Cinématique - Kinematics
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La cinématique est un sous-domaine de la physique, développé en mécanique classique , qui décrit le mouvement de points, de corps (objets) et de systèmes de corps (groupes d'objets) sans tenir compte des forces qui les font se déplacer. La cinématique, en tant que domaine d'étude, est souvent appelée « géométrie du mouvement » et est parfois considérée comme une branche des mathématiques. Un problème cinématique commence par décrire la géométrie du système et déclarer les conditions initiales de toutes les valeurs connues de position, de vitesse et/ou d'accélération des points dans le système. Ensuite, en utilisant des arguments de géométrie, la position, la vitesse et l'accélération de toutes les parties inconnues du système peuvent être déterminées. L'étude de la façon dont les forces agissent sur les corps relève de la cinétique et non de la cinématique. Pour plus de détails, voir dynamique analytique .
La cinématique est utilisée en astrophysique pour décrire le mouvement des corps célestes et les collections de ces corps. En génie mécanique , en robotique et en biomécanique, la cinématique est utilisée pour décrire le mouvement de systèmes composés de pièces jointes (systèmes multi-liens) tels qu'un moteur , un bras robotique ou le squelette humain .
Les transformations géométriques, également appelées transformations rigides , sont utilisées pour décrire le mouvement des composants d'un système mécanique , simplifiant la dérivation des équations du mouvement. Ils sont également au cœur de l'analyse dynamique .
L'analyse cinématique est le processus de mesure des quantités cinématiques utilisées pour décrire le mouvement. En ingénierie, par exemple, l'analyse cinématique peut être utilisée pour trouver l'amplitude de mouvement pour un mécanisme donné et travailler en sens inverse, en utilisant la synthèse cinématique pour concevoir un mécanisme pour une amplitude de mouvement souhaitée. De plus, la cinématique applique la géométrie algébrique à l'étude de l' avantage mécanique d'un système ou d'un mécanisme mécanique.
Étymologie du terme
La cinématique à long terme est la version anglaise de AM Ampère de Cinématique , qu'il construit à partir du grec κίνημα Kinema ( « mouvement, le mouvement »), lui - même dérivé de κινεῖν kinein ( « déplacer »).
Cinématique et cinématique sont liés au mot français cinéma, mais aucun n'en est directement dérivé. Cependant, ils partagent un mot racine en commun, car cinéma vient de la forme abrégée de cinématographe, "projecteur et caméra de cinéma", encore une fois du mot grec pour mouvement et du grec γρᾰ́φω grapho ("écrire").
Cinématique d'une trajectoire de particules dans un référentiel non tournant
La cinématique des particules est l'étude de la trajectoire des particules. La position d'une particule est définie comme le vecteur de coordonnées depuis l'origine d'un cadre de coordonnées jusqu'à la particule. Par exemple, considérons une tour à 50 m au sud de votre maison, où le cadre de coordonnées est centré sur votre maison, de sorte que l'est est dans la direction de l' axe x et le nord est dans la direction de l' axe y , alors la coordonnée le vecteur à la base de la tour est r = (0, -50 m, 0). Si la tour a une hauteur de 50 m et que cette hauteur est mesurée le long de l' axe z , alors le vecteur de coordonnées au sommet de la tour est r = (0, -50 m, 50 m) .
Dans le cas le plus général, un système de coordonnées tridimensionnel est utilisé pour définir la position d'une particule. Cependant, si la particule est contrainte de se déplacer dans un plan, un système de coordonnées à deux dimensions est suffisant. Toutes les observations en physique sont incomplètes sans être décrites par rapport à un référentiel.
