Polynôme irréductible - Irreducible polynomial

En mathématiques , un polynôme irréductible est, grosso modo, un polynôme qui ne peut pas être factorisé dans le produit de deux polynômes non constants . La propriété d'irréductibilité dépend de la nature des coefficients acceptés pour les facteurs possibles, c'est-à-dire du champ ou de l' anneau auquel sont supposés appartenir les coefficients du polynôme et ses facteurs possibles. Par exemple, le polynôme x ² − 2 est un polynôme à coefficients entiers , mais, comme chaque entier est aussi un nombre réel, c'est aussi un polynôme à coefficients réels. Il est irréductible s'il est considéré comme un polynôme à coefficients entiers, mais il se factorise comme s'il était considéré comme un polynôme à coefficients réels. On dit que le polynôme x ² − 2 est irréductible sur les entiers mais pas sur les réels. ${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)}$

Un polynôme irréductible sur tout corps contenant les coefficients est absolument irréductible . Par le théorème fondamental de l'algèbre , un polynôme univarié est absolument irréductible si et seulement si son degré est un. D'autre part, avec plusieurs indéterminées , il existe des polynômes absolument irréductibles de tout degré, comme pour tout entier positif n . ${\style d'affichage x^{2}+y^{n}-1,}$

Un polynôme qui n'est pas irréductible est parfois appelé polynôme réductible .

Les polynômes irréductibles apparaissent naturellement dans l'étude de la factorisation polynomiale et des extensions de champ algébrique .

Il est utile de comparer les polynômes irréductibles aux nombres premiers : les nombres premiers (avec les nombres négatifs correspondants de même grandeur) sont les entiers irréductibles . Ils présentent de nombreuses propriétés générales du concept d'« irréductibilité » qui s'appliquent également aux polynômes irréductibles, comme la factorisation essentiellement unique en facteurs premiers ou irréductibles. Lorsque l'anneau de coefficients est un champ ou un autre domaine de factorisation unique , un polynôme irréductible est également appelé polynôme premier , car il génère un idéal premier .

Définition

Si F est un corps, un polynôme non constant est irréductible sur F si ses coefficients appartiennent à F et il ne peut être factorisé dans le produit de deux polynômes non constants à coefficients dans F .

Un polynôme à coefficients entiers, ou, plus généralement, à coefficients dans un unique domaine de factorisation R , est parfois dit irréductible (ou irréductible sur R ) s'il est un élément irréductible de l' anneau polynomial , c'est-à-dire qu'il n'est pas inversible , non nul, et ne peut pas être pris en compte dans le produit de deux polynômes non inversibles avec des coefficients dans R . Cette définition généralise la définition donnée pour le cas des coefficients dans un corps, car, sur un corps, les polynômes non constants sont exactement les polynômes non inversibles et non nuls.

Une autre définition est fréquemment utilisée, disant qu'un polynôme est irréductible sur R s'il est irréductible sur le corps des fractions de R (le corps des nombres rationnels , si R sont les entiers). Cette deuxième définition n'est pas utilisée dans cet article.

Nature d'un facteur

L'absence d' expression algébrique explicite pour un facteur n'implique pas en soi qu'un polynôme est irréductible. Lorsqu'un polynôme est réductible en facteurs, ces facteurs peuvent être des expressions algébriques explicites ou des expressions implicites . Par exemple, peut être factorisé explicitement sur les nombres complexes car cependant, le théorème d'Abel-Ruffini déclare qu'il existe des polynômes de tout degré supérieur à 4 pour lesquels existent des facteurs complexes qui n'ont pas d'expression algébrique explicite. Un tel facteur peut être écrit simplement comme, disons, où est défini implicitement comme une solution particulière de l'équation qui définit le polynôme égal à 0. En outre, les facteurs de l'un ou l'autre type peuvent également être exprimés en tant qu'approximations numériques pouvant être obtenues par des algorithmes de recherche de racine , par exemple comme${\style d'affichage x^{2}+2}$${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}i\right)\left(x+{\sqrt {2}}i\right);}$${\displaystyle \left(x-x_{1}\right),}$${\style d'affichage x_{1}}$${\displaystyle \left(x-1.2837\ldots \right).}$

Exemples simples

Les six polynômes suivants démontrent quelques propriétés élémentaires des polynômes réductibles et irréductibles :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}\\p_{2}(x )&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\gauche( 3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{ 4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\ frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left( x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}\end{aligned}}}$

Sur les entiers , les trois premiers polynômes sont réductibles (le troisième est réductible car le facteur 3 n'est pas inversible dans les entiers) ; les deux derniers sont irréductibles. (Le quatrième, bien sûr, n'est pas un polynôme sur les entiers.)

