Logarithme - Logarithm

Diagrammes de fonctions logarithmiques, avec trois bases couramment utilisées. Les points spéciaux log b b = 1 sont indiqués par des lignes pointillées, et toutes les courbes se coupent en log b  1 = 0 .

En mathématiques , le logarithme est la fonction inverse de l' exponentiation . Cela signifie que le logarithme d'un nombre donné  x est l' exposant auquel un autre nombre fixe, la base  b , doit être élevé, pour produire ce nombre  x . Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur en multiplication répétée ; par exemple, puisque 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , le "logarithme base 10" de 1000 est 3, ou log 10  (1 000) = 3 . Le logarithme de x en base  b est noté log b  ( x ) , ou sans parenthèses, log b x , ou même sans la base explicite, log  x , lorsqu'aucune confusion n'est possible, ou lorsque la base n'a pas d'importance comme dans grande notation O .

Plus généralement, l'exponentiation permet à n'importe quel nombre réel positif comme base d'être élevé à n'importe quelle puissance réelle, produisant toujours un résultat positif, donc log b ( x ) pour deux nombres réels positifs  b et  x , où  b n'est pas égal à  1 , est toujours un nombre réel unique  y . Plus explicitement, la relation de définition entre l'exponentiation et le logarithme est :

exactement si et et et .

Par exemple, log 2  64 = 6 , comme 2 6 = 64 .

Le logarithme de base 10 (c'est-à-dire b = 10 ) est appelé logarithme décimal ou commun et est couramment utilisé en science et en ingénierie. Le logarithme népérien a pour base le nombre  e (c'est-à-dire b 2,718 ) ; son utilisation est très répandue en mathématiques et en physique , en raison de son intégrale et de sa dérivée plus simples . Le logarithme binaire utilise la base 2 (c'est-à-dire b = 2 ) et est fréquemment utilisé en informatique .

Les logarithmes ont été introduits par John Napier en 1614 comme moyen de simplifier les calculs. Ils ont été rapidement adoptés par les navigateurs, les scientifiques, les ingénieurs, les géomètres et autres pour effectuer plus facilement des calculs de haute précision. À l'aide de tables logarithmiques , les étapes fastidieuses de multiplication à plusieurs chiffres peuvent être remplacées par des recherches dans les tables et des additions plus simples. Ceci est possible du fait, important en soi, que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes des facteurs :

à condition que b , x et y soient tous positifs et b 1 . La règle à calcul, également basée sur des logarithmes, permet des calculs rapides sans tableaux, mais avec une précision moindre. La notion actuelle de logarithmes vient de Leonhard Euler , qui les a reliés à la fonction exponentielle au 18ème siècle, et qui a également introduit la lettre e comme base des logarithmes naturels.

Les échelles logarithmiques réduisent des quantités étendues à de minuscules étendues. Par exemple, le décibel (dB) est une unité utilisée pour exprimer le rapport en logarithmes , principalement pour la puissance et l'amplitude du signal (dont la pression acoustique est un exemple courant). En chimie, le pH est une mesure logarithmique de l' acidité d'une solution aqueuse . Les logarithmes sont monnaie courante dans les formules scientifiques et dans les mesures de la complexité des algorithmes et des objets géométriques appelés fractales . Ils aident à décrire les rapports de fréquence d' intervalles musicaux , apparaissent dans des formules comptant des nombres premiers ou des factorielles approximatives , informent certains modèles en psychophysique et peuvent aider à la comptabilité médico-légale .

De la même manière que le logarithme inverse l' exponentiation , le logarithme complexe est la fonction inverse de la fonction exponentielle, qu'elle soit appliquée aux nombres réels ou aux nombres complexes . Le logarithme discret modulaire est une autre variante ; il a des utilisations dans la cryptographie à clé publique .

Motivation et définition

Graphique montrant une courbe logarithmique, croisant l'axe des x à x = 1 et se rapprochant de moins l'infini le long de l'axe des y.
Le graphique du logarithme de base 2 croise l' axe des x à x = 1 et passe par les points (2, 1) , (4, 2) et (8, 3) , représentant, par exemple, log 2 (8) = 3 et 2 3 = 8 . Le graphique se rapproche arbitrairement de l' axe des y , mais ne le rencontre pas .

