Intervalle (mathématiques) - Interval (mathematics)

L'addition x + a sur la droite numérique. Tous les nombres supérieurs à x et inférieurs à x + a tombent dans cet intervalle ouvert.

En mathématiques , un intervalle ( réel ) est un ensemble de nombres réels qui contient tous les nombres réels compris entre deux nombres quelconques de l'ensemble. Par exemple, l'ensemble de nombres x satisfaisant 0 ≤ x ≤ 1 est un intervalle qui contient 0 , 1 et tous les nombres intermédiaires. D'autres exemples d'intervalles sont l'ensemble de nombres tels que 0 < x < 1 , l'ensemble de tous les nombres réels , l'ensemble des nombres réels non négatifs, l'ensemble des nombres réels positifs, l' ensemble vide et tout singleton (ensemble d'un élément ).

Les intervalles réels jouent un rôle important dans la théorie de l' intégration , car ce sont les ensembles les plus simples dont la "taille" (ou "mesure" ou "longueur") est facile à définir. Le concept de mesure peut alors être étendu à des ensembles plus compliqués de nombres réels, conduisant à la mesure de Borel et éventuellement à la mesure de Lebesgue .

Les intervalles sont au cœur de l' arithmétique des intervalles , une technique de calcul numérique générale qui fournit automatiquement des clôtures garanties pour les formules arbitraires, même en présence d'incertitudes, d'approximations mathématiques et d' arrondis arithmétiques .

Les intervalles sont également définis sur un ensemble arbitraire totalement ordonné , tel que des entiers ou des nombres rationnels . La notation des intervalles entiers est considérée dans la section spéciale ci-dessous .

Terminologie

Un intervalle ouvert n'inclut pas ses extrémités et est indiqué par des parenthèses. Par exemple, (0,1) signifie supérieur à 0 et inférieur à 1 . Cela signifie (0,1) = { x | 0 < x < 1} .

Un intervalle fermé est un intervalle qui comprend tous ses points limites et est indiqué par des crochets. Par exemple, [0,1] signifie supérieur ou égal à 0 et inférieur ou égal à 1 .

Un intervalle semi-ouvert ne comprend qu'un seul de ses points d'extrémité et est noté en mélangeant les notations pour les intervalles ouverts et fermés. Par exemple, (0,1] signifie supérieur à 0 et inférieur ou égal à 1 , tandis que [0,1) signifie supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1 .

Un intervalle dégénéré est tout ensemble constitué d'un seul nombre réel (c'est-à-dire un intervalle de la forme [ a , a ] ). Certains auteurs incluent l'ensemble vide dans cette définition. Un intervalle réel qui n'est ni vide ni dégénéré est dit propre et a une infinité d'éléments.

Un intervalle est dit borné à gauche ou borné à droite s'il existe un nombre réel qui est, respectivement, plus petit ou plus grand que tous ses éléments. Un intervalle est dit borné s'il est à la fois borné à gauche et à droite ; et est dit sans limite autrement. Les intervalles bornés à une seule extrémité sont dits demi bornés . L'ensemble vide est borné et l'ensemble de tous les réels est le seul intervalle non borné aux deux extrémités. Les intervalles délimités sont aussi communément appelés intervalles finis .

Les intervalles bornés sont des ensembles bornés , dans le sens où leur diamètre (qui est égal à la différence absolue entre les extrémités) est fini. Le diamètre peut être appelé longueur , largeur , mesure , plage ou taille de l'intervalle. La taille des intervalles non bornés est généralement définie comme +∞ , et la taille de l'intervalle vide peut être définie comme 0 (ou laissée non définie).

Le centre ( milieu ) de l'intervalle borné avec les extrémités a et b est ( a  +  b )/2 , et son rayon est la demi-longueur | a  −  b |/2 . Ces concepts sont indéfinis pour les intervalles vides ou non bornés.

