Interprétation (logique) - Interpretation (logic)

Une interprétation est une attribution de sens aux symboles d'un langage formel . De nombreux langages formels utilisés en mathématiques , en logique et en informatique théorique sont définis en termes uniquement syntaxiques et, en tant que tels, n'ont aucun sens tant qu'ils ne sont pas interprétés. L'étude générale des interprétations des langages formels est appelée sémantique formelle .

Les logiques formelles les plus couramment étudiées sont la logique propositionnelle , la logique des prédicats et leurs analogues modaux , et pour celles-ci, il existe des manières standard de présenter une interprétation. Dans ces contextes, une interprétation est une fonction qui fournit l' extension de symboles et de chaînes de symboles d'un langage objet. Par exemple, une fonction d'interprétation pourrait prendre le prédicat T (pour "grand") et lui attribuer l'extension { a } (pour "Abraham Lincoln"). Notez que tout ce que notre interprétation fait est d'attribuer l'extension {a} à la constante non logique T , et ne prétend pas si T doit représenter grand et 'a' pour Abraham Lincoln. L'interprétation logique n'a rien à dire non plus sur les connecteurs logiques comme « et », « ou » et « pas ». Bien que nous puissions considérer ces symboles comme représentant certaines choses ou concepts, cela n'est pas déterminé par la fonction d'interprétation.

Une interprétation fournit souvent (mais pas toujours) un moyen de déterminer les valeurs de vérité des phrases dans une langue. Si une interprétation donnée attribue la valeur True à une phrase ou à une théorie , l'interprétation est appelée un modèle de cette phrase ou théorie.

Langages formels

Un langage formel consiste en un ensemble éventuellement infini de phrases (appelées de diverses manières mots ou formules ) construits à partir d'un ensemble fixe de lettres ou de symboles . L'inventaire d'où sont tirées ces lettres s'appelle l' alphabet sur lequel se définit la langue. Pour distinguer les chaînes de symboles qui sont dans un langage formel des chaînes arbitraires de symboles, les premières sont parfois appelées formules bien formées (wff). La caractéristique essentielle d'un langage formel est que sa syntaxe peut être définie sans référence à l'interprétation. Par exemple, nous pouvons déterminer que ( P ou Q ) est une formule bien formée même sans savoir si elle est vraie ou fausse.

Exemple

Un langage formel peut être défini avec l'alphabet , et avec un mot étant en s'il commence par et est composé uniquement des symboles et .

Une interprétation possible de pourrait attribuer le chiffre décimal '1' à et '0' à . Alors dénoterait 101 selon cette interprétation de .

Constantes logiques

Dans les cas particuliers de la logique propositionnelle et de la logique des prédicats, les langages formels considérés ont des alphabets qui se divisent en deux ensembles : les symboles logiques ( constantes logiques ) et les symboles non logiques. L'idée derrière cette terminologie est que les symboles logiques ont la même signification quel que soit le sujet étudié, tandis que les symboles non logiques changent de sens en fonction du domaine d'investigation.

Les constantes logiques reçoivent toujours la même signification par chaque interprétation du type standard, de sorte que seules les significations des symboles non logiques sont modifiées. Les constantes logiques comprennent les symboles de quantification ∀ ("tous") et ("certains"), les symboles des connecteurs logiques ("et"), ∨ ("ou"), ("pas"), les parenthèses et autres symboles de groupement, et (dans de nombreux traitements) le symbole d'égalité =.

Propriétés générales des interprétations fonctionnelles de vérité

La plupart des interprétations couramment étudiées associent chaque phrase d'un langage formel à une seule valeur de vérité, Vrai ou Faux. Ces interprétations sont appelées vérité fonctionnelles ; ils incluent les interprétations habituelles de la logique propositionnelle et du premier ordre. Les phrases qui sont rendues vraies par une affectation particulière sont dites satisfaites par cette affectation.

Dans la logique classique , aucune phrase ne peut être rendue à la fois vraie et fausse par la même interprétation, bien que ce ne soit pas le cas des logiques de surabondance telles que LP. Même dans la logique classique, cependant, il est possible que la valeur de vérité d'une même phrase puisse être différente selon différentes interprétations. Une phrase est cohérente si elle est vraie selon au moins une interprétation ; sinon c'est incohérent . Une phrase φ est dite logiquement valide si elle est satisfaite par chaque interprétation (si φ est satisfait par chaque interprétation qui satisfait ψ alors φ est dit être une conséquence logique de ψ).