L'addition , la multiplication et l' exponentiation sont trois des opérations arithmétiques les plus fondamentales. L'addition, la plus simple d'entre elles, est annulée par soustraction : lorsque vous ajoutez 5 à x pour obtenir x + 5 , pour inverser cette opération, vous devez soustraire 5 à x + 5 . La multiplication, l'opération suivante la plus simple, est annulée par division : si vous multipliez x par 5 pour obtenir 5 x , vous pouvez alors diviser 5 x par 5 pour revenir à l'expression originale x . Les logarithmes annulent également une opération arithmétique fondamentale, l'exponentiation. L'exponentiation, c'est quand vous élevez un nombre à une certaine puissance. Par exemple, élever 2 à la puissance 3 est égal à 8 :

Le cas général est lorsque vous élevez un nombre  b à la puissance y pour obtenir x :

Le nombre  b est appelé la base de cette expression. La base est le nombre qui est élevé à une puissance particulière - dans l'exemple ci-dessus, la base de l'expression 2 3 = 8 est 2 . Il est facile de faire de la base le sujet de l'expression : il suffit de prendre la racine y- ième des deux côtés. Cela donne

Il est moins facile de faire de y le sujet de l'expression. Les logarithmes nous permettent de faire ceci :

Cette expression signifie que y est égal à la puissance à laquelle vous augmenteriez b pour obtenir x . Cette opération annule l'exponentiation car le logarithme de x vous indique l' exposant auquel la base a été élevée.

Exponentiation

Cette sous-section contient un bref aperçu de l'opération d'exponentiation, qui est fondamentale pour comprendre les logarithmes. Élever b à la n - ième puissance, où n est un nombre naturel , se fait en multipliant n  facteurs égaux à b . La n- ième puissance de b s'écrit b n , de sorte que

Exponentiation peut être étendue à b y , où b est un nombre positif et l' exposant y est tout nombre réel . Par exemple, b -1 est l' inverse de b , c'est-à-dire 1/ b . Augmenter b à la puissance  1/2 est la racine carrée de b .

Plus généralement, élever b à une puissance  rationnelle p / q , où p et q sont des nombres entiers, est donné par

la racine q- ième de b p .

Enfin, tout nombre irrationnel (un nombre réel qui n'est pas rationnel) y peut être approximé avec une précision arbitraire par des nombres rationnels. Ceci peut être utilisé pour calculer le y pouvoir -ème de b : par exemple et est de plus en bonne approximation b 1 , b 1.4 , b 1,41 , b 1,414 , ... . Une explication plus détaillée, ainsi que la formule b m + n = b m · b n est contenue dans l'article sur l' exponentiation .

Définition

Le logarithme d'un nombre réel positif x par rapport à la base  b est l'exposant par lequel b doit être élevé pour donner x . En d'autres termes, le logarithme de x en base  b est la solution  y de l'équation

Le logarithme est noté " log b x " (prononcé comme " le logarithme de x à base  b ", " le logarithme base- b de x ", ou le plus souvent " le log, base  b , de x ").

Dans l'équation y = log b x , la valeur  y est la réponse à la question "A quelle puissance doit être élevée b pour donner x ?".

Exemples

  • log 2  16 = 4 , puisque 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
  • Les logarithmes peuvent aussi être négatifs : puisque
  • log 10  150 est d'environ 2,176, qui se situe entre 2 et 3, tout comme 150 se situe entre 10 2 = 100 et 10 3 = 1000 .
  • Pour toute base  b , log b b = 1 et log b  1 = 0 , puisque b 1 = b et b 0 = 1 , respectivement.

Identités logarithmiques

Plusieurs formules importantes, parfois appelées identités logarithmiques ou lois logarithmiques , relient les logarithmes les uns aux autres.

Produit, quotient, puissance et racine

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes des nombres multipliés ; le logarithme du rapport de deux nombres est la différence des logarithmes. Le logarithme de la puissance p -ième d'un nombre est p  fois le logarithme du nombre lui-même ; le logarithme d'une racine p- ième est le logarithme du nombre divisé par p . Le tableau suivant répertorie ces identités avec des exemples. Chacune des identités peut être dérivée après substitution des définitions du logarithme ou dans les membres de gauche.

