Formule Larmor - Larmor formula

Une antenne Yagi-Uda . Les ondes radio peuvent être émises par une antenne en accélérant des électrons dans l'antenne. C'est un processus cohérent , donc la puissance totale rayonnée est proportionnelle au carré du nombre d'électrons en accélération.

En électrodynamique , la formule de Larmor est utilisée pour calculer la puissance totale rayonnée par une charge ponctuelle non relativiste lors de son accélération. Il a été dérivé pour la première fois par JJ Larmor en 1897, dans le contexte de la théorie ondulatoire de la lumière .

Lorsqu'une particule chargée (comme un électron , un proton ou un ion ) accélère, elle rayonne de l'énergie sous forme d' ondes électromagnétiques . Pour des vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière , la puissance totale rayonnée est donnée par la formule de Larmor :

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ (unités SI)}}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (unités cgs)}}}$

où ou est la bonne accélération, est la charge et est la vitesse de la lumière. Une généralisation relativiste est donnée par les potentiels de Liénard-Wiechert . ${\displaystyle {\dot {v}}}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage c}$

Dans l'un ou l'autre système d'unités, la puissance rayonnée par un seul électron peut être exprimée en termes de rayon d'électron classique et de masse d'électron comme :

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$

Une implication est qu'un électron en orbite autour d'un noyau, comme dans le modèle de Bohr , devrait perdre de l'énergie, tomber sur le noyau et l'atome devrait s'effondrer. Cette énigme n'a pas été résolue avant l' introduction de la théorie quantique .

Dérivation

Dérivation 1 : Approche mathématique (en utilisant les unités CGS)

Nous devons d'abord trouver la forme des champs électriques et magnétiques. Les champs peuvent être écrits (pour une dérivation plus complète voir potentiel de Liénard-Wiechert )

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}$

et

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}$

où est la vitesse de la charge divisée par , est l'accélération de la charge divisée par c , est un vecteur unitaire dans la direction, est l'amplitude de , est l'emplacement de la charge, et . Les termes de droite sont évalués au temps retardé . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\style d'affichage c}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle t_{\text{r}}=tR/c}$

Le membre de droite est la somme des champs électriques associés à la vitesse et à l'accélération de la particule chargée. Le champ de vitesse ne dépend que de tandis que le champ d'accélération dépend à la fois de et et de la relation angulaire entre les deux. Comme le champ de vitesse est proportionnel à , il diminue très rapidement avec la distance. Par contre, le champ d'accélération est proportionnel à , ce qui signifie qu'il diminue beaucoup plus lentement avec la distance. Pour cette raison, le champ d'accélération est représentatif du champ de rayonnement et est responsable de l'évacuation de la majeure partie de l'énergie de la charge. ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\style d'affichage 1/R^{2}}$${\style d'affichage 1/R}$

On peut trouver la densité de flux énergétique du champ de rayonnement en calculant son vecteur de Poynting :

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}}, }$

où les indices 'a' soulignent que nous ne prenons que le champ d'accélération. Substituer dans la relation entre les champs magnétique et électrique en supposant que la particule instantanément au repos au temps et en simplifiant donne ${\displaystyle t_{\text{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ point {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .}$

Si l'on laisse l'angle entre l'accélération et le vecteur d'observation égal à , et que l'on introduit l'accélération , alors la puissance rayonnée par unité d' angle solide est ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c}$

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}$

La puissance totale rayonnée est trouvée en intégrant cette quantité sur tous les angles solides (c'est-à-dire sur et ). Cela donne ${\displaystyle \theta }$${\style d'affichage \phi }$

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}$

qui est le résultat de Larmor pour une charge accélérée non relativiste. Il relie la puissance rayonnée par la particule à son accélération. Cela montre clairement que plus la charge accélère rapidement, plus le rayonnement sera important. Nous nous attendrions à cela puisque le champ de rayonnement dépend de l'accélération.

Dérivation 2 : approche Edward M. Purcell

La dérivation complète peut être trouvée ici.

Voici une explication qui peut aider à comprendre la page ci-dessus.

Cette approche est basée sur la vitesse finie de la lumière. Une charge se déplaçant à vitesse constante a un champ électrique radial (à distance de la charge), émergeant toujours de la position future de la charge, et il n'y a pas de composante tangentielle du champ électrique . Cette position future est complètement déterministe tant que la vitesse est constante. Lorsque la vitesse de la charge change, (disons qu'elle rebondit pendant un court laps de temps) la position future "saute", donc à partir de ce moment et au-delà, le champ électrique radial émerge d'une nouvelle position. Etant donné que le champ électrique doit être continu, une composante tangentielle non nulle du champ électrique apparaît, qui diminue comme (contrairement à la composante radiale qui diminue comme ). ${\style d'affichage E_{r}}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage (E_{t}=0)}$${\style d'affichage E_{r}}$${\style d'affichage E_{t}}$${\style d'affichage 1/R}$${\style d'affichage 1/R^{2}}$

Ainsi, à grande distance de la charge, la composante radiale est négligeable par rapport à la composante tangentielle, et en plus de cela, les champs qui se comportent comme ne peuvent pas rayonner, car le vecteur de Poynting qui leur est associé se comportera comme . ${\style d'affichage 1/R^{2}}$${\style d'affichage 1/R^{4}}$