Connecteurs logiques

Certains des symboles logiques d'un langage (autres que les quantificateurs) sont des connecteurs fonctionnels de vérité qui représentent des fonctions de vérité - des fonctions qui prennent des valeurs de vérité comme arguments et renvoient des valeurs de vérité comme sorties (en d'autres termes, ce sont des opérations sur les valeurs de vérité des phrases) .

Les connecteurs fonctionnels de vérité permettent de construire des phrases composées à partir de phrases plus simples. De cette manière, la valeur de vérité de la phrase composée est définie comme une certaine fonction de vérité des valeurs de vérité des phrases les plus simples. Les connecteurs sont généralement considérés comme des constantes logiques , ce qui signifie que la signification des connecteurs est toujours la même, indépendamment des interprétations données aux autres symboles d'une formule.

Voici comment nous définissons les connecteurs logiques en logique propositionnelle :

  • ¬Φ est Vrai si et seulement si Φ est Faux.
  • (Φ ∧ Ψ) est Vrai si et seulement si Φ est Vrai et Ψ est Vrai.
  • (Φ ∨ Ψ) est Vrai si et seulement si Φ est Vrai ou Ψ est Vrai (ou les deux sont Vrai).
  • (Φ → Ψ) est Vrai si et seulement si ¬Φ est Vrai ou Ψ est Vrai (ou les deux sont Vrai).
  • (Φ ↔ Ψ) est Vrai si et seulement si (Φ → Ψ) est Vrai et (Ψ → Φ) est Vrai.

Ainsi, sous une interprétation donnée de toutes les lettres de la phrase et (c'est-à-dire après avoir attribué une valeur de vérité à chaque lettre de la phrase), nous pouvons déterminer les valeurs de vérité de toutes les formules qui les ont comme constituants, en fonction de la logique connecteurs. Le tableau suivant montre à quoi ressemble ce genre de chose. Les deux premières colonnes montrent les valeurs de vérité des lettres de la phrase telles que déterminées par les quatre interprétations possibles. Les autres colonnes montrent les valeurs de vérité des formules construites à partir de ces lettres de phrase, avec des valeurs de vérité déterminées récursivement.

Connecteurs logiques
Interprétation Φ Ψ ¬Φ (Φ ∧ Ψ) (Φ ∨ Ψ) (Φ → Ψ) (Φ ↔ Ψ)
#1 T T F T T T T
#2 T F F F T F F
#3 F T T F T T F
#4 F F T F F T T

Il est maintenant plus facile de voir ce qui rend une formule logiquement valide. Prenons la formule F : (Φ ∨ ¬Φ). Si notre fonction d'interprétation rend Φ Vrai, alors ¬Φ est rendu Faux par le connecteur de négation. Puisque le disjonctif Φ de F est Vrai sous cette interprétation, F est Vrai. Maintenant, la seule autre interprétation possible de le rend faux, et si c'est le cas, ¬Φ est rendu vrai par la fonction de négation. Cela rendrait F Vrai à nouveau, puisque l'un des F s disjonctés, , serait vrai selon cette interprétation. Puisque ces deux interprétations pour F sont les seules interprétations logiques possibles, et puisque F sort vrai pour les deux, nous disons qu'il est logiquement valide ou tautologue.

Interprétation d'une théorie

Une interprétation d'une théorie est la relation entre une théorie et un sujet lorsqu'il existe une correspondance plusieurs-à-un entre certains énoncés élémentaires de la théorie et certains énoncés liés au sujet. Si chaque énoncé élémentaire de la théorie a un correspondant, cela s'appelle une interprétation complète , sinon cela s'appelle une interprétation partielle .

Interprétations pour la logique propositionnelle

Le langage formel de la logique propositionnelle se compose de formules construites à partir de symboles propositionnels (également appelés symboles propositionnels, variables propositionnelles, variables propositionnelles ) et de connecteurs logiques. Les seuls symboles non logiques dans un langage formel pour la logique propositionnelle sont les symboles propositionnels, qui sont souvent désignés par des lettres majuscules. Pour rendre le langage formel précis, un ensemble spécifique de symboles propositionnels doit être fixé.

