Liber Abaci - Liber Abaci

Une page du Liber Abaci de la Biblioteca Nazionale di Firenze . La liste de droite montre les nombres 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (la séquence de Fibonacci ). Les chiffres 2, 8 et 9 ressemblent davantage aux chiffres arabes qu'aux chiffres arabes orientaux ou aux chiffres indiens

Liber Abaci (également orthographié comme Liber Abbaci ; "Le livre du calcul") est un manuscrit latin historique de 1202 sur l' arithmétique de Léonard de Pise, connu à titre posthume sous le nom de Fibonacci .

Liber Abaci a été parmi les premiers livres occidentaux à décrire le système numérique hindou-arabe et à utiliser des symboles ressemblant à des " chiffres arabes " modernes . En abordant les applications à la fois des commerçants et des mathématiciens, il a favorisé la supériorité du système et l'utilisation de ces glyphes.

Bien que le titre du livre ait également été traduit par "Le livre de l'abaque", Sigler (2002) écrit qu'il s'agit d'une erreur: le but du livre est de décrire des méthodes de calcul sans l'aide d'un abaque , et en tant que minerai ( 1948) confirme, pendant des siècles après sa publication, les algorismistes (adeptes du style de calcul démontré dans Liber Abaci ) sont restés en conflit avec les abacistes (traditionalistes qui ont continué à utiliser l'abaque en conjonction avec les chiffres romains). L'historien des mathématiques Carl Boyer a déclaré dans son Histoire des mathématiques : "Le livre dans lequel Fibonacci décrit le nouvel algorisme est un classique célèbre, achevé en 1202, mais il porte un titre trompeur - Liber abaci (ou livre de l'abaque). Il n'est pas sur l'abaque; c'est un traité très complet sur les méthodes et problèmes algébriques dans lequel l'utilisation des chiffres hindous-arabes est fortement préconisée. "

Résumé des sections

La première section présente le système numérique hindou-arabe, y compris les méthodes de conversion entre différents systèmes de représentation. Cette section comprend également la première description connue de la division d'essai pour vérifier si un nombre est composé et, le cas échéant, le factoriser .

La deuxième section présente des exemples tirés du commerce, tels que les conversions de devises et de mesures, et les calculs de profit et d' intérêts .

La troisième section traite d'un certain nombre de problèmes mathématiques; par exemple, il inclut (ch. II.12) le théorème du reste chinois , les nombres parfaits et les nombres premiers de Mersenne ainsi que des formules pour les séries arithmétiques et pour les nombres pyramidaux carrés . Un autre exemple de ce chapitre, décrivant la croissance d'une population de lapins, est l'origine de la séquence de Fibonacci pour laquelle l'auteur est le plus célèbre aujourd'hui.

La quatrième section dérive des approximations, à la fois numériques et géométriques, de nombres irrationnels tels que les racines carrées.

Le livre comprend également des preuves en géométrie euclidienne . La méthode de résolution des équations algébriques de Fibonacci montre l'influence du mathématicien égyptien du début du Xe siècle, Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam .

Notation de Fibonacci pour les fractions

En lisant Liber Abaci , il est utile de comprendre la notation de Fibonacci pour les nombres rationnels, une notation de forme intermédiaire entre les fractions égyptiennes couramment utilisées jusqu'à cette époque et les fractions vulgaires encore en usage aujourd'hui. Il existe trois différences clés entre la notation de Fibonacci et la notation de fraction moderne.

  1. Nous écrivons généralement une fraction à droite du nombre entier auquel elle est ajoutée, par exemple pour 7/3. Fibonacci à la place écrirait la même fraction à gauche, c'est-à-dire .
  2. Fibonacci a utilisé une notation de fraction composite dans laquelle une séquence de numérateurs et de dénominateurs partageait la même barre de fraction; chacun de ces termes représentait une fraction supplémentaire du numérateur donné divisé par le produit de tous les dénominateurs ci-dessous et à sa droite. Autrement dit , et . La notation a été lue de droite à gauche. Par exemple, 29/30 pourrait être écrit comme , représentant la valeur . Cela peut être considéré comme une forme de notation de base mixte , et était très pratique pour traiter les systèmes traditionnels de poids, de mesures et de monnaie. Par exemple, pour les unités de longueur, un pied équivaut à 1/3 de verge et un pouce équivaut à 1/12 de pied, donc une quantité de 5 verges, 2 pieds et pouces pourrait être représentée comme une fraction composite: verges . Cependant, les notations typiques des mesures traditionnelles, bien qu'elles soient également basées sur des bases mixtes, n'écrivent pas explicitement les dénominateurs; les dénominateurs explicites de la notation de Fibonacci lui permettent d'utiliser différentes bases pour différents problèmes lorsque cela lui convient. Sigler souligne également une instance où Fibonacci utilise des fractions composites dans lesquelles tous les dénominateurs sont 10, préfigurant la notation décimale moderne pour les fractions.
  3. Fibonacci écrivait parfois plusieurs fractions les unes à côté des autres, représentant une somme des fractions données. Par exemple, 1/3 + 1/4 = 7/12, donc une notation comme représenterait le nombre qui serait maintenant plus couramment écrit comme le nombre mixte , ou simplement la fraction incorrecte . La notation de cette forme peut être distinguée des séquences de numérateurs et de dénominateurs partageant une barre de fraction par la coupure visible dans la barre. Si tous les numérateurs sont 1 dans une fraction écrite sous cette forme et que tous les dénominateurs sont différents les uns des autres, le résultat est une représentation en fraction égyptienne du nombre. Cette notation était aussi parfois combinée avec la notation de fraction composite: deux fractions composites écrites l'une à côté de l'autre représenteraient la somme des fractions.

