Densité des états - Density of states

  (Redirigé à partir de la densité locale d'états )

En physique du solide et en physique de la matière condensée , la densité d'états ( DOS ) d'un système décrit la proportion d'états devant être occupés par le système à chaque énergie. La densité d'états est définie comme , où est le nombre d'états dans le système de volume dont les énergies se trouvent dans la plage . Elle est représentée mathématiquement sous forme de distribution par une fonction de densité de probabilité , et il s'agit généralement d'une moyenne sur les domaines spatiaux et temporels des divers états occupés par le système. La densité d'états est directement liée aux relations de dispersion des propriétés du système. Un DOS élevé à un niveau d'énergie spécifique signifie que de nombreux états sont disponibles pour l'occupation.

Généralement, la densité des états de la matière est continue. Dans les systèmes isolés cependant, tels que les atomes ou les molécules en phase gazeuse, la distribution de densité est discrète , comme une densité spectrale . Les variations locales, le plus souvent dues à des distorsions du système d'origine, sont souvent appelées densités locales d'états (LDOS).

introduction

Dans les systèmes de mécanique quantique, les ondes ou les particules ressemblant à des ondes peuvent occuper des modes ou des états avec des longueurs d'onde et des directions de propagation dictées par le système. Par exemple, dans certains systèmes, l'espacement interatomique et la charge atomique d'un matériau peuvent ne permettre que des électrons de certaines longueurs d'onde. Dans d'autres systèmes, la structure cristalline d'un matériau peut permettre aux ondes de se propager dans une direction, tout en supprimant la propagation des ondes dans une autre direction. Souvent, seuls des états spécifiques sont autorisés. Ainsi, il peut arriver que de nombreux états soient disponibles pour une occupation à un niveau d'énergie spécifique, alors qu'aucun état n'est disponible à d'autres niveaux d'énergie.

En regardant la densité des états d'électrons au bord de la bande entre les bandes de valence et de conduction dans un semi-conducteur, pour un électron dans la bande de conduction, une augmentation de l'énergie électronique rend plus d'états disponibles pour l'occupation. En variante, la densité d'état est discontinue pendant un intervalle d'énergie, ce qui signifie qu'aucun état n'est disponible pour les électrons à occuper dans la bande interdite du matériau. Cette condition signifie également qu'un électron au bord de la bande de conduction doit perdre au moins l'énergie de bande interdite du matériau afin de passer à un autre état dans la bande de valence.

Cela détermine si le matériau est un isolant ou un métal dans la dimension de la propagation. Le résultat du nombre d'états dans une bande est également utile pour prédire les propriétés de conduction. Par exemple, dans une structure cristalline unidimensionnelle, un nombre impair d' électrons par atome donne une bande supérieure à moitié remplie; voici des électrons libres au niveau de Fermi résultant en un métal. D'autre part, un nombre pair d'électrons remplit exactement un nombre entier de bandes, laissant le reste vide. Si alors le niveau de Fermi se situe dans une bande interdite occupée entre l'état occupé le plus élevé et l'état vide le plus bas, le matériau sera un isolant ou un semi - conducteur .

En fonction du système de mécanique quantique, la densité d'états peut être calculée pour les électrons , photons ou phonons , et peut être donnée en fonction de l'énergie ou du vecteur d'onde k . Pour effectuer une conversion entre le DOS en fonction de l'énergie et le DOS en fonction du vecteur d'onde, la relation de dispersion d'énergie spécifique au système entre E et k doit être connue.

En général, les propriétés topologiques du système telles que la structure de bande, ont un impact majeur sur les propriétés de densité d'états. Les systèmes les plus connus, comme le neutronium dans les étoiles à neutrons et les gaz d'électrons libres dans les métaux (exemples de matière dégénérée et d'un gaz de Fermi ), ont une topologie euclidienne en 3 dimensions . Les systèmes moins familiers, comme les gaz d'électrons bidimensionnels (2DEG) dans les couches de graphite et le système à effet Hall quantique dans les dispositifs de type MOSFET , ont une topologie euclidienne bidimensionnelle. Les nanotubes de carbone , le fil quantique et le liquide Luttinger avec leurs topologies unidimensionnelles sont encore moins connus . Les systèmes avec des topologies 1D et 2D sont susceptibles de devenir plus courants, en supposant que les développements en nanotechnologie et en science des matériaux se poursuivent.