Le type d'interprétation standard dans ce cadre est une fonction qui mappe chaque symbole propositionnel à l'une des valeurs de vérité vrai et faux. Cette fonction est connue sous le nom de fonction d' affectation de vérité ou d' évaluation . Dans de nombreuses présentations, c'est littéralement une valeur de vérité qui est attribuée, mais certaines présentations attribuent à la place des porteurs de vérité .

Pour un langage avec n variables propositionnelles distinctes, il y a 2 n interprétations distinctes possibles. Pour toute variable particulière a , par exemple, il y a 2 1 = 2 interprétations possibles : 1) a est affecté T , ou 2) a est affecté F . Pour la paire a , b il y a 2 2 =4 interprétations possibles : 1) les deux sont affectés T , 2) les deux sont affectés F , 3) a est affecté T et b est affecté F , ou 4) a est affecté F et b se voit attribuer T .

Étant donné toute affectation de vérité pour un ensemble de symboles propositionnels, il existe une extension unique à une interprétation pour toutes les formules propositionnelles construites à partir de ces variables. Cette interprétation étendue est définie de manière inductive, en utilisant les définitions de la table de vérité des connecteurs logiques discutés ci-dessus.

Logique du premier ordre

Contrairement à la logique propositionnelle, où chaque langage est le même à part le choix d'un ensemble différent de variables propositionnelles, il existe de nombreux langages de premier ordre différents. Chaque langage de premier ordre est défini par une signature . La signature est constituée d'un ensemble de symboles non logiques et d'une identification de chacun de ces symboles en tant que symbole constant, symbole de fonction ou symbole de prédicat . Dans le cas des symboles de fonction et de prédicat, une arité de nombre naturel est également attribuée. L'alphabet du langage formel se compose de constantes logiques, du symbole de relation d'égalité =, de tous les symboles de la signature et d'un ensemble infini supplémentaire de symboles appelés variables.

Par exemple, dans le langage des anneaux , il existe des symboles constants 0 et 1, deux symboles de fonction binaire + et ·, et aucun symbole de relation binaire. (Ici, la relation d'égalité est considérée comme une constante logique.)

Encore une fois, nous pourrions définir un langage de premier ordre L , comme composé de symboles individuels a, b et c ; symboles de prédicat F, G, H, I et J; variables x, y, z ; pas de lettres de fonction ; pas de symboles phrastiques.

Langages formels pour la logique du premier ordre

Étant donné une signature σ, le langage formel correspondant est connu comme l'ensemble des σ-formules. Chaque formule est construite à partir de formules atomiques au moyen de connecteurs logiques ; les formules atomiques sont construites à partir de termes utilisant des symboles de prédicat. La définition formelle de l'ensemble des -formules procède dans l'autre sens : d'abord, les termes sont assemblés à partir des symboles de constante et de fonction avec les variables. Ensuite, les termes peuvent être combinés dans une formule atomique en utilisant un symbole de prédicat (symbole de relation) de la signature ou le symbole de prédicat spécial "=" pour l'égalité (voir la section " Interprétation de l'égalité " ci-dessous). Enfin, les formules du langage sont assemblées à partir de formules atomiques en utilisant les connecteurs logiques et les quantificateurs.

Interprétations d'une langue de premier ordre

Pour attribuer un sens à toutes les phrases d'une langue de premier ordre, les informations suivantes sont nécessaires.

  • Un domaine de discours D , généralement requis pour être non vide (voir ci-dessous).
  • Pour chaque symbole constant, un élément de D comme son interprétation.
  • Pour chaque symbole de fonction n -aire, une fonction n -aire de D à D comme son interprétation (c'est-à-dire une fonction D n  →  D ).
  • Pour chaque symbole de prédicat n -aire, une relation n -aire sur D comme son interprétation (c'est-à-dire un sous-ensemble de D n ).

Un objet portant cette information est appelé structure (de signature σ), ou structure-structure, ou L -structure (de langage L), ou encore « modèle ».

Les informations spécifiées dans l'interprétation fournissent suffisamment d'informations pour donner une valeur de vérité à toute formule atomique, après que chacune de ses variables libres , le cas échéant, a été remplacée par un élément du domaine. La valeur de vérité d'une phrase arbitraire est ensuite définie de manière inductive en utilisant le T-schema , qui est une définition de la sémantique du premier ordre développée par Alfred Tarski. Le schéma en T interprète les connecteurs logiques à l'aide de tables de vérité, comme indiqué ci-dessus. Ainsi, par exemple, φ & est satisfait si et seulement si à la fois φ et sont satisfaits.

