Théorie d'Iwasawa - Iwasawa theory

En théorie des nombres , la théorie d'Iwasawa est l'étude d'objets d'intérêt arithmétique sur des tours infinies de champs de nombres . Cela a commencé comme une théorie des modules de Galois des groupes de classes idéales , initiée par Kenkichi Iwasawa  ( 1959 ) (岩澤 健吉), dans le cadre de la théorie des champs cyclotomiques . Au début des années 1970, Barry Mazur a envisagé des généralisations de la théorie d'Iwasawa aux variétés abéliennes . Plus récemment (début des années 1990), Ralph Greenberg a proposé une théorie d'Iwasawa pour les motifs .

Formulation

Iwasawa a travaillé avec des -extensions : extensions infinies d'un corps de nombres avec un groupe de Galois isomorphe au groupe additif des entiers p-adiques pour un p premier . (Celles-ci étaient appelées -extensions dans les premiers articles.) Chaque sous-groupe fermé de est de la forme ainsi, selon la théorie de Galois, une -extension est la même chose qu'une tour de champs ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\style d'affichage F}$ ${\style d'affichage \Gamma }$${\style d'affichage \Gamma }$${\style d'affichage \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle F_{\infty }/F}$

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

tel qu'Iwasawa a étudié les modules galois classiques en posant des questions sur la structure des modules sur${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$${\style d'affichage F_{n}}$${\displaystyle F_{\infty }.}$

Plus généralement, la théorie d'Iwasawa pose des questions sur la structure des modules de Galois sur des extensions avec un groupe de Galois et un groupe de Lie p-adique .

Exemple

Soit un nombre premier et soit le champ engendré par les racines e de l'unité. Iwasawa a considéré la tour de champs numériques suivante : ${\style d'affichage p}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\style d'affichage p}$

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

où est généré par le champ attenant à la p ^{n +1} racines -St d'unité et ${\displaystyle K_{n}}$${\style d'affichage K}$

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

Le fait que cela implique, par la théorie de Galois infinie, que Afin d'obtenir un module galoisien intéressant, Iwasawa a pris le groupe de classe idéal de , et soit sa partie p -torsion. Il existe des cartes de normes à chaque fois , et cela nous donne les données d'un système inverse . Si nous fixons ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p }.}$${\displaystyle K_{n}}$${\style d'affichage I_{n}}$${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$${\style d'affichage m>n}$

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

alors il n'est pas difficile de voir à partir de la construction limite inverse qui est un module sur En fait, est un module sur l' algèbre d'Iwasawa . Il s'agit d'un anneau local régulier à 2 dimensions , ce qui permet de décrire des modules dessus. A partir de cette description, il est possible de récupérer des informations sur la partie p du groupe classe de${\style d'affichage I}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\style d'affichage I}$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$${\style d'affichage K.}$

La motivation ici est que la p -torsion dans le groupe de classe idéal de avait déjà été identifiée par Kummer comme le principal obstacle à la preuve directe du dernier théorème de Fermat . ${\style d'affichage K}$

Connexions avec l'analyse p-adique

A partir de ce début dans les années 1950, une théorie substantielle a été construite. Une connexion fondamentale a été remarquée entre la théorie des modules et les fonctions L p-adiques définies dans les années 1960 par Kubota et Leopoldt. Ces derniers partent des nombres de Bernoulli et utilisent l' interpolation pour définir des analogues p-adiques des fonctions L de Dirichlet . Il devint clair que la théorie avait des perspectives d'avancer finalement à partir des résultats centenaires de Kummer sur les nombres premiers réguliers .

Iwasawa a formulé la conjecture principale de la théorie d'Iwasawa comme une affirmation selon laquelle deux méthodes de définition des fonctions L p-adiques (par la théorie des modules, par interpolation) devraient coïncider, dans la mesure où cela était bien défini. Ceci a été prouvé par Mazur & Wiles (1984) pour et pour tous les corps de nombres totalement réels par Wiles (1990) . Ces preuves ont été modelées sur la preuve de Ken Ribet de l'inverse du théorème de Herbrand (le soi-disant théorème de Herbrand-Ribet ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Karl Rubin a trouvé une preuve plus élémentaire du théorème de Mazur-Wiles en utilisant les systèmes d'Euler de Kolyvagin , décrits dans Lang (1990) et Washington (1997) , et a prouvé plus tard d'autres généralisations de la conjecture principale pour les champs quadratiques imaginaires.

Généralisations

Le groupe de Galois de la tour infinie, le champ de départ et le type de module arithmétique étudié peuvent tous être variés. Dans chaque cas, il existe une conjecture principale reliant la tour à une fonction L p -adique.

En 2002, Christopher Skinner et Eric Urban ont revendiqué une preuve d'une conjecture principale pour GL (2). En 2010, ils ont posté un preprint ( Skinner & Urban 2010 ).

Voir également

• Théorème de Ferrero–Washington
• Module Tate d'un champ numérique

Les références

Sources

• Coates, J. ; Sujatha, R. (2006), Champs cyclotomiques et valeurs Zeta , Springer Monographies en mathématiques, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl  1100011002
• Greenberg, Ralph (2001), "Iwasawa theory---past and present" , in Miyake, Katsuya (ed.), Class field theory---its centenaire et perspective (Tokyo, 1998) , Adv. Étalon. Mathématiques pures., 30 ans , Tokyo : Mathématiques. Soc. Japon, p. 335-385, ISBN 978-4-931469-11-2, MR  1846466 , Zbl  0998.11054
• Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-extensions of algebraic number fields", Bulletin of the American Mathematical Society , 65 (4): 183-226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN  0002 -9904 , MR  0124316 , Zbl  0089.02402
• Kato, Kazuya (2007), "Théorie d'Iwasawa et généralisations" (PDF) , in Sanz-Solé, Marta ; Soria, Javier ; Varona, Juan Luis; et al. (éd.), Congrès international des mathématiciens. Vol. Moi , Eur. Math. Soc., Zürich, pp. 335-357, doi : 10.4171/022-1/14 , ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2334196
• Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I et II , Graduate Texts in Mathematics , 121 , Avec une annexe de Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl  0704.11038
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Champs de classe des extensions abéliennes de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2) : 179–330, doi : 10.1007/BF01388599 , ISSN  0020-9910 , MR  0742853 , Zbl  0545.12005
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexandre ; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (deuxième éd.), Berlin : Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-37889-1 , ISBN 978-3-540-37888-4, MR  2392026 , Zbl  1136.11001
• Rubin, Karl (1991), "Les 'conjectures principales' de la théorie d'Iwasawa pour les champs quadratiques imaginaires", Inventiones Mathematicae , 103 (1) : 25–68, doi : 10.1007/BF01239508 , ISSN  0020-9910 , Zbl  0737.11030
• Skinner, Chris ; Urban, Éric (2010), Les principales conjectures d'Iwasawa pour GL ₂ (PDF) , p. 219
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields , Graduate Texts in Mathematics, 83 (2e éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
• Wiles, Andrew (1990), "The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields", Annals of Mathematics , 131 (3) : 493–540, doi : 10.2307/1971468 , JSTOR  1971468 , Zbl  0719.11071 .

Citations

Lectures complémentaires

• de Shalit, Ehud (1987), théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques avec multiplication complexe. p -adic L fonctions , Perspectives in Mathematics, 3 , Boston etc. : Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl  0674.12004

Liens externes

• "Théorie d'Iwasawa" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]