Le vecteur position d'une particule est un vecteur tracé depuis l'origine du référentiel jusqu'à la particule. Il exprime à la fois la distance du point à l'origine et sa direction à partir de l'origine. En trois dimensions, le vecteur de position peut être exprimé sous la forme
La trajectoire d'une particule est un vecteur fonction du temps, , qui définit la courbe tracée par la particule en mouvement, donnée par
Vitesse et vitesse
La vitesse d'une particule est une quantité vectorielle qui décrit la magnitude ainsi que la direction du mouvement de la particule. Plus mathématiquement, le taux de changement du vecteur de position d'un point, par rapport au temps, est la vitesse du point. Considérons le rapport formé en divisant la différence de deux positions d'une particule par l'intervalle de temps. Ce rapport est appelé la vitesse moyenne sur cet intervalle de temps et est défini comme
La vitesse d'un objet est l'amplitude de sa vitesse. C'est une grandeur scalaire :
Accélération
Le vecteur vitesse peut changer d'amplitude et de direction ou les deux à la fois. Par conséquent, l'accélération représente à la fois le taux de changement de l'amplitude du vecteur vitesse et le taux de changement de direction de ce vecteur. Le même raisonnement utilisé par rapport à la position d'une particule pour définir la vitesse, peut être appliqué à la vitesse pour définir l'accélération. L' accélération d'une particule est le vecteur défini par le taux de variation du vecteur vitesse. L'accélération moyenne d'une particule sur un intervalle de temps est définie comme le rapport.
L'accélération de la particule est la limite de l'accélération moyenne lorsque l'intervalle de temps se rapproche de zéro, qui est la dérivée du temps,
La magnitude de l' accélération d'un objet est la magnitude | un | de son vecteur d'accélération. C'est une grandeur scalaire :
Vecteur de position relative
Un vecteur de position relative est un vecteur qui définit la position d'un point par rapport à un autre. C'est la différence de position des deux points. La position d'un point A par rapport à un autre point B est simplement la différence entre leurs positions
qui est la différence entre les composantes de leurs vecteurs de position.
Si le point A a des composantes de position
Si le point B a des composantes de position
alors la position du point A par rapport au point B est la différence entre leurs composantes :
Vitesse relative
La vitesse d'un point par rapport à un autre est simplement la différence entre leurs vitesses
Si le point A a des composantes de vitesse et le point
B a des composantes de vitesse, alors la vitesse du point A par rapport au point B est la différence entre leurs composantes :Alternativement, ce même résultat pourrait être obtenu en calculant la dérivée temporelle du vecteur de position relative r B/A .
Dans le cas où la vitesse est proche de la vitesse de la lumière c (généralement à moins de 95%), un autre schéma de vitesse relative appelé rapidity , qui dépend du rapport de v à c , est utilisé en relativité restreinte .
Accélération relative
L'accélération d'un point C par rapport à un autre point B est simplement la différence entre leurs accélérations.
Si le point C a des composantes d'accélération et le point
B a des composantes d'accélération, alors l'accélération du point C par rapport au point B est la différence entre leurs composantes :Alternativement, ce même résultat pourrait être obtenu en calculant la dérivée seconde dans le temps du vecteur de position relative r B/A .
En supposant que les conditions initiales de la position, , et de la vitesse au temps soient connues, la première intégration donne la vitesse de la particule en fonction du temps.
Une seconde intégration donne son chemin (trajectoire),
Des relations supplémentaires entre le déplacement, la vitesse, l'accélération et le temps peuvent être dérivées. L'accélération étant constante,
Une relation entre la vitesse, la position et l'accélération sans dépendance explicite du temps peut être obtenue en résolvant l'accélération moyenne pour le temps et en substituant et simplifiant
Le produit scalaire peut être remplacé par le cosinus de l'angle α entre les vecteurs (voir interprétation géométrique du produit scalaire pour plus de détails) et les vecteurs de leurs amplitudes, auquel cas:
Dans le cas d' une accélération toujours dans le sens du mouvement et la direction du mouvement doit être en positif ou négatif, l'angle entre les vecteurs ( α ) est de 0, donc , et
Cela réduit les équations paramétriques du mouvement de la particule à une relation cartésienne de vitesse en fonction de la position. Cette relation est utile lorsque le temps est inconnu. Nous savons également que ou est l'aire sous un graphique vitesse-temps.
Nous pouvons prendre en ajoutant la zone supérieure et la zone inférieure. La zone inférieure est un rectangle et la zone d'un rectangle est la où est la largeur et la hauteur. Dans ce cas et (notez que l' ici est différent de l'accélération ). Cela signifie que la zone inférieure est . Trouvons maintenant la zone supérieure (un triangle). L'aire d'un triangle est où est la base et est la hauteur. Dans ce cas, et ou . L'addition et les résultats dans l'équation entraînent l'équation . Cette équation est applicable lorsque la vitesse finale
v est inconnue.Trajectoires de particules en coordonnées cylindro-polaires
Il est souvent commode de formuler la trajectoire d'une particule r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) en utilisant les coordonnées polaires dans le X - Y plan. Dans ce cas, sa vitesse et son accélération prennent une forme commode.