Reste le problème de l'interprétation des formules de la forme x φ( x ) et x φ( x ) . Le domaine du discours forme la gamme de ces quantificateurs. L'idée est que la phrase x φ ( x ) est vrai dans une interprétation exactement quand tous les cas de substitution de φ ( x ), où x est remplacé par un élément du domaine, est satisfaite. La formule x φ( x ) est satisfaite s'il existe au moins un élément d du domaine tel que φ( d ) est satisfait.

À proprement parler, une instance de substitution telle que la formule φ( d ) mentionnée ci-dessus n'est pas une formule dans le langage formel original de φ, car d est un élément du domaine. Il existe deux manières de traiter ce problème technique. La première est de passer à un langage plus large dans lequel chaque élément du domaine est nommé par un symbole constant. La seconde consiste à ajouter à l'interprétation une fonction qui affecte chaque variable à un élément du domaine. Ensuite, le schéma en T peut quantifier sur des variations de l'interprétation originale dans laquelle cette fonction d'affectation de variable est modifiée, au lieu de quantifier sur des instances de substitution.

Certains auteurs admettent également des variables propositionnelles en logique du premier ordre, qui doivent alors également être interprétées. Une variable propositionnelle peut être autonome en tant que formule atomique. L'interprétation d'une variable propositionnelle est l'une des deux valeurs de vérité vrai et faux.

Parce que les interprétations de premier ordre décrites ici sont définies dans la théorie des ensembles, elles n'associent pas chaque symbole de prédicat à une propriété (ou relation), mais plutôt à l'extension de cette propriété (ou relation). En d'autres termes, ces interprétations du premier ordre sont extensionnelles et non intensionnelles .

Exemple d'interprétation du premier ordre

Un exemple d'interprétation du langage L décrit ci-dessus est le suivant.

  • Domaine : Un jeu d'échecs
  • Constantes individuelles : a : Le Roi blanc b : La Dame noire c : Le pion du Roi blanc
  • F(x): x est un morceau
  • G(x) : x est un pion
  • H(x) : x est noir
  • I(x): x est blanc
  • J(x, y) : x peut capturer y

Dans l'interprétation de L :

  • les phrases suivantes sont vraies : F(a), G(c), H(b), I(a) J(b, c),
  • les phrases suivantes sont fausses : J(a, c), G(a).

Exigence de domaine non vide

Comme indiqué ci-dessus, une interprétation du premier ordre est généralement requise pour spécifier un ensemble non vide comme domaine du discours. La raison de cette exigence est de garantir que des équivalences telles que

,

x n'est pas une variable libre de , sont logiquement valides. Cette équivalence est valable dans chaque interprétation avec un domaine non vide, mais n'est pas toujours valable lorsque les domaines vides sont autorisés. Par exemple, l'équivalence

échoue dans toute structure avec un domaine vide. Ainsi, la théorie de la preuve de la logique du premier ordre devient plus compliquée lorsque des structures vides sont autorisées. Cependant, le gain en les autorisant est négligeable, car les interprétations prévues et les interprétations intéressantes des théories que les gens étudient ont des domaines non vides.

Les relations vides ne posent aucun problème pour les interprétations de premier ordre, car il n'y a pas de notion similaire de passage d'un symbole de relation à travers un connecteur logique, élargissant ainsi sa portée dans le processus. Ainsi, il est acceptable que des symboles de relation soient interprétés comme étant identiquement faux. Cependant, l'interprétation d'un symbole de fonction doit toujours attribuer une fonction bien définie et totale au symbole.

Interprétation de l'égalité

La relation d'égalité est souvent traitée spécialement dans la logique du premier ordre et d'autres logiques de prédicat. Il existe deux approches générales.

La première approche consiste à traiter l'égalité comme n'étant pas différente de toute autre relation binaire. Dans ce cas, si un symbole d'égalité est inclus dans la signature, il est généralement nécessaire d'ajouter divers axiomes sur l'égalité aux systèmes d'axiomes (par exemple, l'axiome de substitution disant que si a = b et R ( a ) est vrai alors R ( b ) tient également). Cette approche de l'égalité est plus utile lors de l'étude des signatures qui n'incluent pas la relation d'égalité, comme la signature pour la théorie des ensembles ou la signature pour l' arithmétique du second ordre dans laquelle il n'y a qu'une relation d'égalité pour les nombres, mais pas une relation d'égalité pour ensemble de nombres.