Sur les nombres rationnels , les deux premiers et le quatrième polynômes sont réductibles, mais les trois autres polynômes sont irréductibles (en tant que polynôme sur les rationnels, 3 est une unité et, par conséquent, ne compte pas comme un facteur).

Sur les nombres réels , les cinq premiers polynômes sont réductibles, mais sont irréductibles. ${\style d'affichage p_{6}(x)}$

Sur les nombres complexes , les six polynômes sont réductibles.

Sur les nombres complexes

Sur le corps complexe , et, plus généralement, sur un corps algébriquement clos , un polynôme univarié est irréductible si et seulement si son degré est un. Ce fait est connu comme le théorème fondamental de l'algèbre dans le cas des nombres complexes et, en général, comme la condition d'être algébriquement clos.

Il s'ensuit que tout polynôme univarié non constant peut être factorisé comme

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

où est le degré, est le coefficient dominant et sont les zéros du polynôme (pas nécessairement distincts, et n'ayant pas nécessairement d' expressions algébriques explicites ). ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$

Il existe des polynômes multivariés irréductibles de tout degré sur les nombres complexes. Par exemple, le polynôme

${\style d'affichage x^{n}+y^{n}-1,}$

qui définit une courbe de Fermat , est irréductible pour tout n positif .

Sur les vrais

Sur le corps des réels , le degré d'un polynôme univarié irréductible est soit un, soit deux. Plus précisément, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré un et les polynômes quadratiques qui ont un discriminant négatif. Il s'ensuit que tout polynôme univarié non constant peut être factorisé comme un produit de polynômes de degré deux au plus. Par exemple, les facteurs sont supérieurs aux nombres réels et ne peuvent pas être davantage factorisés, car les deux facteurs ont un discriminant négatif :${\displaystyle hache^{2}+bx+c}$ ${\style d'affichage b^{2}-4ac.}$${\style d'affichage x^{4}+1}$${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.}$

Propriété de factorisation unique

Chaque polynôme sur un corps F peut être factorisé en un produit d'une constante non nulle et d'un nombre fini de polynômes irréductibles (sur F ). Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près et à la multiplication des facteurs par des constantes non nulles dont le produit est 1.

Sur un domaine de factorisation unique, le même théorème est vrai, mais est formulé plus précisément en utilisant la notion de polynôme primitif. Un polynôme primitif est un polynôme sur un domaine de factorisation unique, tel que 1 est le plus grand commun diviseur de ses coefficients.

Soit F un domaine de factorisation unique. Un polynôme irréductible non constant sur F est primitif. Un polynôme primitif sur F est irréductible sur F si et seulement s'il est irréductible sur le corps des fractions de F . Tout polynôme sur F peut être décomposé en le produit d'une constante non nulle et d'un nombre fini de polynômes primitifs irréductibles non constants. La constante non nulle peut elle-même être décomposée en le produit d'une unité de F et d'un nombre fini d' éléments irréductibles de F . Les deux factorisations sont uniques à l'ordre des facteurs près et à la multiplication des facteurs par une unité de F .

C'est ce théorème qui motive que la définition d'un polynôme irréductible sur un domaine de factorisation unique suppose souvent que le polynôme est non constant.

Tous les algorithmes actuellement implémentés pour factoriser des polynômes sur les entiers et sur les nombres rationnels utilisent ce résultat (voir Factorisation des polynômes ).

Sur les entiers et corps fini

L'irréductibilité d'un polynôme sur les entiers est liée à celle sur le corps des éléments (pour un premier ). En particulier, si un polynôme univarié f sur est irréductible sur pour un nombre premier qui ne divise pas le coefficient dominant de f (le coefficient de la plus grande puissance de la variable), alors f est irréductible sur . Le critère d'Eisenstein est une variante de cette propriété où l'irréductibilité sur est également impliquée. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\style d'affichage p^{2}}$

L'inverse, cependant, n'est pas vrai : il existe des polynômes de degré arbitrairement grand qui sont irréductibles sur les entiers et réductibles sur tout corps fini. Un exemple simple d'un tel polynôme est${\style d'affichage x^{4}+1.}$

La relation entre l'irréductibilité sur les entiers et l'irréductibilité modulo p est plus profonde que le résultat précédent : à ce jour, tous les algorithmes implémentés de factorisation et d'irréductibilité sur les entiers et sur les nombres rationnels utilisent la factorisation sur les corps finis comme sous - programme .

Le nombre de polynômes moniques irréductibles de degré n sur un corps pour q une puissance première est donné par ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

où μ est la fonction de Möbius . Pour q = 2 , de tels polynômes sont couramment utilisés pour générer des séquences binaires pseudo - aléatoires .