Formule Exemple
Produit
Quotient
Puissance
Racine

Changement de base

Le logarithme log b x peut être calculé à partir des logarithmes de x et b par rapport à une base arbitraire  k en utilisant la formule suivante :

Dérivation du facteur de conversion entre logarithmes de base arbitraire

À partir de l'identité qui définit

nous pouvons appliquer log k aux deux côtés de cette équation, pour obtenir

.

Résolution des rendements :

,

montrant le facteur de conversion des valeurs données à leurs valeurs correspondantes à

Les calculatrices scientifiques typiques calculent les logarithmes en bases 10 et e . Les logarithmes par rapport à toute base  b peuvent être déterminés en utilisant l'un de ces deux logarithmes par la formule précédente :

Étant donné un nombre x et son logarithme y = log b x à une base inconnue  b , la base est donnée par :

qui peut être vu en prenant l'équation de définition à la puissance de

Bases particulières

Diagrammes de logarithme pour les bases 0,5, 2 et e

Parmi tous les choix pour la base, trois sont particulièrement courants. Ce sont b = 10 , b = e (la constante mathématique irrationnelle 2,71828) et b = 2 (le logarithme binaire ). En analyse mathématique , le logarithme de base e est très répandu en raison des propriétés analytiques expliquées ci-dessous. D'autre part, les logarithmes en base 10 sont faciles à utiliser pour les calculs manuels dans le système de nombres décimaux :

Ainsi, log 10  ( x ) est lié au nombre de chiffres décimaux d'un entier positif x : le nombre de chiffres est le plus petit entier strictement supérieur à log 10  ( x ) . Par exemple, log 10 (1430) est d'environ 3,15. L'entier suivant est 4, qui est le nombre de chiffres de 1430. Le logarithme népérien et le logarithme en base deux sont utilisés en théorie de l'information , correspondant à l'utilisation de nats ou de bits comme unités fondamentales d'information, respectivement. Les logarithmes binaires sont également utilisés en informatique , où le système binaire est omniprésent ; en théorie de la musique , où un rapport de hauteur de deux (l' octave ) est omniprésent et le cent est le logarithme binaire (échelonné par 1200) du rapport entre deux hauteurs adjacentes de même tempérament dans la musique classique européenne ; et en photographie pour mesurer les valeurs d'exposition .

Le tableau suivant répertorie les notations courantes pour les logarithmes de ces bases et les champs où ils sont utilisés. De nombreuses disciplines écrivent log  x au lieu de log b x , lorsque la base prévue peut être déterminée à partir du contexte. La notation b log  x apparaît également. La colonne « notation ISO » répertorie les désignations suggérées par l' Organisation internationale de normalisation ( ISO 80000-2 ). Étant donné que la notation log x a été utilisée pour les trois bases (ou lorsque la base est indéterminée ou immatérielle), la base prévue doit souvent être déduite en fonction du contexte ou de la discipline. En informatique, log se réfère généralement à log 2 , et en mathématiques log se réfère généralement à log e . Dans d'autres contextes, log signifie souvent log 10 .

Base b Nom du journal b x notation ISO Autres notations Utilisé dans
2 logarithme binaire lb x ld x , journal x , lg x , journal 2 x informatique , théorie de l' information , bioinformatique , théorie musicale , photographie
e un algorithme naturel En x log x
(en mathématiques et dans de nombreux langages de programmation ), log e x
mathématiques, physique, chimie,
statistiques , économie , théorie de l'information et ingénierie
dix logarithme commun lg x log x , log 10 x
(en ingénierie, biologie, astronomie)
divers domaines d' ingénierie (voir décibel et voir ci-dessous), tables de
logarithmes , calculatrices portables , spectroscopie
b logarithme en base b log b x mathématiques

Histoire

L' histoire des logarithmes dans l'Europe du XVIIe siècle est la découverte d'une nouvelle fonction qui a étendu le domaine de l'analyse au-delà de la portée des méthodes algébriques. La méthode des logarithmes a été publiquement proposée par John Napier en 1614, dans un livre intitulé Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Description de la merveilleuse règle des logarithmes ). Avant l'invention de Napier, il y avait eu d'autres techniques de portée similaire, telles que la prosthaphérèse ou l'utilisation de tables de progressions, largement développées par Jost Bürgi vers 1600. Napier a inventé le terme de logarithme en latin moyen, « logarithme », dérivé de le grec, signifiant littéralement « rapport-nombre », de logos « proportion, rapport, mot » + arithmos « nombre ».