La deuxième approche consiste à traiter le symbole de relation d'égalité comme une constante logique qui doit être interprétée par la relation d'égalité réelle dans toute interprétation. Une interprétation qui interprète l'égalité de cette manière est connue sous le nom de modèle normal , donc cette deuxième approche revient à étudier uniquement les interprétations qui se trouvent être des modèles normaux. L'avantage de cette approche est que les axiomes liés à l'égalité sont automatiquement satisfaits par chaque modèle normal, et donc ils n'ont pas besoin d'être explicitement inclus dans les théories du premier ordre lorsque l'égalité est traitée de cette façon. Cette seconde approche est parfois appelée logique du premier ordre avec égalité , mais de nombreux auteurs l'adoptent pour l'étude générale de la logique du premier ordre sans commentaire.

Il existe quelques autres raisons de restreindre l'étude de la logique du premier ordre aux modèles normaux. Premièrement, on sait que toute interprétation du premier ordre dans laquelle l'égalité est interprétée par une relation d'équivalence et satisfait les axiomes de substitution pour l'égalité peut être réduite à une interprétation élémentairement équivalente sur un sous-ensemble du domaine d'origine. Ainsi, il y a peu de généralité supplémentaire dans l'étude des modèles non normaux. Deuxièmement, si l'on considère des modèles non normaux, alors toute théorie cohérente a un modèle infini ; cela affecte les énoncés de résultats tels que le théorème de Löwenheim-Skolem , qui sont généralement énoncés sous l'hypothèse que seuls les modèles normaux sont considérés.

Logique du premier ordre à plusieurs tris

Une généralisation de la logique du premier ordre considère les langues avec plus d'une sorte de variables. L'idée est que différentes sortes de variables représentent différents types d'objets. Chaque sorte de variable peut être quantifiée ; ainsi, une interprétation pour une langue à plusieurs tris a un domaine séparé pour chacune des sortes de variables à parcourir (il existe une collection infinie de variables de chacune des différentes sortes). Les symboles de fonction et de relation, en plus d'avoir des arités, sont spécifiés de sorte que chacun de leurs arguments doit provenir d'une certaine sorte.

Un exemple de logique à plusieurs tris est pour la géométrie euclidienne plane . Il y a deux sortes ; points et lignes. Il existe un symbole de relation d'égalité pour les points, un symbole de relation d'égalité pour les lignes et une relation d'incidence binaire E qui prend une variable de point et une variable de ligne. L'interprétation voulue de ce langage a la plage de variables ponctuelles sur tous les points du plan euclidien , la plage de variables linéaires sur toutes les lignes du plan et la relation d'incidence E ( p , l ) est valable si et seulement si le point p est sur la ligne l .

Logiques de prédicat d'ordre supérieur

Un langage formel pour la logique des prédicats d'ordre supérieur ressemble beaucoup à un langage formel pour la logique du premier ordre. La différence est qu'il existe maintenant de nombreux types de variables différents. Certaines variables correspondent à des éléments du domaine, comme dans la logique du premier ordre. D'autres variables correspondent à des objets de type supérieur : sous-ensembles du domaine, fonctions du domaine, fonctions qui prennent un sous-ensemble du domaine et renvoient une fonction du domaine à des sous-ensembles du domaine, etc. Tous ces types de variables peuvent être quantifié.

Il existe deux types d'interprétations couramment utilisées pour la logique d'ordre supérieur. La sémantique complète exige que, une fois le domaine du discours satisfait, les variables d'ordre supérieur s'étendent sur tous les éléments possibles du type correct (tous les sous-ensembles du domaine, toutes les fonctions du domaine à lui-même, etc.). Ainsi, la spécification d'une interprétation complète est la même que la spécification d'une interprétation du premier ordre. La sémantique Henkin , qui est essentiellement une sémantique de premier ordre multi-triée, nécessite l'interprétation pour spécifier un domaine distinct pour chaque type de variable d'ordre supérieur à parcourir. Ainsi, une interprétation en sémantique de Henkin inclut un domaine D , une collection de sous-ensembles de D , une collection de fonctions de D à D , etc. La relation entre ces deux sémantiques est un sujet important dans la logique d'ordre supérieur.