Définition

En général, la densité d'états, liée au volume V et aux N niveaux d'énergie dénombrables, est définie par:

En utilisant (le plus petit changement autorisé de pour une particule dans une boîte de dimension et de longueur ) sous la limite , on obtient la densité d'états liée au volume pour les niveaux d'énergie continus

avec la dimension spatiale du système considéré et le vecteur d'onde.

Pour un système unidimensionnel , pour un système bidimensionnel, la densité d'états est une constante , et pour un système tridimensionnel .

De manière équivalente, la densité d'états peut également être comprise comme la dérivée de la fonction de partition microcanonique (c'est-à-dire le nombre total d'états avec une énergie inférieure à ) par rapport à l'énergie:

Le nombre d'états avec énergie (degré de dégénérescence) est donné par:

où la dernière égalité ne s'applique que lorsque le théorème de la valeur moyenne des intégrales est valide.

Symétrie

Première zone Brillouin du réseau FCC , un octaèdre tronqué , montrant des étiquettes de symétrie pour les lignes et les points de symétrie élevée

Il existe une grande variété de systèmes et de types d'états pour lesquels des calculs DOS peuvent être effectués.

Certains systèmes de matière condensée possèdent une symétrie structurelle à l'échelle microscopique qui peut être exploitée pour simplifier le calcul de leurs densités d'états. Dans les systèmes à symétrie sphérique, les intégrales des fonctions sont unidimensionnelles car toutes les variables du calcul dépendent uniquement du paramètre radial de la relation de dispersion. Les fluides , les verres et les solides amorphes sont des exemples de système symétrique dont les relations de dispersion ont une symétrie de rotation.

Octaèdre.

Les mesures sur poudres ou échantillons polycristallins nécessitent des fonctions d'évaluation et de calcul et des intégrales sur l'ensemble du domaine , le plus souvent une zone de Brillouin , des relations de dispersion du système d'intérêt. Parfois, la symétrie du système est élevée, ce qui fait apparaître plusieurs fois la forme des fonctions décrivant les relations de dispersion du système sur tout le domaine de la relation de dispersion. Dans de tels cas, l'effort de calcul du DOS peut être considérablement réduit lorsque le calcul est limité à une zone réduite ou à un domaine fondamental . La zone de Brillouin du réseau cubique à faces centrées (FCC) dans la figure de droite a la symétrie 48 fois du groupe de points O h avec une symétrie octaédrique complète . Cette configuration permet de réduire l'intégration sur tout le domaine de la zone Brillouin à une 48ème partie de l'ensemble de la zone Brillouin. Comme le montre un tableau périodique des structures cristallines , il existe de nombreux éléments avec une structure cristalline FCC, comme le diamant , le silicium et le platine et leurs zones de Brillouin et leurs relations de dispersion ont cette symétrie de 48 fois. Deux autres structures cristallines familières sont le réseau cubique centré sur le corps (BCC) et les structures compactées hexagonales fermées (HCP) avec des réseaux cubiques et hexagonaux, respectivement. La structure BCC a la symétrie pyritoédrique 24 fois du groupe ponctuel T h . La structure HCP a la symétrie dièdre prismatique 12 fois du groupe ponctuel D 3h . Une liste complète des propriétés de symétrie d'un groupe de points peut être trouvée dans les tables de caractères de groupe de points .

En général, il est plus facile de calculer un DOS lorsque la symétrie du système est plus élevée et le nombre de dimensions topologiques de la relation de dispersion est plus faible. Le DOS des relations de dispersion avec symétrie de rotation peut souvent être calculé analytiquement. Ce résultat est heureux, car de nombreux matériaux d'intérêt pratique, tels que l'acier et le silicium, présentent une symétrie élevée.