Dans un certain sens, presque tous les polynômes avec des coefficients zéro ou un sont irréductibles sur les entiers. Plus précisément, si l' on suppose une version de l' hypothèse de Riemann pour les fonctions zêta de Dedekind , la probabilité d'être irréductible sur les entiers pour un polynôme à coefficients aléatoires dans {0, 1} tend vers un lorsque le degré augmente.

Algorithmes

La propriété unique de factorisation des polynômes ne signifie pas que la factorisation d'un polynôme donné peut toujours être calculée. Même l'irréductibilité d'un polynôme ne peut pas toujours être prouvée par un calcul : il existe des domaines sur lesquels aucun algorithme ne peut exister pour décider de l'irréductibilité de polynômes arbitraires.

Des algorithmes pour factoriser les polynômes et décider de l'irréductibilité sont connus et implémentés dans les systèmes de calcul formel pour les polynômes sur les entiers, les nombres rationnels, les corps finis et l' extension de corps de type fini de ces corps. Tous ces algorithmes utilisent les algorithmes de factorisation de polynômes sur des corps finis .

Extension de champ

Les notions de polynôme irréductible et d' extension de champ algébrique sont fortement liées, de la manière suivante.

Soit x un élément d'une extension L d'un corps K . Cet élément est dit algébrique s'il s'agit d'une racine d'un polynôme à coefficients dans K . Parmi les polynômes dont x est une racine, il y en a exactement un qui est unitaire et de degré minimal, appelé le polynôme minimal de x . Le polynôme minimal d'un élément algébrique x de L est irréductible, et est l'unique polynôme irréductible monique dont x est une racine. Le polynôme minimal de x divise chaque polynôme qui a x pour racine (c'est le théorème d'irréductibilité d'Abel ).

Inversement, si est un polynôme univarié sur un corps K , soit l' anneau quotient de l'anneau polynomial par l' idéal engendré par P . Alors L est un corps si et seulement si P est irréductible sur K . Dans ce cas, si x est l'image de X dans L , le polynôme minimal de x est le quotient de P par son coefficient dominant . ${\style d'affichage P(X)\dans K[X]}$${\style d'affichage L=K[X]/P(X)}$${\style d'affichage K[X]}$

Un exemple de ce qui précède est la définition standard des nombres complexes comme${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).}$

Si un polynôme P a un facteur irréductible Q sur K , qui a un degré supérieur à un, on peut appliquer à Q la construction précédente d'une extension algébrique, pour obtenir une extension dans laquelle P a au moins une racine de plus que dans K . En itérant cette construction, on obtient finalement un champ sur lequel P se factorise en facteurs linéaires. Ce champ, unique à un isomorphisme de champ près , est appelé le champ de dédoublement de P .

Sur un domaine intégral

Si R est un domaine intégral , un élément f de R qui n'est ni nul ni une unité est dit irréductible s'il n'y a pas de non-unités g et h avec f = gh . On peut montrer que tout élément premier est irréductible ; l'inverse n'est pas vrai en général mais vaut dans des domaines de factorisation uniques . L' anneau polynomial F [ x ] sur un champ F (ou tout domaine de factorisation unique) est à nouveau un domaine de factorisation unique. Inductivement, cela signifie que l'anneau polynomial en n indéterminés (sur un anneau R ) est un domaine de factorisation unique s'il en est de même pour R .

Voir également

• Lemme de Gauss (polynôme)
• Théorème de la racine rationnelle , une méthode pour déterminer si un polynôme a un facteur linéaire avec des coefficients rationnels
• critère d'Eisenstein
• Méthode Perron
• Le théorème d'irréductibilité de Hilbert
• critère d'irréductibilité de Cohn
• Composante irréductible d'un espace topologique
• Factorisation de polynômes sur des corps finis
• Fonction quartique § Quartiques réductibles
• Fonction cubique § Factorisation
• Casus irreducibilis , le cubique irréductible à trois racines réelles
• Équation quadratique § Factorisation quadratique

Remarques

Les références

• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (troisième édition révisée), New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556. Ce livre classique couvre la majeure partie du contenu de cet article.
• Gallian, Joseph (2012), Algèbre abstraite contemporaine (8e éd.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidl, Rodolphe ; Niederreiter, Harald (1997), Champs finis (2e éd.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0, p. 91 .
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algèbre (3e éd.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J. ; Van Oorschot, Paul C. ; Vanstone, Scott A. (1997), Manuel de cryptographie appliquée , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0, p. 154 .

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Polynôme irréductible" . MathWorld .
• Polynôme irréductible à PlanetMath .
• Informations sur les polynômes primitifs et irréductibles , le serveur d'objets (combinatoires).