Rappelons que la trajectoire d'une particule P est définie par son vecteur de coordonnées r mesuré dans un repère fixe F . Lorsque la particule se déplace, son vecteur de coordonnées r ( t ) trace sa trajectoire, qui est une courbe dans l'espace, donnée par :
Considérons une particule P qui se déplace uniquement sur la surface d'un cylindre circulaire r ( t ) = constante, il est possible d'aligner l' axe Z du repère fixe F avec l'axe du cylindre. Ensuite, l'angle θ autour de cet axe dans le X - Y plan peut être utilisé pour définir la trajectoire que,
Les coordonnées cylindriques pour r ( t ) peuvent être simplifiées en introduisant les vecteurs unitaires radiaux et tangentiels,
En utilisant cette notation, r ( t ) prend la forme,
De même, l'accélération a P , qui est la dérivée temporelle de la vitesse v P , est donnée par :
Le terme agit vers le centre de courbure du chemin à ce point sur le chemin, est communément appelé l'accélération centripète. Le terme est appelé accélération de Coriolis.
Rayon constant
Si la trajectoire de la particule est contrainte de reposer sur un cylindre, alors le rayon R est constant et les vecteurs vitesse et accélération se simplifient. La vitesse de v P est la dérivée temporelle de la trajectoire r ( t ),
Trajectoires circulaires planes
Un cas particulier de trajectoire de particules sur un cylindre circulaire se produit lorsqu'il n'y a pas de mouvement le long de l' axe Z :
L'accélération a P de la particule P est maintenant donnée par :
Les composants
La notation pour la vitesse angulaire et l'accélération angulaire est souvent définie comme
Trajectoires de points dans un corps se déplaçant dans le plan
Le mouvement des composants d'un système mécanique est analysé en attachant un cadre de référence à chaque partie et en déterminant comment les différents cadres de référence se déplacent les uns par rapport aux autres. Si la rigidité structurelle des pièces est suffisante, alors leur déformation peut être négligée et des transformations rigides peuvent être utilisées pour définir ce mouvement relatif. Ceci réduit la description du mouvement des différentes parties d'un système mécanique compliqué à un problème de description de la géométrie de chaque partie et d'association géométrique de chaque partie par rapport aux autres parties.
La géométrie est l'étude des propriétés des figures qui restent les mêmes tandis que l'espace se transforme de diverses manières - plus techniquement, c'est l'étude des invariants sous un ensemble de transformations. Ces transformations peuvent provoquer le déplacement du triangle dans le plan, tout en laissant inchangés l'angle au sommet et les distances entre les sommets. La cinématique est souvent décrite comme une géométrie appliquée, où le mouvement d'un système mécanique est décrit à l'aide des transformations rigides de la géométrie euclidienne.
Les coordonnées des points dans un plan sont des vecteurs à deux dimensions dans R 2 (espace à deux dimensions). Les transformations rigides sont celles qui préservent la distance entre deux points quelconques. L'ensemble des transformations rigides dans un espace à n dimensions est appelé groupe euclidien spécial sur R n , et noté SE( n ) .
Déplacements et mouvement
La position d'un composant d'un système mécanique par rapport à un autre est définie en introduisant un repère , disons M , sur l'un qui se déplace par rapport à un repère fixe, F, sur l'autre. La transformation rigide, ou déplacement, de M par rapport à F définit la position relative des deux composants. Un déplacement consiste en la combinaison d'une rotation et d'une translation .
L'ensemble de tous les déplacements de M par rapport à F est appelé l' espace de configuration de M. Une courbe lisse d'une position à une autre dans cet espace de configuration est un ensemble continu de déplacements, appelé le mouvement de M par rapport à F. Le mouvement d'un corps se compose d'un ensemble continu de rotations et de translations.