La composante tangentielle sort (unités SI) :

${\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta )} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}.}$

Et pour obtenir la formule de Larmour, il faut intégrer sur tous les angles, à grande distance de la charge, le vecteur de Poynting associé à , qui est : ${\style d'affichage R}$${\style d'affichage E_{t}}$

${\displaystyle \mathbf {S} ={E_{t}^{2} \over \mu _{0}c}\mathbf {\hat {r}} ={{e^{2}a^{2} \sin ^{2}(\theta )} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

donner (unités SI)

${\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}.}$

Ceci est mathématiquement équivalent à :

${\displaystyle P={{\mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}.}$

Depuis , on récupère le résultat cité en haut de l'article, à savoir ${\displaystyle c^{2}=1/\mu _{0}\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^ {2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}.}$

Généralisation relativiste

Forme covariante

Écrit en termes de quantité de mouvement, p , la formule de Larmor non relativiste est (en unités CGS)

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }} |^{2}.}$

On peut montrer que la puissance P est invariante de Lorentz . Toute généralisation relativiste de la formule de Larmor doit donc relier P à une autre quantité invariante de Lorentz. La quantité apparaissant dans la formule non relativiste suggère que la formule relativistement correcte devrait inclure le scalaire de Lorentz trouvé en prenant le produit scalaire de la quadruple accélération a ^μ = dp ^μ / d τ avec lui-même [ici p ^μ = (γ mc , γ m v ) est le quatre impulsion ]. La généralisation relativiste correcte de la formule de Larmor est (en unités CGS) ${\displaystyle |{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

On peut montrer que ce produit scalaire est donné par

${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},}$

et donc à la limite β ≪ 1 , il se réduit à , reproduisant ainsi le cas non relativiste. ${\displaystyle -|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

Forme non covariante

Le produit scalaire ci - dessus peut également être écrit en terme de β et sa dérivée dans le temps. Alors la généralisation relativiste de la formule de Larmor est (en unités CGS)

Il s'agit du résultat de Liénard, obtenu pour la première fois en 1898. Cela signifie que lorsque le facteur de Lorentz est très proche de un (c'est-à-dire ) le rayonnement émis par la particule est susceptible d'être négligeable. Cependant, à mesure que le rayonnement augmente , la particule essaie de perdre son énergie sous forme d'ondes électromagnétiques. De plus, lorsque l'accélération et la vitesse sont orthogonales, la puissance est réduite d'un facteur de , c'est-à-dire que le facteur devient . Plus le mouvement devient rapide, plus cette réduction est importante. ${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$${\displaystyle \beta \ll 1}$${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$${\displaystyle \gamma ^{6}}$${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}}$${\displaystyle \gamma ^{6}}$${\displaystyle \gamma ^{4}}$

Nous pouvons utiliser le résultat de Liénard pour prédire à quel type de pertes de rayonnement s'attendre dans différents types de mouvement.

Distribution angulaire

La distribution angulaire de la puissance rayonnée est donnée par une formule générale, applicable que la particule soit relativiste ou non. En unités CGS, cette formule est

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {|\mathbf {\hat {n}} \times [ (\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},}$

où est un vecteur unitaire pointant de la particule vers l'observateur. Dans le cas d'un mouvement linéaire (vitesse parallèle à l'accélération), cela se simplifie en ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{ 2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},}$

où est l'angle entre l'observateur et le mouvement de la particule. ${\displaystyle \theta }$

Problèmes et implications

Réaction aux radiations

Le rayonnement d'une particule chargée transporte de l'énergie et de la quantité de mouvement. Afin de satisfaire la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, la particule chargée doit subir un recul au moment de l'émission. Le rayonnement doit exercer une force supplémentaire sur la particule chargée. Cette force est connue sous le nom de force d' Abraham-Lorentz dans la limite non relativiste et de force d'Abraham-Lorentz-Dirac dans le cadre relativiste.

Physique atomique

Un électron classique dans le modèle de Bohr en orbite autour d'un noyau subit une accélération et devrait rayonner. Par conséquent, l'électron perd de l'énergie et l'électron devrait finalement s'enrouler dans le noyau. Les atomes, selon la mécanique classique, sont par conséquent instables. Cette prédiction classique est violée par l'observation d'orbites électroniques stables. Le problème est résolu avec une description mécanique quantique de la physique atomique , initialement fournie par le modèle de Bohr. Des solutions classiques à la stabilité des orbitales électroniques peuvent être démontrées en utilisant des conditions de non-rayonnement et conformément aux lois physiques connues.

Voir également

• Théorie atomique
• Rayonnement cyclotron
• Équation des ondes électromagnétiques
• Les équations de Maxwell dans l'espace-temps courbe
• Réaction aux radiations
• Équation d'onde
• Théorie des absorbeurs de Wheeler-Feynman

Remarques

Les références

• J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205-300 (Troisième et dernier d'une série d'articles du même nom).
• Jackson, John D. (1998). Électrodynamique classique (3e éd.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X. (Section 14.2 et suivantes)
• Misner, Charles ; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco : WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• RP Feynman; FB Moringo ; WG Wagner (1995). Conférences Feynman sur la gravitation . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.