K- théorie - K-theory

En mathématiques , la K-théorie est, grosso modo, l'étude d'un anneau généré par des faisceaux vectoriels sur un espace ou un schéma topologique . En topologie algébrique , il s'agit d'une théorie de cohomologie connue sous le nom de K-théorie topologique . En algèbre et en géométrie algébrique , on parle de K-théorie algébrique . C'est également un outil fondamental dans le domaine des algèbres d'opérateurs . Elle peut être vue comme l'étude de certains types d' invariants de grandes matrices .

La K-théorie implique la construction de familles de K - foncteurs qui mappent des espaces ou schémas topologiques aux anneaux associés; ces anneaux reflètent certains aspects de la structure des espaces ou des schémas originaux. Comme pour les foncteurs à groupes dans la topologie algébrique, la raison de ce mappage fonctoriel est qu'il est plus facile de calculer certaines propriétés topologiques à partir des anneaux mappés qu'à partir des espaces ou schémas d'origine. Des exemples de résultats tirés de l'approche de la théorie K incluent le théorème de Grothendieck – Riemann – Roch , la périodicité de Bott , le théorème d'indice Atiyah – Singer et les opérations d'Adams .

En physique des hautes énergies , la K-théorie et en particulier la K-théorie tordue sont apparues dans la théorie des cordes de Type II où l'on a supposé qu'elles classaient les D-branes , les intensités de champ Ramond – Ramond et aussi certains spineurs sur des variétés complexes généralisées . En physique de la matière condensée, la K-théorie a été utilisée pour classer les isolants topologiques , les supraconducteurs et les surfaces de Fermi stables . Pour plus de détails, voir K-théorie (physique) .

Achèvement de Grothendieck

L'achèvement de Grothendieck d'un monoïde abélien en un groupe abélien est un ingrédient nécessaire pour définir la théorie K puisque toutes les définitions commencent par construire un monoïde abélien à partir d'une catégorie appropriée et le transformer en un groupe abélien grâce à cette construction universelle. Étant donné un monoïde commutatif laissa être la relation sur définie par ${\ displaystyle (A, + ')}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle A ^ {2} = A \ fois A}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}$

s'il existe un tel que Then, l'ensemble a la structure d'un groupe où: ${\ displaystyle c \ dans A}$${\ displaystyle a_ {1} + 'b_ {2} +' c = a_ {2} + 'b_ {1} +' c.}$${\ displaystyle G (A) = A ^ {2} / \ sim}$ ${\ displaystyle (G (A), +)}$

${\ displaystyle [(a_ {1}, a_ {2})] + [(b_ {1}, b_ {2})] = [(a_ {1} + 'b_ {1}, a_ {2} +' b_ {2})].}$

Les classes d'équivalence dans ce groupe doivent être considérées comme des différences formelles d'éléments dans le monoïde abélien. Ce groupe est également associé à un homomorphisme monoïde donné par lequel possède une certaine propriété universelle . ${\ displaystyle (G (A), +)}$${\ displaystyle i: A \ à G (A)}$${\ displaystyle a \ mapsto [(a, 0)],}$

Pour mieux comprendre ce groupe, considérons quelques classes d'équivalence du monoïde abélien . Ici, nous désignerons l'élément d'identité de par de sorte que ce sera l'élément d'identité de First, pour tout puisque nous pouvons définir et appliquer l'équation de la relation d'équivalence pour obtenir Cela implique ${\ displaystyle (A, +)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle [(0,0)]}$${\ Displaystyle (G (A), +).}$${\ displaystyle (0,0) \ sim (n, n)}$${\ displaystyle n \ dans A}$${\ displaystyle c = 0}$${\ Displaystyle n = n.}$