Représentation matricielle
La combinaison d'une rotation et d'une translation dans le plan R 2 peut être représentée par un certain type de matrice 3x3 appelée transformée homogène. Les 3 × 3 homogène transformée est construit à partir d' un 2 × 2 matrice de rotation A ( φ ) et le 2 × 1 vecteur translation d = ( d x , d y ), en tant que:
En particulier, soit r définir les coordonnées des points d'un repère M confondus avec un repère fixe F . Alors, lorsque l'origine de M est déplacée du vecteur de translation d par rapport à l'origine de F et tournée d'un angle par rapport à l'axe des x de F , les nouvelles coordonnées en F des points de M sont données par :
Les transformations homogènes représentent les transformations affines . Cette formulation est nécessaire car une traduction n'est pas une transformation linéaire de R 2 . Cependant, en utilisant la géométrie projective, de sorte que R 2 est considéré comme un sous-ensemble de R 3 , les translations deviennent des transformations linéaires affines.
Traduction pure
Si un corps rigide se déplace de façon que son cadre de référence M ne pas faire pivoter ( θ = 0) par rapport au châssis fixe F , le mouvement est appelée translation pure. Dans ce cas, la trajectoire de chaque point du corps est un décalage de la trajectoire d ( t ) de l'origine de M, soit :
Ainsi, pour les corps en translation pure, la vitesse et l'accélération de chaque point P du corps sont données par :
Rotation d'un corps autour d'un axe fixe
La cinématique de rotation ou angulaire est la description de la rotation d'un objet. Dans ce qui suit, l'attention est limitée à une simple rotation autour d'un axe d'orientation fixe. L' axe z a été choisi pour plus de commodité.
Position
Ceci permet de décrire une rotation comme la position angulaire d'un repère plan M par rapport à un F fixe autour de cet axe z commun. Les coordonnées p = ( x , y ) dans M sont liées aux coordonnées P = (X, Y) dans F par l'équation matricielle :
où
Rapidité
Si le point p ne se déplace pas en M , sa vitesse en F est donnée par
Accélération
L'accélération de P ( t ) dans F est obtenue comme la dérivée temporelle de la vitesse,
La description de la rotation fait alors intervenir ces trois quantités :
- Position angulaire : la distance orientée d'une origine sélectionnée sur l'axe de rotation à un point d'un objet est un vecteur r ( t ) localisant le point. Le vecteur r ( t ) a une certaine projection (ou, de façon équivalente, une composante) r ⊥ ( t ) sur un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Ensuite, la position angulaire de ce point est l'angle entre un axe de référence (généralement l'axe x positif) et le vecteur r ⊥ ( t ) dans un sens de rotation connu (généralement donné par la règle de droite ).
-
Vitesse angulaire : la vitesse angulaire ω est la vitesse à laquelle la position angulaire θ change par rapport au temps t :
-
Accélération angulaire : l'amplitude de l'accélération angulaire α est la vitesse à laquelle la vitesse angulaire ω change par rapport au temps t :
Les équations de la cinématique de translation peuvent facilement être étendues à la cinématique de rotation plane pour une accélération angulaire constante avec de simples échanges de variables :
Ici θ i et θ f sont, respectivement, les positions angulaires initiales et finales, ω i et ω f sont, respectivement, les vitesses angulaires initiales et finales, et α est l'accélération angulaire constante. Bien que la position dans l'espace et la vitesse dans l'espace soient toutes deux de vrais vecteurs (en termes de leurs propriétés sous rotation), tout comme la vitesse angulaire, l'angle lui-même n'est pas un vrai vecteur.
Trajectoires ponctuelles dans le corps se déplaçant en trois dimensions
Des formules importantes en cinématique définissent la vitesse et l'accélération des points dans un corps en mouvement lorsqu'elles tracent des trajectoires dans l'espace tridimensionnel. Ceci est particulièrement important pour le centre de masse d'un corps, qui est utilisé pour dériver des équations de mouvement en utilisant soit la deuxième loi de Newton, soit les équations de Lagrange .