Un intervalle est dit laissé ouvert si et seulement s'il ne contient pas de minimum (un élément qui est plus petit que tous les autres éléments) ; droit ouvert s'il ne contient pas de maximum ; et ouvert s'il a les deux propriétés. L'intervalle [0,1) = { x | 0 ≤ x < 1} , par exemple, est fermé à gauche et ouvert à droite. L'ensemble vide et l'ensemble de tous les réels sont des intervalles ouverts, tandis que l'ensemble des réels non négatifs est un intervalle ouvert à droite mais pas ouvert à gauche. Les intervalles ouverts sont des ensembles ouverts de la ligne réelle dans sa topologie standard , et forment une base des ensembles ouverts.

Un intervalle est dit fermé à gauche s'il a un élément minimum, fermé à droite s'il a un maximum, et simplement fermé s'il a les deux. Ces définitions sont généralement étendues pour inclure l'ensemble vide et les intervalles non bornés (à gauche ou à droite), de sorte que les intervalles fermés coïncident avec les ensembles fermés dans cette topologie.

L' intérieur d'un intervalle I est le plus grand intervalle ouvert contenu dans I ; c'est aussi l'ensemble des points de I qui ne sont pas des extrémités de I . La fermeture de I est le plus petit intervalle fermé qui contient I ; qui est aussi l'ensemble que j'ai augmenté de ses extrémités finies.

Pour tout ensemble X de nombres réels, la clôture d'intervalle ou l' étendue d'intervalle de X est l'intervalle unique qui contient X , et ne contient correctement aucun autre intervalle qui contient également X .

Un intervalle I est un sous - intervalle de l'intervalle J si I est un sous - ensemble de J . Un intervalle I est un sous - intervalle propre de J si I est un sous - ensemble propre de J .

Remarque sur la terminologie contradictoire

Les termes segment et intervalle ont été employés dans la littérature de deux manières essentiellement opposées, ce qui entraîne une ambiguïté lorsque ces termes sont utilisés. L' Encyclopédie des mathématiques définit l' intervalle (sans qualificateur) pour exclure les deux points finaux (c'est-à-dire l'intervalle ouvert) et le segment pour inclure les deux points finaux (c'est-à-dire l'intervalle fermé), tandis que les principes d'analyse mathématique de Rudin appellent des ensembles de la forme [ a , b ] intervalles et ensembles de la forme ( a , b ) segments tout au long. Ces termes ont tendance à apparaître dans des œuvres plus anciennes; les textes modernes privilégient de plus en plus le terme intervalle (qualifié par open , closed , ou half-open ), que des points finaux soient inclus ou non.

Notations pour les intervalles

L'intervalle de nombres entre a et b , y compris a et b , est souvent noté [ a ,  b ] . Les deux nombres sont appelés les extrémités de l'intervalle. Dans les pays où les nombres sont écrits avec une virgule décimale , un point - virgule peut être utilisé comme séparateur pour éviter toute ambiguïté.

Inclure ou exclure des points de terminaison

Pour indiquer qu'une des extrémités doit être exclue de l'ensemble, le crochet correspondant peut être soit remplacé par une parenthèse, soit inversé. Les deux notations sont décrites dans la norme internationale ISO 31-11 . Ainsi, en notation de constructeur d'ensembles ,

Chaque intervalle ( a ,  a ) , [ a ,  a ) et ( a ,  a ] représente l' ensemble vide , tandis que [ a ,  a ] désigne l' ensemble singleton  { a } . Lorsque a > b , les quatre notations sont généralement prises pour représenter l'ensemble vide.

Les deux notations peuvent se chevaucher avec d'autres utilisations des parenthèses et des crochets en mathématiques. Par exemple, la notation ( a , b ) est souvent utilisée pour désigner une paire ordonnée en théorie des ensembles, les coordonnées d'un point ou d'un vecteur en géométrie analytique et en algèbre linéaire , ou (parfois) un nombre complexe en algèbre . C'est pourquoi Bourbaki a introduit la notation ] a , b [ pour désigner l'intervalle ouvert. La notation [ a , b ] est aussi parfois utilisée pour les paires ordonnées, notamment en informatique .

Certains auteurs utilisent ] a , b [ pour désigner le complément de l' intervalle  ( a ,  b ) ; à savoir, l'ensemble de tous les nombres réels qui sont soit inférieurs ou égaux à a , soit supérieurs ou égaux à b .