Interprétations non classiques

Les interprétations de la logique propositionnelle et de la logique des prédicats décrites ci-dessus ne sont pas les seules interprétations possibles. En particulier, il existe d'autres types d'interprétations qui sont utilisées dans l'étude de la logique non classique (comme la logique intuitionniste ), et dans l'étude de la logique modale.

Les interprétations utilisées pour étudier la logique non classique incluent les modèles topologiques , les modèles à valeurs booléennes et les modèles de Kripke . La logique modale est également étudiée à l'aide de modèles de Kripke.

Interprétations prévues

De nombreux langages formels sont associés à une interprétation particulière qui est utilisée pour les motiver. Par exemple, la signature du premier ordre pour la théorie des ensembles comprend une seule relation binaire, , qui est destinée à représenter l'appartenance à un ensemble, et le domaine du discours dans une théorie du premier ordre des nombres naturels est destiné à être l'ensemble des nombres naturels. Nombres.

L'interprétation envisagée est appelée le modèle standard (un terme introduit par Abraham Robinson en 1960). Dans le contexte de l'arithmétique de Peano , il se compose des nombres naturels avec leurs opérations arithmétiques ordinaires. Tous les modèles qui sont isomorphes à celui qui vient d'être donné sont également appelés standards ; ces modèles satisfont tous aux axiomes de Peano . Il existe également des modèles non standard des (versions du premier ordre des) axiomes de Peano , qui contiennent des éléments non corrélés avec un nombre naturel.

Si l'interprétation envisagée ne peut avoir aucune indication explicite dans les règles syntaxiques strictement formelles , elle affecte naturellement le choix des règles de formation et de transformation du système syntaxique. Par exemple, les signes primitifs doivent permettre l'expression des concepts à modéliser ; les formules phrastiques sont choisies de telle sorte que leurs contreparties dans l'interprétation voulue soient des phrases déclaratives significatives ; les phrases primitives doivent sortir comme de vraies phrases dans l'interprétation ; les règles d'inférence doivent être telles que, si la phrase est directement dérivable d'une phrase , alors s'avère être une phrase vraie, avec une implication de sens , comme d'habitude. Ces exigences garantissent que toutes les phrases prouvables s'avèrent également vraies.

La plupart des systèmes formels ont beaucoup plus de modèles qu'ils n'étaient censés en avoir (l'existence de modèles non standard en est un exemple). Quand nous parlons de « modèles » dans les sciences empiriques , nous entendons, si nous voulons que la réalité soit un modèle de notre science, parler d'un modèle voulu . Un modèle dans les sciences empiriques est une interprétation descriptive intentionnellement vraie (ou dans d'autres contextes : une interprétation arbitraire non intentionnelle utilisée pour clarifier une telle interprétation descriptive intentionnellement vraie). Tous les modèles sont des interprétations qui ont le même domaine de discours. comme celui prévu, mais d'autres affectations pour les constantes non logiques .

Exemple

Soit un système formel simple (nous appellerons celui-ci ) dont l'alphabet α ne comporte que trois symboles et dont la règle de formation des formules est :

'Toute chaîne de symboles dont la longueur est d'au moins 6 symboles, et qui n'est pas infiniment longue, est une formule de . Rien d'autre n'est une formule de .'

Le schéma à axiome unique de est :

" " (où " " est une variable métasyntaxique représentant une chaîne finie de " " s )

Une preuve formelle peut être construite comme suit :

Dans cet exemple, le théorème produit " " peut être interprété comme signifiant " Un plus trois égale quatre ". Une interprétation différente serait de le lire à l'envers comme « quatre moins trois égale un ».

Autres concepts d'interprétation

Il existe d'autres utilisations du terme « interprétation » qui sont couramment utilisées, qui ne font pas référence à l'attribution de significations aux langues formelles.

En théorie des modèles, une structure A est dite interpréter une structure B s'il existe un sous-ensemble définissable D de A , et des relations et fonctions définissables sur D , telles que B est isomorphe à la structure de domaine D et à ces fonctions et relations. Dans certains contextes, ce n'est pas le domaine D qui est utilisé, mais plutôt D modulo une relation d'équivalence définissable dans A . Pour plus d'informations, voir Interprétation (théorie des modèles) .

Une théorie T est dite interpréter une autre théorie S s'il existe une extension finie par définitions T de T telle que S est contenu dans T ′.

Voir également

Les références

Liens externes