Dans les systèmes de matière condensée anisotrope comme un monocristal d'un composé, la densité des états pourrait être différente dans une direction cristallographique que dans une autre. Cela rend la densité anisotrope des états plus difficile à visualiser, et peut nécessiter des méthodes telles que le calcul du DOS pour des points ou des directions particuliers uniquement, ou le calcul de la densité projetée des états (PDOS) pour une orientation cristalline particulière.

topologies k -space

Figure 1: Surface sphérique dans l' espace k pour les électrons en trois dimensions.

La densité des états dépend des limites dimensionnelles de l'objet lui-même. Dans un système décrit par trois paramètres orthogonaux (3 dimensions), les unités de DOS sont Energy −1 Volume −1 , dans un système bidimensionnel, les unités de DOS sont Energy −1 Area −1 , dans un système unidimensionnel, le les unités de DOS sont Energy −1 Length −1 . Le volume référencé est le volume de k -space; l'espace entouré par la surface d'énergie constante du système dérivée d'une relation de dispersion qui relie E à k . Un exemple d'espace k tridimensionnel est donné sur la figure 1. On peut voir que la dimensionnalité du système confine l'impulsion des particules à l'intérieur du système.

Densité des états du vecteur d'onde (sphère)

Le calcul pour DOS commence par compter les N états autorisés à un certain k qui sont contenus dans [ k , k + dk ] à l'intérieur du volume du système. Cette procédure est effectuée en différenciant le volume de l'espace k entier en n dimensions à un k arbitraire , par rapport à k . Le volume, l'aire ou la longueur en k- espaces sphériques à 3, 2 ou 1 dimensions sont exprimés par

pour un espace k à n dimensions avec les constantes topologiquement déterminées

pour des fonctions de forme symétrique linéaire, de disque et sphérique dans des espaces k euclidiens à 1, 2 et 3 dimensions respectivement.

Selon ce schéma, la densité des états du vecteur d'onde N est, par différenciation par rapport à k , exprimée par

Les densités 1, 2 et 3 dimensionnelles des états du vecteur d'onde pour une ligne, un disque ou une sphère sont explicitement écrites comme

Un état est suffisamment grand pour contenir des particules de longueur d'onde λ. La longueur d'onde est liée à k à travers la relation.

Dans un système quantique, la longueur de λ dépendra d'un espacement caractéristique du système L qui confine les particules. Enfin, la densité d'états N est multipliée par un facteur , où s est un facteur de dégénérescence constant qui tient compte des degrés de liberté internes dus à des phénomènes physiques tels que le spin ou la polarisation. Si aucun phénomène de ce type n'est présent, alors . V k est le volume dans l'espace k dont les vecteurs d'onde sont plus petits que les plus petits vecteurs d'onde possibles décidés par l'espacement caractéristique du système.

Densité des états énergétiques

Pour terminer le calcul pour DOS, trouvez le nombre d'états par unité de volume d'échantillon à une énergie à l' intérieur d'un intervalle . La forme générale de DOS d'un système est donnée comme

Le schéma esquissé jusqu'à présent ne s'applique qu'aux relations de dispersion monotones croissantes et sphériques symétriques . En général, la relation de dispersion n'est pas sphérique symétrique et dans de nombreux cas, elle n'augmente pas non plus continuellement. Pour exprimer D en fonction de E, l' inverse de la relation de dispersion doit être substitué dans l'expression de en fonction de k pour obtenir l'expression de en fonction de l'énergie. Si la relation de dispersion n'est pas sphérique symétrique ou en augmentation continue et ne peut pas être inversée facilement, dans la plupart des cas, le DOS doit être calculé numériquement. Des dérivations plus détaillées sont disponibles.

Relations de dispersion

La relation de dispersion des électrons dans un solide est donnée par la structure de bande électronique .

