Interprétation (théorie des modèles) - Interpretation (model theory)

Dans la théorie du modèle , l' interprétation d'une structure de M dans une autre structure N (généralement d'une autre signature ) est une notion technique qui se rapproche de l'idée de représenter M dans N . Par exemple, chaque réduction ou développement définitionnel d'une structure N a une interprétation dans N .

De nombreuses propriétés théoriques du modèle sont préservées sous interprétabilité. Par exemple si la théorie de N est stable et que M est interprétable dans N , alors la théorie de M est également stable.

Définition

Une interprétation de M à N avec des paramètres (ou sans paramètres , respectivement) est une paire où n est un nombre naturel et est une surjective carte à partir d' un sous - ensemble de N ⁿ sur M telle que le -preimage (plus précisément la -preimage) de tout ensemble X  ⊆  M ^k définissable dans M par une formule du premier ordre sans paramètres est définissable (dans N ) par une formule du premier ordre avec paramètres (ou sans paramètres, respectivement). Étant donné que la valeur de n pour une interprétation est souvent claire d'après le contexte, la carte elle-même est également appelée une interprétation. ${\style d'affichage (n,f)}$${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f^{k}}$ ${\style d'affichage (n,f)}$${\style d'affichage f}$

Pour vérifier que la préimage de chaque ensemble définissable (sans paramètres) dans M est définissable dans N (avec ou sans paramètres), il suffit de vérifier les préimages des ensembles définissables suivants :

• le domaine de M ;
• la diagonale de M ² ;
• toute relation dans la signature de M ;
• le graphe de chaque fonction dans la signature de M .

Dans la théorie des modèles, le terme définissable fait souvent référence à la définissabilité avec des paramètres ; si cette convention est utilisée, la définissabilité sans paramètres est exprimée par le terme 0-definable . De même, une interprétation avec paramètres peut être appelée simplement une interprétation et une interprétation sans paramètres une interprétation 0 .

Bi-interprétabilité

Si L, M et N sont trois structures, L est interprété dans M, et M est interprété dans N, alors on peut naturellement construire une interprétation composite de L dans N. Si deux structures M et N sont interprétées l'une dans l'autre, alors par en combinant les interprétations de deux manières possibles, on obtient une interprétation de chacune des deux structures en elle-même. Cette observation permet de définir une relation d'équivalence entre les structures, rappelant l' équivalence d'homotopie entre les espaces topologiques.

Deux structures M et N sont bi-interprétables s'il existe une interprétation de M dans N et une interprétation de N dans M telles que les interprétations composites de M en lui-même et de N en lui-même soient définissables dans M et dans N , respectivement (les les interprétations composites étant vues comme des opérations sur M et sur N ).

Exemple

L'application partielle f de Z  ×  Z sur Q qui fait correspondre ( x ,  y ) à x / y si y 0 fournit une interprétation du corps Q des nombres rationnels dans l'anneau Z des entiers (pour être précis, l'interprétation est ( 2,  f )). En fait, cette interprétation particulière est souvent utilisée pour définir les nombres rationnels. Pour voir qu'il s'agit d'une interprétation (sans paramètres), il faut vérifier les pré-images suivantes d'ensembles définissables dans Q :

• la préimage de Q est définie par la formule φ( x ,  y ) donnée par ¬ ( y  = 0);
• la préimage de la diagonale de Q est définie par la formule ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ) donnée par x ₁ × y ₂ = x ₂ × y ₁ ;
• les préimages de 0 et 1 sont définies par les formules ( x ,  y ) données par x  = 0 et x  =  y ;
• la préimage du graphe d'addition est définie par la formule φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ ) donnée par x ₁ × y ₂ × y ₃ + x ₂ × y ₁ × y ₃ = x ₃ × y ₁ × y ₂ ;
• la préimage du graphe de multiplication est définie par la formule φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ ) donnée par x ₁ × x ₂ × y ₃ = x ₃ × y ₁ × y ₂ .

Les références

• Ahlbrandt, Gisela ; Ziegler, Martin (1986), "Théories quasi finiment axiomatisables totalement catégoriques", Annals of Pure and Applied Logic , 30 : 63-82, doi : 10.1016/0168-0072(86)90037-0
• Hodges, Wilfrid (1997), Une théorie des modèles plus courte , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6 (article 4.3)
• Poizat, Bruno (2000), Un cours de théorie des modèles , Springer , ISBN 978-0-387-98655-5 (article 9.4)