${\ displaystyle [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = [(0,0)]}$

par conséquent, nous avons un inverse additif pour chaque élément dans . Cela devrait nous donner l'indication que nous devrions considérer les classes d'équivalence comme des différences formelles Une autre observation utile est l'invariance des classes d'équivalence sous mise à l'échelle: ${\ displaystyle G (A)}$${\ displaystyle [(a, b)]}$${\ displaystyle ab.}$

${\ Displaystyle (a, b) \ sim (a + k, b + k)}$ pour toute ${\ displaystyle k \ dans A.}$

La complétion de Grothendieck peut être considérée comme un foncteur et elle a la propriété d'être laissée adjointe au foncteur oublieux correspondant Cela signifie que, étant donné un morphisme d'un monoïde abélien au monoïde abélien sous-jacent d'un groupe abélien, il existe un groupe abélien unique morphisme ${\ displaystyle G: \ mathbf {AbMon} \ to \ mathbf {AbGrp},}$ ${\ displaystyle U: \ mathbf {AbGrp} \ to \ mathbf {AbMon}.}$${\ displaystyle \ phi: A \ à U (B)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ Displaystyle G (A) \ à B.}$

Exemple pour les nombres naturels

Un exemple illustratif à regarder est l'achèvement de Grothendieck . Nous pouvons voir que pour toute paire, nous pouvons trouver un représentant minimal en utilisant l'invariance sous mise à l'échelle. Par exemple, nous pouvons voir à partir de l'invariance d'échelle que ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle G ((\ mathbb {N}, +)) = (\ mathbb {Z}, +).}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (a ', b')}$

${\ displaystyle (4,6) \ sim (3,5) \ sim (2,4) \ sim (1,3) \ sim (0,2)}$

En général, si alors ${\ displaystyle k: = \ min \ {a, b \}}$

${\ Displaystyle (a, b) \ sim (ak, bk)}$ qui est de la forme ou ${\ displaystyle (c, 0)}$${\ displaystyle (0, d).}$

Cela montre que nous devrions considérer les comme des entiers positifs et les comme des entiers négatifs. ${\ displaystyle (a, 0)}$${\ displaystyle (0, b)}$

Définitions

Il existe un certain nombre de définitions de base de la K-théorie: deux provenant de la topologie et deux de la géométrie algébrique.

Groupe Grothendieck pour les espaces compacts Hausdorff

Étant donné un compact espace Hausdorff considérer l'ensemble des classes d'isomorphisme de vectoriel de dimension finie sur bundles , notée et laisser la classe d'un vecteur isomorphisme paquet notée . Puisque les classes d'isomorphisme des faisceaux vectoriels se comportent bien par rapport aux sommes directes , nous pouvons écrire ces opérations sur les classes d'isomorphisme par ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}$${\ displaystyle \ pi: E \ à X}$${\ displaystyle [E]}$

${\ displaystyle [E] \ oplus [E '] = [E \ oplus E']}$

Il devrait être clair qu'il s'agit d'un monoïde abélien où l'unité est donnée par le fibré vectoriel trivial . Nous pouvons ensuite appliquer la complétion de Grothendieck pour obtenir un groupe abélien à partir de ce monoïde abélien. C'est ce qu'on appelle la K-théorie de et est noté . ${\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {0} \ times X \ to X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$

Nous pouvons utiliser le théorème de Serre – Swan et une certaine algèbre pour obtenir une description alternative des faisceaux vectoriels sur l'anneau de fonctions continues à valeurs complexes en tant que modules projectifs . Ensuite, ceux-ci peuvent être identifiés avec des matrices idempotentes dans un anneau de matrices . Nous pouvons définir des classes d'équivalence de matrices idempotentes et former un monoïde abélien . Son achèvement Grothendieck est également appelé . L'une des principales techniques de calcul du groupe de Grothendieck pour les espaces topologiques provient de la séquence spectrale Atiyah – Hirzebruch , ce qui la rend très accessible. Les seuls calculs nécessaires pour comprendre les séquences spectrales sont le calcul du groupe pour les sphères ^{pg 51-110} . ${\ displaystyle C ^ {0} (X; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle M_ {n \ fois n} (C ^ {0} (X; \ mathbb {C}))}$${\ displaystyle {\ textbf {Idem}} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0}}$${\ displaystyle S ^ {n}}$