Le logarithme commun d'un nombre est l'indice de cette puissance de dix qui égale le nombre. Parler d'un nombre comme nécessitant autant de chiffres est une allusion approximative au logarithme commun, et Archimède l' appelait «l'ordre d'un nombre». Les premiers vrais logarithmes étaient des méthodes heuristiques pour transformer la multiplication en addition, facilitant ainsi un calcul rapide. Certaines de ces méthodes utilisaient des tables dérivées d'identités trigonométriques. Ces méthodes sont appelées prosthaphérèse .

L'invention de la fonction maintenant connue sous le nom de logarithme naturel a commencé comme une tentative d'effectuer une quadrature d'une hyperbole rectangulaire par Grégoire de Saint-Vincent , un jésuite belge résidant à Prague. Archimedes avait écrit La Quadrature du Parabole au troisième siècle avant notre ère, mais une quadrature pour l'hyperbole éludé tous les efforts jusqu'à Saint-Vincent a publié ses résultats en 1647. La relation que le logarithme fournit entre une progression géométrique dans son argumentation et une progression arithmétique de valeurs, a poussé AA de Sarasa à faire le rapprochement entre la quadrature de Saint-Vincent et la tradition des logarithmes en prosthaphérèse , d'où le terme de « logarithme hyperbolique », synonyme de logarithme népérien. Bientôt, la nouvelle fonction a été appréciée par Christiaan Huygens et James Gregory . La notation Log y a été adoptée par Leibniz en 1675, et l'année suivante il l'a reliée à l' intégrale

Avant qu'Euler ne développe sa conception moderne des logarithmes naturels complexes, Roger Cotes avait un résultat presque équivalent lorsqu'il montra en 1714 que

.

Tables logarithmiques, règles à calcul et applications historiques

L' explication des logarithmes de l' Encyclopædia Britannica de 1797

En simplifiant les calculs difficiles avant que les calculatrices et les ordinateurs ne deviennent disponibles, les logarithmes ont contribué à l'avancée de la science, en particulier de l' astronomie . Ils étaient essentiels aux progrès de l' arpentage , de la navigation céleste et d'autres domaines. Pierre-Simon Laplace dit les logarithmes

"... [un] artifice admirable qui, en réduisant à quelques jours le travail de plusieurs mois, double la vie de l'astronome, et lui épargne les erreurs et le dégoût inséparables de longs calculs."

Comme la fonction f ( x ) = b x est la fonction inverse de log b x , elle a été appelée un antilogarithme . De nos jours, cette fonction est plus communément appelée fonction exponentielle .

Tableaux de journaux

Un outil clé qui a permis l'utilisation pratique des logarithmes était la table des logarithmes . La première de ces tables a été compilée par Henry Briggs en 1617, immédiatement après l'invention de Napier, mais avec l'innovation d'utiliser 10 comme base. Le premier tableau de Briggs contenait les logarithmes communs de tous les entiers compris entre 1 et 1000, avec une précision de 14 chiffres. Par la suite, des tableaux à portée croissante ont été rédigés. Ces tableaux répertoriaient les valeurs de log 10 x pour tout nombre  x dans une certaine plage, avec une certaine précision. Les logarithmes en base 10 étaient universellement utilisés pour le calcul, d'où le nom de logarithme commun, car les nombres qui diffèrent par des facteurs de 10 ont des logarithmes qui diffèrent par des entiers. Le logarithme commun de x peut être séparé en une partie entière et une partie fractionnaire , appelée caractéristique et mantisse . Les tables de logarithmes n'ont besoin que d'inclure la mantisse, car la caractéristique peut être facilement déterminée en comptant les chiffres à partir de la virgule décimale. La caractéristique de 10 · x est un plus la caractéristique de x , et leurs mantisses sont les mêmes. Ainsi, en utilisant une table de log à trois chiffres, le logarithme de 3542 est approximé par

Une plus grande précision peut être obtenue par interpolation :

La valeur de 10 x peut être déterminée par recherche inversée dans la même table, puisque le logarithme est une fonction monotone .