Points de terminaison infinis

Dans certains contextes, un intervalle peut être défini comme un sous-ensemble des nombres réels étendus , l'ensemble de tous les nombres réels augmentés de −∞ et +∞ .

Dans cette interprétation, les notations [−∞,  b ]  , (−∞,  b ]  , [ a , +∞]  et [ a , +∞) sont toutes significatives et distinctes. En particulier, (−∞, +∞) désigne l'ensemble de tous les nombres réels ordinaires, tandis que [−∞, +∞] désigne les réels étendus.

Même dans le contexte des réels ordinaires, on peut utiliser un point final infini pour indiquer qu'il n'y a pas de limite dans cette direction. Par exemple, (0, +∞) est l'ensemble des nombres réels positifs , également écrit . Le contexte affecte certaines des définitions et terminologies ci-dessus. Par exemple, l'intervalle (−∞, +∞)  =  est fermé dans le domaine des réels ordinaires, mais pas dans le domaine des réels étendus.

Intervalles entiers

Lorsque a et b sont des entiers , la notation ⟦ a , b ⟧ , ou [ a .. b ] ou { a .. b } ou juste a .. b , est parfois utilisée pour indiquer l'intervalle de tous les entiers entre a et b inclus. La notation [ a .. b ] est utilisée dans certains langages de programmation ; en Pascal , par exemple, il est utilisé pour définir formellement un type de sous-plage, le plus souvent utilisé pour spécifier les limites inférieure et supérieure des indices valides d'un tableau .

Un intervalle entier qui a une extrémité inférieure ou supérieure finie inclut toujours cette extrémité. Par conséquent, l'exclusion des extrémités peut être explicitement notée en écrivant a .. b  − 1  , a  + 1 .. b  , ou a  + 1 .. b  − 1 . Les notations entre crochets comme [ a .. b ) ou [ a .. b [ sont rarement utilisées pour les intervalles entiers.

Classification des intervalles

Les intervalles de nombres réels peuvent être classés dans les onze types différents énumérés ci-dessous, où a et b sont des nombres réels, et :

Vide:
Dégénérer:
Propre et borné :
Ouvert:
Fermé:
Fermé à gauche, ouvert à droite :
Ouvert à gauche, fermé à droite :
Borné à gauche et illimité à droite :
Laissé ouvert:
Fermé à gauche :
Non borné à gauche et borné à droite :
Ouverture à droite :
Fermé à droite :
Non borné aux deux extrémités (ouvert et fermé simultanément) :  :

Propriétés des intervalles

Les intervalles sont précisément les sous-ensembles connectés de . Il s'ensuit que l'image d'un intervalle par toute fonction continue est aussi un intervalle. Il s'agit d'une formulation du théorème des valeurs intermédiaires .

Les intervalles sont également les sous - ensembles convexes de . L'enceinte d'intervalle d'un sous - ensemble est également l' enveloppe convexe de .

L'intersection de toute collection d'intervalles est toujours un intervalle. L'union de deux intervalles est un intervalle si et seulement s'ils ont une intersection non vide ou si une extrémité ouverte d'un intervalle est une extrémité fermée de l'autre (par exemple, ).

Si est considéré comme un espace métrique , ses boules ouvertes sont les ensembles bornés ouverts  ( c  +  r ,  c  −  r ) , et ses boules fermées sont les ensembles bornés fermés  [ c  +  r ,  c  −  r ] .

Tout élément  x d'un intervalle  I définit une partition de  I en trois intervalles disjoints I 1 ,  I 2 ,  I 3 : respectivement, les éléments de  I inférieurs à  x , le singleton  et les éléments supérieurs à  x . Les parties I 1 et I 3 sont toutes deux non vides (et ont des intérieurs non vides), si et seulement si x est à l'intérieur de  I . Il s'agit d'une version par intervalles du principe de la trichotomie .

Intervalles dyadiques

Un intervalle dyadique est un intervalle réel borné dont les extrémités sont et , où et sont des entiers. Selon le contexte, l'une ou l'autre des extrémités peut être incluse ou non dans l'intervalle.