Position
Afin de définir ces formules, le mouvement d'un composant B d'un système mécanique est défini par l'ensemble des rotations [A( t )] et des translations d ( t ) assemblés en la transformation homogène [T( t )]=[A ( t ), d ( t )]. Si p est les coordonnées d'un point P en B mesuré dans le repère mobile M , alors la trajectoire de ce point tracé en F est donnée par :
Cette équation pour la trajectoire de P peut être inversée pour calculer le vecteur de coordonnées p dans M comme :
Rapidité
La vitesse du point P le long de sa trajectoire P ( t ) est obtenue comme la dérivée temporelle de ce vecteur position,
Cette formule peut être modifiée pour obtenir la vitesse de P en opérant sur sa trajectoire P ( t ) mesurée dans le repère fixe F . La substitution de la transformation inverse pour p dans l'équation de vitesse donne :
En multipliant par l'opérateur [ S ], la formule de la vitesse v P prend la forme :
Accélération
L'accélération d'un point P dans un mobile B est obtenue comme la dérivée temporelle de son vecteur vitesse :
Cette équation peut être développée tout d'abord en calculant
La formule de l'accélération A P peut maintenant être obtenue sous la forme :
Contraintes cinématiques
Les contraintes cinématiques sont des contraintes sur le mouvement des composants d'un système mécanique. Les contraintes cinématiques peuvent être considérées comme ayant deux formes de base, (i) les contraintes qui découlent des charnières, des glissières et des joints à came qui définissent la construction du système, appelées contraintes holonomiques , et (ii) les contraintes imposées sur la vitesse du système telles que la contrainte en lame de couteau des patins à glace sur un plan plat, ou le roulement sans glissement d'un disque ou d'une sphère en contact avec un plan, que l'on appelle contraintes non holonomiques . Voici quelques exemples courants.
Couplage cinématique
Un couplage cinématique contraint exactement les 6 degrés de liberté.
Rouler sans glisser
Un objet qui roule contre une surface sans glisser obéit à la condition que la vitesse de son centre de masse soit égale au produit vectoriel de sa vitesse angulaire avec un vecteur du point de contact au centre de masse :
Dans le cas d'un objet qui ne bascule ni ne tourne, cela se réduit à .
Cordon inextensible
C'est le cas où les corps sont reliés par une corde idéalisée qui reste en tension et ne peut pas changer de longueur. La contrainte est que la somme des longueurs de tous les segments de la corde est la longueur totale, et par conséquent la dérivée temporelle de cette somme est nulle. Un problème dynamique de ce type est le pendule . Un autre exemple est un tambour tourné par l'attraction de la gravité sur un poids tombant attaché à la jante par la corde inextensible. Un problème d' équilibre (ie non cinématique) de ce type est la caténaire .
Paires cinématiques
Reuleaux appelle les connexions idéales entre les composants qui forment une machine des paires cinématiques . Il fait la distinction entre les paires supérieures dont on dit qu'elles ont un contact linéaire entre les deux maillons et les paires inférieures qui ont un contact superficiel entre les maillons. J. Phillips montre qu'il existe de nombreuses façons de construire des paires qui ne correspondent pas à cette classification simple.
Paire inférieure
Une paire inférieure est une articulation idéale, ou une contrainte holonome, qui maintient le contact entre un point, une ligne ou un plan dans un corps solide en mouvement (tridimensionnel) et une ligne ou un plan de point correspondant dans le corps solide fixe. Il y a les cas suivants :
- Une paire de révolutions, ou articulation articulée, nécessite qu'une ligne, ou un axe, dans le corps mobile reste colinéaire avec une ligne dans le corps fixe, et un plan perpendiculaire à cette ligne dans le corps mobile reste en contact avec un plan perpendiculaire similaire. dans le corps fixe. Ceci impose cinq contraintes sur le mouvement relatif des maillons, qui ont donc un degré de liberté, qui est une pure rotation autour de l'axe de la charnière.
- Un joint prismatique, ou curseur, nécessite qu'une ligne, ou un axe, dans le corps mobile reste colinéaire avec une ligne dans le corps fixe, et qu'un plan parallèle à cette ligne dans le corps mobile reste en contact avec un plan parallèle similaire dans le corps fixe. Ceci impose cinq contraintes sur le mouvement relatif des maillons, qui ont donc un degré de liberté. Ce degré de liberté est la distance du coulisseau le long de la ligne.
- Un joint cylindrique nécessite qu'une ligne, ou axe, dans le corps mobile reste colinéaire avec une ligne dans le corps fixe. C'est une combinaison d'un joint tournant et d'un joint coulissant. Cette articulation a deux degrés de liberté. La position du corps mobile est définie à la fois par la rotation autour et le glissement le long de l'axe.
