Hiérarchie de Jensen - Jensen hierarchy

Dans la théorie des ensembles , une discipline mathématique, la hiérarchie de Jensen ou J-hiérarchie est une modification de la hiérarchie constructible de Gödel , L, qui contourne certaines difficultés techniques qui existent dans la hiérarchie constructible. La hiérarchie J figure en bonne place dans la théorie des structures fines, un domaine lancé par Ronald Jensen , pour qui la hiérarchie de Jensen est nommée.

Définition

Comme dans la définition de L , soit Def( X ) la collection d'ensembles définissables avec des paramètres sur  X :

${\displaystyle Def(X):=\{\{y\in X\mid \Phi (y,z_{1},...,z_{n}){\text{ est vrai dans }}(X, \in )\}\mid \Phi {\text{ est une formule du premier ordre}},z_{1},...,z_{n}\in X\}}$

La hiérarchie constructible, est définie par récursion transfinie . En particulier, aux ordinaux successeurs, . ${\style d'affichage L}$${\displaystyle L_{\alpha +1}=Déf(L_{\alpha })}$

La difficulté de cette construction est que chacun des niveaux n'est pas fermé sous la formation de couples non ordonnés ; pour un donné , l'ensemble ne sera pas un élément de , puisqu'il n'est pas un sous-ensemble de . ${\displaystyle x,y\in L_{\alpha +1}\setminus L_{\alpha }}$${\style d'affichage \{x,y\}}$${\style d'affichage L_{\alpha +1}}$${\displaystyle L_{\alpha }}$

Cependant, a la propriété souhaitable d'être fermé sous Σ ₀ séparation . ${\displaystyle L_{\alpha }}$

La hiérarchie modifiée de Jensen conserve cette propriété et la condition légèrement plus faible que , mais est également fermée par appariement. La technique clé consiste à coder des ensembles définissables héréditairement par des codes ; alors contiendra tous les ensembles dont les codes sont en . ${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\textrm {P}}(J_{\alpha })={\textrm {Def}}(J_{\alpha })}$${\displaystyle J_{\alpha }}$${\style d'affichage J_{\alpha +1}}$${\displaystyle J_{\alpha }}$

Like , est défini récursivement . Pour chaque ordinal , nous définissons comme étant un prédicat universel pour . Nous encodons les ensembles définissables héréditairement comme , avec . Ensuite, définissez et enfin, . ${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle J_{\alpha }}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle W_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle J_{\alpha }}$${\displaystyle X_{\alpha }(n+1,e)=\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f)\}}$${\displaystyle X_{\alpha }(0,e)=e}$${\displaystyle J_{\alpha ,n}:=\{X_{\alpha }(n,e)\mid e\in J_{\alpha }\}}$${\displaystyle J_{\alpha +1}:=\bigcup _{n\in \omega }J_{\alpha ,n}}$

Propriétés

Chaque sous - niveau J _{α , n} est transitive et contient tous les ordinaux inférieure ou égale à αω  +  n . La séquence de sous-niveaux est strictement croissante en  n , puisqu'un prédicat Σ _m est aussi Σ _n pour tout n  >  m . Les niveaux J _α seront donc transitive et strictement croissante aussi bien, et sont également fermés sous couplage, -comprehension et la fermeture transitive. De plus, ils ont la propriété de ${\displaystyle \Delta _{0}}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\text{Pow}}(J_{\alpha })={\text{Def}}(J_{\alpha }),}$

comme voulu.

Les niveaux et sous-niveaux sont eux-mêmes Σ ₁ uniformément définissables (c'est-à-dire que la définition de J _{α , n} dans J _β ne dépend pas de  β ), et ont un ordre uniforme Σ ₁ bien ordonné. Enfin, les niveaux de la hiérarchie de Jensen satisfont à un lemme de condensation tout comme les niveaux de la hiérarchie originale de Gödel.

Fonctions rudimentaires

Une fonction rudimentaire est une fonction qui peut être obtenue à partir des opérations suivantes :

• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i est rudimentaire
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = { x _i , x _j } est rudimentaire
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i − x _j est rudimentaire
• Toute composition de fonctions rudimentaires est rudimentaire
• ∪ _{z ∈ Y} G ( z , x ₁ , x ₂ , ...) est rudimentaire

Pour tout ensemble M, soit rud( M ) le plus petit ensemble contenant M { M } fermé sous les opérations rudimentaires. Alors la hiérarchie de Jensen satisfait J _α+1 = rud( J _α ).

Les références

• Sy Friedman (2000) Structure fine et forçage de classe , Walter de Gruyter, ISBN  3-11-016777-8