Les intervalles dyadiques ont les propriétés suivantes :

  • La longueur d'un intervalle dyadique est toujours une puissance entière de deux.
  • Chaque intervalle dyadique est contenu dans exactement un intervalle dyadique de deux fois la longueur.
  • Chaque intervalle dyadique est enjambé par deux intervalles dyadiques de la moitié de la longueur.
  • Si deux intervalles dyadiques ouverts se chevauchent, alors l'un d'eux est un sous-ensemble de l'autre.

Les intervalles dyadiques ont par conséquent une structure qui reflète celle d'un arbre binaire infini .

Les intervalles dyadiques sont pertinents pour plusieurs domaines de l'analyse numérique, y compris le raffinement adaptatif du maillage , les méthodes multigrilles et l'analyse par ondelettes . Une autre façon de représenter une telle structure est l'analyse p-adique (pour p = 2 ).

Généralisations

Intervalles multidimensionnels

Dans de nombreux contextes, un intervalle de dimension est défini comme un sous-ensemble de celui qui est le produit cartésien des intervalles, , un sur chaque axe de coordonnées .

Car , cela peut être considéré comme une région délimitée par un carré ou un rectangle , dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées, selon que la largeur des intervalles est la même ou non ; de même, pour , cela peut être considéré comme une région délimitée par un cube aligné sur l'axe ou un cuboïde rectangulaire . Dans les dimensions supérieures, le produit cartésien des intervalles est limité par un hypercube ou hyperrectangle à n dimensions .

Une facette d'un tel intervalle est le résultat du remplacement de tout facteur d'intervalle non dégénéré par un intervalle dégénéré constitué d'une extrémité finie de . Les faces de se composent lui-même et toutes les faces de ses facettes. Les coins de sont les faces constituées d'un seul point de .

Intervalles complexes

Les intervalles de nombres complexes peuvent être définis comme des régions du plan complexe , rectangulaires ou circulaires .

Algèbre topologique

Des intervalles peuvent être associés à des points du plan, et donc des régions d'intervalles peuvent être associées à des régions du plan. Généralement, un intervalle en mathématiques correspond à une paire ordonnée ( x,y ) tirée du produit direct R × R des nombres réels avec lui-même, où l'on suppose souvent que y > x . Pour des raisons de structure mathématique , cette restriction est rejetée et des "intervalles inversés" où yx < 0 sont autorisés. Ensuite, la collection de tous les intervalles [ x,y ] peut être identifiée avec l' anneau topologique formé par la somme directe de R avec lui-même, où l'addition et la multiplication sont définies par composants.

L'algèbre à somme directe a deux idéaux , { [ x ,0] : x R } et { [0, y ] : y ∈ R }. L' élément identitaire de cette algèbre est l'intervalle condensé [1,1]. Si l'intervalle [ x,y ] n'est pas dans l'un des idéaux, alors il a l' inverse multiplicatif [1/ x , 1/ y ]. Dotée de la topologie habituelle , l'algèbre des intervalles forme un anneau topologique . Le groupe d'unités de cet anneau se compose de quatre quadrants déterminés par les axes, ou idéaux dans ce cas. La composante identitaire de ce groupe est le quadrant I.

Chaque intervalle peut être considéré comme un intervalle symétrique autour de son milieu . Dans une reconfiguration publiée en 1956 par M Warmus, l'axe des « intervalles équilibrés » [ x , − x ] est utilisé avec l'axe des intervalles [ x,x ] qui se réduisent à un point. Au lieu de la somme directe , l'anneau d'intervalles a été identifié avec le plan des nombres complexes divisés par M. Warmus et DH Lehmer grâce à l'identification

z = ( x + y )/2 + j ( xy )/2.

Cette cartographie linéaire du plan, qui équivaut à un isomorphisme en anneau , fournit au plan une structure multiplicative ayant quelques analogies avec l'arithmétique complexe ordinaire, telle que la décomposition polaire .

Voir également

Les références

Bibliographie

Liens externes