L' énergie cinétique d'une particule dépend de la magnitude et de la direction du vecteur d'onde k , des propriétés de la particule et de l'environnement dans lequel la particule se déplace. Par exemple, l'énergie cinétique d'un électron dans un gaz de Fermi est donnée par

m est la masse électronique . La relation de dispersion est une parabole à symétrie sphérique et elle augmente continuellement afin que le DOS puisse être calculé facilement.

Figure 2: Relation de dispersion des phonons en chaîne monatomique

Pour les phonons longitudinaux dans une chaîne d'atomes, la relation de dispersion de l'énergie cinétique dans un espace k à 1 dimension , comme le montre la figure 2, est donnée par

où est la fréquence de l'oscillateur, la masse des atomes, la constante de force inter-atomique et l'espacement inter-atomique. Pour les petites valeurs de la relation de dispersion est plutôt linéaire:

Quand l'énergie est

Avec la transformation et petite cette relation peut être transformée en

Relations de dispersion isotropes

Les deux exemples mentionnés ici peuvent être exprimés comme

Cette expression est une sorte de relation de dispersion car elle relie deux propriétés d'onde et elle est isotrope car seule la longueur et non la direction du vecteur d'onde apparaît dans l'expression. La magnitude du vecteur d'onde est liée à l'énergie comme:

En conséquence, le volume de l'espace k à n dimensions contenant des vecteurs d'onde inférieurs à k est:

La substitution de la relation d'énergie isotrope donne le volume des états occupés

La différenciation de ce volume par rapport à l'énergie donne une expression pour le DOS de la relation de dispersion isotrope

Dispersion parabolique

Figure 3: DOS d'électrons libres dans l'espace k tridimensionnel

Dans le cas d'une relation de dispersion parabolique ( p = 2), comme cela s'applique aux électrons libres dans un gaz de Fermi, la densité d'états résultante , pour les électrons dans un système à n dimensions est

pour , avec pour .

Dans les systèmes unidimensionnels, le DOS diverge au bas de la bande à mesure que diminue . Dans les systèmes à 2 dimensions, le DOS s'avère indépendant de . Enfin, pour les systèmes tridimensionnels, le DOS augmente comme la racine carrée de l'énergie.

En incluant le préfacteur , l'expression du DOS 3D est

,

où est le volume total, et comprend la dégénérescence de spin double.

Dispersion linéaire

Dans le cas d'une relation linéaire ( p = 1), comme cela s'applique aux photons , aux phonons acoustiques ou à certains types spéciaux de bandes électroniques dans un solide, le DOS dans les systèmes à 1, 2 et 3 dimensions est lié à l'énergie comme :

Fonctions de distribution

La densité des états joue un rôle important dans la théorie cinétique des solides . Le produit de la densité d'états et de la fonction de distribution de probabilité est le nombre d'états occupés par unité de volume à une énergie donnée pour un système en équilibre thermique. Cette valeur est largement utilisée pour étudier diverses propriétés physiques de la matière. Voici des exemples, utilisant deux fonctions de distribution courantes, de la façon dont l'application d'une fonction de distribution à la densité d'états peut donner lieu à des propriétés physiques.

Figure 4: La distribution de probabilité de Fermi-Dirac, la densité des états et leur produit pour un semi-conducteur. Le lobe vert inférieur représente l' énergie du trou et l'utilise donc comme fonction de distribution.               

Statistiques de Fermi – Dirac : La fonction de distribution de probabilité de Fermi – Dirac, Fig. 4, est utilisée pour trouver la probabilité qu'un fermion occupe un état quantique spécifique dans un système à l'équilibre thermique. Les fermions sont des particules qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli (par exemple électrons, protons, neutrons). La fonction de distribution peut être écrite comme

est le potentiel chimique (également noté E F et appelé niveau de Fermi lorsque T = 0), est la constante de Boltzmann et est la température. La figure 4 illustre comment le produit de la fonction de distribution de Fermi-Dirac et de la densité tridimensionnelle des états d'un semi-conducteur peut donner un aperçu des propriétés physiques telles que la concentration de porteurs et les bandes interdites d'énergie.