Groupe Grothendieck de faisceaux vectoriels en géométrie algébrique

Il existe une construction analogue en considérant les faisceaux vectoriels en géométrie algébrique . Pour un schéma noéthérien, il existe un ensemble de toutes les classes d'isomorphisme des faisceaux de vecteurs algébriques sur . Ensuite, comme précédemment, la somme directe des classes d'isomorphismes des faisceaux de vecteurs est bien définie, donnant un monoïde abélien . Ensuite, le groupe de Grothendieck est défini par l'application de la construction de Grothendieck sur ce monoïde abélien. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$

Groupe de Grothendieck de poulies cohérentes en géométrie algébrique

En géométrie algébrique, la même construction peut être appliquée aux faisceaux de vecteurs algébriques sur un schéma lisse. Mais, il existe une construction alternative pour tout schéma noéthérien . Si nous regardons les classes d'isomorphisme des faisceaux cohérents, nous pouvons moduler par la relation s'il y a une séquence exacte courte${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} (X)}$${\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] = [{\ mathcal {E}} '] + [{\ mathcal {E}}' ']}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} '\ to {\ mathcal {E}} \ to {\ mathcal {E}}' '\ to 0.}$

Cela donne le groupe de Grothendieck qui est isomorphe à si est lisse. Le groupe est spécial car il y a aussi une structure en anneau: nous le définissons comme ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

${\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] \ cdot [{\ mathcal {E}} '] = \ sum (-1) ^ {k} \ left [\ operatorname {Tor} _ {k} ^ {{ \ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}}, {\ mathcal {E}} ') \ right].}$

En utilisant le théorème de Grothendieck – Riemann – Roch , nous avons que

${\ displaystyle \ operatorname {ch}: K_ {0} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ to A (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$

est un isomorphisme des anneaux. Par conséquent, nous pouvons utiliser pour la théorie des intersections . ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

Histoire ancienne

On peut dire que le sujet commence par Alexander Grothendieck (1957), qui l'a utilisé pour formuler son théorème de Grothendieck – Riemann – Roch . Il tire son nom de la Klasse allemande , qui signifie «classe». Grothendieck nécessaires pour travailler avec faisceaux cohérents sur une variété algébrique X . Plutôt que de travailler directement avec les faisceaux, il a défini un groupe utilisant des classes d'isomorphisme de faisceaux comme générateurs du groupe, soumis à une relation qui identifie toute extension de deux faisceaux avec leur somme. Le groupe résultant est appelé K ( X ) lorsque seules des poulies libres localement sont utilisées, ou G ( X ) lorsque toutes sont des poulies cohérentes. L'une ou l'autre de ces deux constructions est appelée le groupe Grothendieck ; K ( X ) a un comportement cohomologique et G ( X ) a un comportement homologique .

Si X est une variété lisse , les deux groupes sont identiques. S'il s'agit d'une variété affine lisse , toutes les extensions de poulies localement libres se divisent, de sorte que le groupe a une définition alternative.

En topologie , en appliquant la même construction aux faisceaux vectoriels , Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch ont défini K ( X ) pour un espace topologique X en 1959, et en utilisant le théorème de périodicité de Bott, ils en ont fait la base d'une extraordinaire théorie de la cohomologie . Il a joué un rôle majeur dans la deuxième démonstration du théorème de l' indice Atiyah-Singer (vers 1962). De plus, cette approche a conduit à une K-théorie non commutative pour les algèbres C * .

Déjà en 1955, Jean-Pierre Serre avait utilisé l'analogie des faisceaux vectoriels avec des modules projectifs pour formuler la conjecture de Serre , qui stipule que tout module projectif de génération finie sur un anneau polynomial est libre ; cette affirmation est correcte, mais n'a été réglée que 20 ans plus tard. ( Le théorème de Swan est un autre aspect de cette analogie.)