- Un joint sphérique, ou joint à rotule, nécessite qu'un point du corps mobile reste en contact avec un point du corps fixe. Cette articulation a trois degrés de liberté.
- Une articulation plane nécessite qu'un plan du corps mobile reste en contact avec un plan du corps fixe. Cette articulation a trois degrés de liberté.
Paires supérieures
D'une manière générale, une paire plus élevée est une contrainte qui nécessite une courbe ou une surface dans le corps en mouvement pour maintenir le contact avec une courbe ou une surface dans le corps fixe. Par exemple, le contact entre une came et son suiveur est une paire supérieure appelée joint de came . De même, le contact entre les courbes développantes qui forment les dents d'engrènement de deux engrenages sont des joints à came.
Chaînes cinématiques
Les corps rigides (« liens ») reliés par des paires cinématiques (« joints ») sont appelés chaînes cinématiques . Les mécanismes et les robots sont des exemples de chaînes cinématiques. Le degré de liberté d'une chaîne cinématique est calculé à partir du nombre de maillons et du nombre et du type d'articulations à l'aide de la formule de mobilité . Cette formule peut également être utilisée pour énumérer les topologies de chaînes cinématiques qui ont un degré de liberté donné, ce qui est connu sous le nom de synthèse de type dans la conception de machines.
Exemples
Les liaisons planes à un degré de liberté assemblées à partir de N liaisons et j charnières ou joints coulissants sont :
- N=2, j=1 : une biellette qui est le levier ;
- N=4, j=4 : la tringlerie à quatre barres ;
- N=6, j=7 : une tringlerie à six barres . Celui-ci doit avoir deux liens ("liens ternaires") qui supportent trois articulations. Il existe deux topologies distinctes qui dépendent de la manière dont les deux liaisons ternaires sont connectées. Dans la topologie de Watt , les deux liens ternaires ont un joint commun ; dans la topologie de Stephenson , les deux liens ternaires n'ont pas de joint commun et sont reliés par des liens binaires.
- N=8, j=10 : liaison huit barres avec 16 topologies différentes ;
- N=10, j=13 : liaison dix barres avec 230 topologies différentes ;
- N=12, j=16 : liaison douze barres avec 6 856 topologies.
Pour les chaînes plus grandes et leurs topologies de liaison, voir RP Sunkari et LC Schmidt, "Synthèse structurale de chaînes cinématiques planaires en adaptant un algorithme de type Mckay", Mechanism and Machine Theory # 41, pp. 1021-1030 (2006).
Voir également
- Absement
- Accélération
- Géométrie affine § Cinématique
- Mécanique analytique
- Mécanique appliquée
- Mécanique céleste
- Force centripète
- Mécanique classique
- Distance
- Dynamique (physique)
- Force fictive
- Cinématique avant
- Tringlerie à quatre barres
- Cinématique inverse
- Jerk (physique)
- Les lois de Kepler
- Couplage cinématique
- Schéma cinématique
- Synthèse cinématique
- Cinétique (physique)
- Mouvement (physique)
- Mécanique orbitale
- Statique
- Rapidité
- Cinématique intégrale
- critère Tchebychev-Grübler-Kutzbach
Les références
Lectures complémentaires
- Koetsier, Teun (1994), "§8.3 Cinématique", dans Grattan-Guinness, Ivor (éd.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , 2 , Routledge , pp. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
- Lune, Francis C. (2007). Les Machines de Léonard de Vinci et Franz Reuleaux, Cinématique des machines de la Renaissance au XXe siècle . Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
- Eduard Study (1913) Traducteur DH Delphenich, "Fondements et objectifs de la cinématique analytique" .
Liens externes
- Applet Java de cinématique 1D
- Physclips : Mécanique avec animations et clips vidéo de l'Université de Nouvelle-Galles du Sud.
- Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL) , avec des films et des photos de centaines de modèles fonctionnels de systèmes mécaniques à l'Université Cornell et une bibliothèque de livres électroniques de textes classiques sur la conception et l'ingénierie mécaniques.
- Positionnement au micro-pouce avec des composants cinématiques