Statistiques de Bose – Einstein : La fonction de distribution de probabilité de Bose – Einstein est utilisée pour trouver la probabilité qu'un boson occupe un état quantique spécifique dans un système à l'équilibre thermique. Les bosons sont des particules qui n'obéissent pas au principe d'exclusion de Pauli (par exemple les phonons et les photons). La fonction de distribution peut être écrite comme

À partir de ces deux distributions, il est possible de calculer des propriétés telles que l' énergie interne , le nombre de particules , la capacité thermique spécifique et la conductivité thermique . Les relations entre ces propriétés et le produit de la densité d'états et de la distribution de probabilité, dénotant la densité d'états par au lieu de , sont données par

est la dimensionnalité, est la vitesse du son et est le libre parcours moyen .

Applications

La densité des états apparaît dans de nombreux domaines de la physique et contribue à expliquer un certain nombre de phénomènes de mécanique quantique.

Quantification

Le calcul de la densité d'états pour les petites structures montre que la distribution des électrons change à mesure que la dimensionnalité est réduite. Pour les fils quantiques , le DOS pour certaines énergies devient en fait plus élevé que le DOS pour les semi-conducteurs en vrac, et pour les points quantiques, les électrons sont quantifiés à certaines énergies.

Cristaux photoniques

La densité de photons des états peut être manipulée en utilisant des structures périodiques avec des échelles de longueur de l'ordre de la longueur d'onde de la lumière. Certaines structures peuvent complètement inhiber la propagation de la lumière de certaines couleurs (énergies), créant une bande interdite photonique: le DOS est nul pour ces énergies photoniques. D'autres structures peuvent empêcher la propagation de la lumière uniquement dans certaines directions pour créer des miroirs, des guides d'ondes et des cavités. Ces structures périodiques sont connues sous le nom de cristaux photoniques . Dans les milieux nanostructurés, le concept de densité locale d'états (LDOS) est souvent plus pertinent que celui de DOS, car le DOS varie considérablement d'un point à l'autre.

Calcul informatique

Les systèmes intéressants sont en général complexes, par exemple les composés, les biomolécules, les polymères, etc. En raison de la complexité de ces systèmes, le calcul analytique de la densité d'états est dans la plupart des cas impossible. Les simulations informatiques offrent un ensemble d'algorithmes pour évaluer la densité d'états avec une grande précision. L'un de ces algorithmes est appelé l' algorithme de Wang et Landau .

Dans le schéma de Wang et Landau, toute connaissance préalable de la densité des états est requise. On procède comme suit: la fonction de coût (par exemple l'énergie) du système est discrétisée. A chaque fois que la case i est atteinte, on met à jour un histogramme de la densité d'états , par

f est appelé le facteur de modification. Dès que chaque case de l'histogramme est visitée un certain nombre de fois (10-15), le facteur de modification est réduit d'un certain critère, par exemple,

n désigne la n- ième étape de mise à jour. La simulation se termine lorsque le facteur de modification est inférieur à un certain seuil, par exemple .

L'algorithme de Wang et Landau présente certains avantages par rapport à d'autres algorithmes courants tels que les simulations multicanoniques et la trempe parallèle . Par exemple, la densité d'états est obtenue comme produit principal de la simulation. De plus, les simulations de Wang et Landau sont totalement indépendantes de la température. Cette fonctionnalité permet de calculer la densité d'états de systèmes à paysage énergétique très rugueux comme les protéines.

Mathématiquement, la densité d'états est formulée en termes de tour de cartes de couverture.

Densité locale d'états

Une caractéristique importante de la définition du DOS est qu'il peut être étendu à n'importe quel système. L'une de ses propriétés est l'invariabilité en translation qui signifie que la densité des états est homogène et qu'elle est la même en chaque point du système. Mais ce n'est qu'un cas particulier et le LDOS donne une description plus large avec une densité hétérogène d'états à travers le système.