Développements

L'autre origine historique de la K-théorie algébrique était le travail de JHC Whitehead et d'autres sur ce qui est devenu plus tard connu sous le nom de torsion de Whitehead .

Il a suivi une période au cours de laquelle il y avait diverses définitions partielles des foncteurs supérieurs de la K-théorie . Enfin, deux définitions utiles et équivalentes ont été données par Daniel Quillen en utilisant la théorie de l'homotopie en 1969 et 1972. Une variante a également été donnée par Friedhelm Waldhausen afin d'étudier la K-théorie algébrique des espaces, qui est liée à l'étude des pseudo-isotopies . De nombreuses recherches modernes sur la K-théorie supérieure sont liées à la géométrie algébrique et à l'étude de la cohomologie motivique .

Les constructions correspondantes impliquant une forme quadratique auxiliaire ont reçu le nom général de L-théorie . C'est un outil majeur de la théorie de la chirurgie .

En théorie des cordes , la classification en théorie K des intensités de champ de Ramond – Ramond et des charges des D-branes stables a été proposée pour la première fois en 1997.

Exemples et propriétés

K ₀ d'un champ

L'exemple le plus simple du groupe Grothendieck est le groupe Grothendieck d'un point pour un champ . Puisqu'un fibré vectoriel sur cet espace n'est qu'un espace vectoriel de dimension finie, qui est un objet libre dans la catégorie des faisceaux cohérents, donc projectifs, le monoïde des classes d'isomorphisme correspond à la dimension de l'espace vectoriel. C'est un exercice facile de montrer que le groupe Grothendieck l'est alors . ${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

K ₀ d'une algèbre artinienne sur un champ

Une propriété importante du groupe de Grothendieck d'un schéma noéthérien est qu'il est invariant sous réduction, par conséquent . Par conséquent, le groupe de Grothendieck de toute algèbre artinienne est une somme directe de copies de , une pour chaque composante connectée de son spectre. Par example, ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K (X) = K (X _ {\ text {rouge}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

K ₀ d'espace projectif

L'un des calculs les plus couramment utilisés du groupe de Grothendieck est le calcul de l'espace projectif sur un champ. En effet, les nombres d'intersection d'un projectif peuvent être calculés en incorporant et en utilisant la formule push pull . Cela permet de faire des calculs concrets avec des éléments en sans avoir à connaître explicitement sa structure puisque ${\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle i ^ {*} ([i _ {*} {\ mathcal {E}}] \ cdot [i _ {*} {\ mathcal {F}}])}$${\ displaystyle K (X)}$

Une technique pour déterminer le groupe de Grothendieck vient de sa stratification comme ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ puisque le groupe de grothendieck de poulies cohérentes sur les espaces affines est isomorphe à , et l'intersection de est génériquement ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1}}, \ mathbb {A} ^ {n-k_ {2}}}$ pour . ${\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} \ leq n}$

K ₀ d'un faisceau projectif

Une autre formule importante pour le groupe de Grothendieck est la formule du faisceau projectif: étant donné un faisceau de vecteurs de rang r sur un schéma noéthérien , le groupe de Grothendieck du faisceau projectif est un module libre de rang r avec base . Cette formule permet de calculer le groupe de Grothendieck . Cela permet de calculer les surfaces ou Hirzebruch. De plus, cela peut être utilisé pour calculer le groupe de Grothendieck en observant qu'il s'agit d'un faisceau projectif sur le terrain . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} ^ {\ bullet} ({\ mathcal {E}} ^ {\ vee}))}$${\ displaystyle K (X)}$${\ displaystyle 1, \ xi, \ dots, \ xi ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {F}} ^ {n}}$${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$