La complexité de cette notation permet d'écrire les nombres de différentes manières, et Fibonacci a décrit plusieurs méthodes pour convertir d'un style de représentation à un autre. En particulier, le chapitre II.7 contient une liste de méthodes pour convertir une fraction impropre en une fraction égyptienne, y compris l' algorithme glouton pour les fractions égyptiennes , également connu sous le nom d'expansion de Fibonacci – Sylvester.

Modus Indorum

Dans le Liber Abaci , Fibonacci dit ce qui suit en introduisant le Modus Indorum (la méthode des Indiens), aujourd'hui connu sous le nom de système numérique hindou-arabe ou notation positionnelle en base 10. Il a également introduit des chiffres qui ressemblaient beaucoup aux chiffres arabes modernes .

Comme mon père était un fonctionnaire hors de notre patrie dans la douane de Bugia établie pour les marchands pisans qui s'y rassemblaient fréquemment, il me fit amener dans ma jeunesse, cherchant à me trouver un avenir utile et confortable; là, il voulait que je sois dans l'étude des mathématiques et que l'on enseigne pendant quelques jours. Là, grâce à une merveilleuse instruction dans l'art des neuf personnages indiens, l'introduction et la connaissance de l'art m'ont tellement plu par-dessus tout, et j'ai appris d'eux, quiconque y était appris, de l'Égypte voisine, de la Syrie, de la Grèce, de la Sicile. et la Provence, et leurs diverses méthodes, vers quels lieux d'affaires j'ai beaucoup voyagé par la suite pour beaucoup d'études, et j'ai appris des disputes assemblées. Mais ceci, dans l'ensemble, l'algorithme et même les arcs de Pythagore, je comptais encore presque une erreur par rapport à la méthode indienne. Embrassant donc strictement la méthode indienne, et attentif à son étude, de mon propre sens en ajoutant quelques-uns, et encore plus de l'art géométrique subtile euclidien, appliquant la somme que j'ai pu percevoir à ce livre, j'ai travaillé à mettre réunis en xv chapitres distincts, montrant une preuve certaine de presque tout ce que j'ai mis en place, de sorte que plus loin, cette méthode perfectionnée au-dessus des autres, cette science est instruite aux passionnés, et au peuple italien par-dessus tous les autres, qui jusqu'à présent se retrouvent sans minimum. Si, par hasard, j'ai omis quelque chose de moins ou de plus approprié ou de nécessaire, votre indulgence pour moi est suppliée, car il n'y a personne qui soit sans faute, et en toutes choses tout à fait circonspect.
Les neuf chiffres indiens sont:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Avec ces neuf chiffres, et avec le signe 0 que les Arabes appellent zéphir, n'importe quel nombre s'écrit ... ( Sigler 2002 ; voir Grimm 1973 pour une autre traduction)

En d'autres termes, dans son livre, il préconisait l'utilisation des chiffres de 0 à 9 et de la valeur de position . Jusqu'à cette époque, l'Europe utilisait les chiffres romains, rendant les mathématiques modernes presque impossibles. Le livre a donc apporté une contribution importante à la diffusion des nombres décimaux. Cependant, comme l'écrit Ore, la propagation du système hindou-arabe a été «longue», a mis beaucoup plus de siècles à se répandre largement, et ne s'est achevée qu'à la fin du XVIe siècle, s'accélérant de façon spectaculaire seulement en les années 1500 avec l'avènement de l'imprimerie.

Histoire textuelle

La première apparition du manuscrit remonte à 1202. Aucune copie de cette version n'est connue. Une version révisée de Liber Abaci, dédiée à Michael Scot , est apparue en 1227 CE. Il existe au moins dix-neuf manuscrits contenant des parties de ce texte. Il existe trois versions complètes de ce manuscrit des XIIIe et XIVe siècles. Il existe neuf autres exemplaires incomplets connus entre les XIIIe et XVe siècles, et il se peut qu'il y en ait d'autres non encore identifiés.

Il n'y avait pas de version imprimée connue de Liber Abaci jusqu'à la traduction italienne de Boncompagni de 1857. La première traduction anglaise complète était le texte de Sigler de 2002.

Remarques

Les références