Concept

La densité locale d'états (LDOS) décrit une densité d'états résolue dans l'espace. En science des matériaux, par exemple, ce terme est utile pour interpréter les données d'un microscope à effet tunnel (STM), car cette méthode est capable d'imager des densités d'électrons d'états avec une résolution atomique. Selon la structure cristalline, cette quantité peut être prédite par des méthodes de calcul, comme par exemple avec la théorie fonctionnelle de la densité .

Une définition générale

Dans une densité locale d'états, la contribution de chaque état est pondérée par la densité de sa fonction d'onde au point. devient

le facteur de signifie que chaque état contribue davantage dans les régions où la densité est élevée. Un dépassement moyen de cette expression restaurera la formule habituelle d'un DOS. Le LDOS est utile dans les systèmes non homogènes, où contient plus d'informations que seul.

Pour un système unidimensionnel avec un mur, les ondes sinusoïdales donnent

où .

Dans un système tridimensionnel avec l'expression est

En fait, on peut généraliser la densité locale d'états suite à

cela s'appelle la fonction spectrale et c'est une fonction avec chaque fonction d'onde séparément dans sa propre variable. Dans une théorie plus avancée, il est lié aux fonctions de Green et fournit une représentation compacte de certains résultats tels que l'absorption optique .

Espace résolu la densité locale des états. Une séquence d'images avec une polarisation de grille variable dans un MOSFET à nanofils à une polarisation de drain Vd = 0,6 V. Remarquez les niveaux d'énergie confinés lorsqu'ils se déplacent avec une polarisation de grille croissante.

Appareils à semi-conducteurs

LDOS peut être utilisé pour obtenir des bénéfices dans un dispositif à semi-conducteurs. Par exemple, la figure de droite illustre le LDOS d'un transistor lorsqu'il s'allume et s'éteint dans une simulation balistique. Le LDOS a une frontière claire dans la source et le drain, qui correspond à l'emplacement du bord de bande. Dans le canal, le DOS augmente au fur et à mesure que la tension de grille augmente et que la barrière de potentiel diminue.

Optique et photonique

En optique et photonique , le concept de densité locale d'états fait référence aux états qui peuvent être occupés par un photon. Pour la lumière, elle est généralement mesurée par des méthodes de fluorescence, des méthodes de balayage en champ proche ou par des techniques de cathodoluminescence. Pour différentes structures photoniques, les LDOS ont des comportements différents et ils contrôlent l'émission spontanée de différentes manières. Dans les cristaux photoniques, des LDOS proches de zéro sont attendus et provoquent une inhibition de l'émission spontanée. Les LDOS sont toujours dans des cristaux photoniques mais maintenant ils sont dans la cavité. Dans ce cas, le LDOS peut être beaucoup plus amélioré et ils sont proportionnels aux améliorations Purcell de l'émission spontanée. Une amélioration similaire du LDOS est également attendue dans la cavité plasmonique. Cependant, dans les nanostructures photoniques désordonnées, les LDOS se comportent différemment. Ils fluctuent spatialement et leurs statistiques sont proportionnelles à la force de diffusion des structures. De plus, la relation avec le libre parcours moyen de la diffusion est triviale car le LDOS peut encore être fortement influencé par les petits détails de troubles forts sous la forme d'une forte amélioration de Purcell de l'émission. et enfin, pour le trouble plasmonique, cet effet est beaucoup plus fort pour les fluctuations LDOS car il peut être observé comme une forte localisation en champ proche.

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

  • Chen, Gang. Transport et conversion d'énergie à l'échelle nanométrique. New York: Oxford, 2005
  • Streetman, Ben G. et Sanjay Banerjee. Dispositifs électroniques à semi-conducteurs. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000.
  • Muller, Richard S. et Theodore I. Kamins. Électronique d'appareil pour circuits intégrés. New York: John Wiley et fils, 2003.
  • Kittel, Charles et Herbert Kroemer. Physique thermique. New York: WH Freeman and Company, 1980
  • Sze, Simon M. Physique des dispositifs à semi-conducteurs. New York: John Wiley et fils, 1981

Liens externes