K ₀ d'espaces singuliers et d'espaces avec singularités quotientes isolées

Une technique récente pour calculer le groupe d'espaces de Grothendieck avec des singularités mineures vient de l'évaluation de la différence entre et , qui vient du fait que chaque fibré vectoriel peut être décrit de manière équivalente comme un faisceau cohérent. Ceci est fait en utilisant le groupe Grothendieck de la catégorie Singularité à partir de la géométrie algébrique non commutative dérivée . Cela donne une longue séquence exacte commençant par ${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle D_ {sg} (X)}$

où les termes les plus élevés proviennent de la K-théorie supérieure . Notez que les faisceaux vectoriels au singulier sont donnés par des faisceaux vectoriels au locus lisse . Cela permet de calculer le groupe de Grothendieck sur des espaces projectifs pondérés car ils ont généralement des singularités de quotient isolées. En particulier, si ces singularités ont des groupes d'isotropie, la carte ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E \ à X_ {sm}}$${\ displaystyle X_ {sm} \ hookrightarrow X}$${\ displaystyle G_ {i}}$ est injectif et le cokernel est annihilé par pour ^{pg 3} . ${\ displaystyle {\ text {lcm}} (| G_ {1} |, \ ldots, | G_ {k} |) ^ {n-1}}$${\ displaystyle n = \ dim X}$

K ₀ d'une courbe projective lisse

Pour une courbe projective lisse, le groupe Grothendieck est ${\ displaystyle C}$

$${\ displaystyle K_ {0} (C) = \ mathbb {Z} \ oplus {\ text {Pic}} (C)}$$

pour le groupe Picard de . Ceci découle de la séquence spectrale de Brown-Gersten-Quillen ^{pg 72} de la K-théorie algébrique . Pour un schéma régulier de type fini sur un champ, il existe une séquence spectrale convergente ${\ displaystyle C}$

$${\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = \ coprod _ {x \ in X ^ {(p)}} K ^ {- pq} (k (x)) \ Rightarrow K _ {- pq} (X )}$$

pour l'ensemble des points de codimension , c'est-à-dire l'ensemble des sous - schémas de codimension , et le champ de fonction algébrique du sous-schéma. Cette séquence spectrale a la propriété ^{pg 80}${\ displaystyle X ^ {(p)}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x: Y \ à X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle k (x)}$ pour l'anneau de Chow , donnant essentiellement le calcul de . Notez que parce qu'il n'a pas de points de codimension , les seules parties non triviales de la séquence spectrale sont , par conséquent ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {0} (C)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle E_ {1} ^ {0, q}, E_ {1} ^ {1, q}}$ La filtration coniveau peut ensuite être utilisée pour déterminer comme somme directe explicite souhaitée car elle donne une séquence exacte ${\ displaystyle K_ {0} (C)}$ où le terme de gauche est isomorphe à et le terme de droite est isomorphe à . Depuis , nous avons la séquence des groupes abéliens au-dessus des divisions, donnant l'isomorphisme. Notez que si est une courbe projective lisse de genre over , alors ${\ displaystyle {\ text {CH}} ^ {1} (C) \ cong {\ text {Pic}} (C)}$${\ displaystyle CH ^ {0} (C) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ text {Ext}} _ {\ text {Ab}} ^ {1} (\ mathbb {Z}, G) = 0}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ De plus, les techniques ci-dessus utilisant la catégorie dérivée des singularités pour les singularités isolées peuvent être étendues aux singularités isolées de Cohen-Macaulay , donnant des techniques pour calculer le groupe de Grothendieck de toute courbe algébrique singulière. C'est parce que la réduction donne une courbe génériquement lisse, et toutes les singularités sont Cohen-Macaulay.

