in _ {N}}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ in _ {M}} \ cap N ^ {2}}$
2. N est un modèle pour T
3. le domaine de N est une classe transitive de M
4. N contient tous les ordinaux de M

alors on dit que N est un modèle interne de T (en M ). Habituellement T sera égal à (ou subsumer) S , de sorte que N est un modèle pour S ' à l' intérieur du modèle M de S .

Si les conditions 1 et 2 seulement en attente, N est appelé un modèle standard de T (en M ), un sous - modèle - type de T (si S  =  T et) N est un ensemble de M . Un modèle N de T dans M est dit transitif lorsqu'il est standard et que la condition 3 est vérifiée. Si l' axiome de fondation n'est pas supposé (c'est-à-dire qu'il n'est pas dans S ), ces trois concepts reçoivent la condition supplémentaire que N soit fondé . Par conséquent, les modèles internes sont transitifs, les modèles transitifs sont standard et les modèles standard sont bien fondés.

L'hypothèse qu'il existe un sous-modèle standard de ZFC (dans un univers donné) est plus forte que l'hypothèse qu'il existe un modèle. En fait, s'il existe un sous-modèle standard, il existe un plus petit sous-modèle standard appelé modèle minimal contenu dans tous les sous-modèles standard. Le sous-modèle minimal ne contient pas de sous-modèle standard (car il est minimal) mais (en supposant la cohérence de ZFC) il contient un modèle de ZFC par le théorème de complétude de Gödel . Ce modèle n'est pas forcément bien fondé sinon son effondrement de Mostowski serait un sous-modèle standard. (Il n'est pas bien fondé en tant que relation dans l'univers, bien qu'il satisfasse l' axiome de la fondation, il est donc "intérieurement" bien fondé. Être bien fondé n'est pas une propriété absolue.) En particulier dans le sous-modèle minimal, il y a un modèle de ZFC mais il n’existe pas de sous-modèle standard de ZFC.

Utiliser

Habituellement, quand on parle de modèles internes d'une théorie, la théorie dont on discute est ZFC ou une extension de ZFC (comme ZFC +  un cardinal mesurable ). Lorsqu'aucune théorie n'est mentionnée, on suppose généralement que le modèle en discussion est un modèle interne de ZFC. Cependant, il n'est pas rare de parler également de modèles internes de sous- théories de ZFC (comme ZF ou KP ). ${\ displaystyle \ existe}$

Idées liées

Il a été prouvé par Kurt Gödel que tout modèle de ZF a un modèle interne de moins ZF (qui est également un modèle interne de ZFC +  GCH ), appelé univers constructible , ou  L .

Il existe une branche de la théorie des ensembles appelée théorie des modèles internes qui étudie les moyens de construire les modèles les moins internes des théories étendant ZF. La théorie des modèles internes a conduit à la découverte de la force de cohérence exacte de nombreuses propriétés théoriques d'ensemble importantes.

Voir également

• Modèles transitifs dénombrables et filtres génériques

Les références