Applications

Packs virtuels

Une application utile du groupe Grothendieck est de définir des faisceaux vectoriels virtuels. Par exemple, si nous avons une incorporation d'espaces lisses, il y a une courte séquence exacte ${\ displaystyle Y \ hookrightarrow X}$

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega _ {Y} \ to \ Omega _ {X} | _ {Y} \ to C_ {Y / X} \ to 0}$

où est le faisceau conormal de in . Si nous avons un espace singulier intégré dans un espace lisse, nous définissons le faisceau conormal virtuel comme ${\ displaystyle C_ {Y / X}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle [\ Omega _ {X} | _ {Y}] - [\ Omega _ {Y}]}$

Une autre application utile des faisceaux virtuels est la définition d'un faisceau tangent virtuel d'une intersection d'espaces: Soit des sous-variétés projectives d'une variété projective lisse. Ensuite, nous pouvons définir le faisceau tangent virtuel de leur intersection comme ${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} \ subset X}$${\ displaystyle Z = Y_ {1} \ cap Y_ {2}}$

${\ displaystyle [T_ {Z}] ^ {vir} = [T_ {Y_ {1}}] | _ {Z} + [T_ {Y_ {2}}] | _ {Z} - [T_ {X}] | _ {Z}.}$

Kontsevich utilise cette construction dans l'un de ses papiers.

Personnages de Chern

Les classes de Chern peuvent être utilisées pour construire un homomorphisme d'anneaux de la K-théorie topologique d'un espace à (l'achèvement de) sa cohomologie rationnelle. Pour un faisceau de lignes L , le caractère de Chern ch est défini par

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ {1} (L)): = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}$

Plus généralement, si est une somme directe de faisceaux de lignes, avec les premières classes de Chern, le caractère Chern est défini de manière additive ${\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ dots \ oplus L_ {n}}$${\ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ dots + e ^ {x_ {n}}: = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + \ points + x_ {n} ^ {m}).}$

Le caractère Chern est utile en partie car il facilite le calcul de la classe Chern d'un produit tensoriel. Le caractère Chern est utilisé dans le théorème de Hirzebruch – Riemann – Roch .

Théorie K équivariante

La K-théorie algébrique équivariante est une K-théorie algébrique associée à la catégorie des faisceaux cohérents équivariants sur un schéma algébrique avec action d'un groupe algébrique linéaire , via la Q-construction de Quillen ; ainsi, par définition, ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = \ pi _ {i} (B ^ {+} \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}$

En particulier, est le groupe de Grothendieck . La théorie a été développée par RW Thomason dans les années 1980. Plus précisément, il a prouvé des analogues équivariants de théorèmes fondamentaux tels que le théorème de localisation. ${\ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

Voir également

• Périodicité du fond
• Théorie KK
• Théorie KR
• Liste des théories de la cohomologie
• K-théorie algébrique
• K-théorie topologique
• Opérateur K-théorie
• Théorème de Grothendieck – Riemann – Roch

Remarques

Les références

• Atiyah, Michael Francis (1989). K-théorie . Advanced Book Classics (2e éd.). Addison-Wesley . ISBN   978-0-201-09394-0 . MR   1043170 .
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, éds. (2005). Manuel de K-Theory . Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN   978-3-540-30436-4 . MR   2182598 .
• Park, Efton (2008). K-théorie topologique complexe . Études de Cambridge en mathématiques avancées. 111 . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN   978-0-521-85634-8 .
• Swan, RG (1968). K-théorie algébrique . Notes de cours en mathématiques. 76 . Springer . ISBN   3-540-04245-8 .
• Karoubi, Max (1978). K-théorie: une introduction . Classiques en mathématiques. Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN   0-387-08090-2 .
• Karoubi, Max (2006). "K-théorie. Une introduction élémentaire". arXiv : math / 0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Bundles Vectoriels et K-Théorie" .
• Weibel, Charles (2013). Le K-book: une introduction à la K-théorie algébrique . Grad. Études en mathématiques. 145 . Société américaine de mathématiques. ISBN   978-0-8218-9132-2 .

Liens externes

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Page de Max Karoubi
• Archive de pré-impression de la théorie K