Calculs

Le produit et le quotient de deux nombres positifs c et d étaient systématiquement calculés comme la somme et la différence de leurs logarithmes. Le produit  cd ou quotient  c / d est issu de la recherche de l'antilogarithme de la somme ou de la différence, via la même table :

et

Pour les calculs manuels qui exigent une précision appréciable, effectuer les recherches des deux logarithmes, calculer leur somme ou leur différence et rechercher l'antilogarithme est beaucoup plus rapide que d'effectuer la multiplication par des méthodes antérieures telles que la prosthaphérèse , qui repose sur les identités trigonométriques .

Les calculs de puissances et de racines sont réduits à des multiplications ou des divisions et des recherches par

et

Les calculs trigonométriques ont été facilités par des tableaux contenant les logarithmes communs des fonctions trigonométriques .

Règles de diapositives

Une autre application critique était la règle à calcul, une paire d'échelles logarithmiquement divisées utilisées pour le calcul. L'échelle logarithmique non glissante, la règle de Gunter , a été inventée peu de temps après l'invention de Napier. William Oughtred l'a amélioré pour créer la règle à calcul, une paire d'échelles logarithmiques mobiles les unes par rapport aux autres. Les nombres sont placés sur des échelles mobiles à des distances proportionnelles aux différences entre leurs logarithmes. Faire glisser l'échelle supérieure de manière appropriée revient à ajouter mécaniquement des logarithmes, comme illustré ici :

Une règle à calcul : deux rectangles aux axes cochés logarithmiquement, disposition pour additionner la distance de 1 à 2 à la distance de 1 à 3, indiquant le produit 6.
Représentation schématique d'une règle à calcul. En partant de 2 sur l'échelle inférieure, ajoutez la distance à 3 sur l'échelle supérieure pour atteindre le produit 6. La règle à calcul fonctionne car elle est marquée de telle sorte que la distance de 1 à x soit proportionnelle au logarithme de x .

Par exemple, en ajoutant la distance de 1 à 2 sur l'échelle inférieure à la distance de 1 à 3 sur l'échelle supérieure, on obtient un produit de 6, qui se lit dans la partie inférieure. La règle à calcul était un outil de calcul essentiel pour les ingénieurs et les scientifiques jusque dans les années 1970, car elle permet, au détriment de la précision, des calculs beaucoup plus rapides que les techniques basées sur des tables.

Propriétés analytiques

Une étude plus approfondie des logarithmes nécessite le concept d'une fonction . Une fonction est une règle qui, étant donné un nombre, produit un autre nombre. Un exemple est la fonction produisant la puissance x de b à partir de n'importe quel nombre réel  x , où la base  b est un nombre fixe. Cette fonction s'écrit : f ( x ) = b x .

Fonction logarithmique

Pour justifier la définition des logarithmes, il faut montrer que l'équation

a une solution x et que cette solution est unique, pourvu que y soit positif et que b soit positif et inégal à 1. Une preuve de ce fait nécessite le théorème des valeurs intermédiaires du calcul élémentaire . Ce théorème stipule qu'une fonction continue qui produit deux valeurs m et n produit également toute valeur comprise entre m et n . Une fonction est continue si elle ne "saute pas", c'est-à-dire si son graphique peut être tracé sans lever le crayon.

Cette propriété peut être démontrée pour la fonction f ( x ) = b x . Étant donné que f prend des valeurs positives arbitrairement grandes et arbitrairement petites, tout nombre y > 0 se situe entre f ( x 0 ) et f ( x 1 ) pour x 0 et x 1 appropriés . Par conséquent, le théorème des valeurs intermédiaires garantit que l'équation f ( x ) = y a une solution. De plus, il n'y a qu'une seule solution à cette équation, car la fonction  f est strictement croissante (pour b > 1 ), ou strictement décroissante (pour 0 < b < 1 ).

L'unique solution x est le logarithme de y en base  b , log by y . La fonction qui attribue à y son logarithme est appelée fonction logarithme ou fonction logarithmique (ou simplement logarithme ).

La fonction log b x est essentiellement caractérisée par la formule du produit

Plus précisément, le logarithme à toute base b > 1 est la seule fonction croissante f des réels positifs aux réels satisfaisant f ( b ) = 1 et

Fonction inverse

Les graphiques de deux fonctions.
Le graphique de la fonction logarithme log b  ( x ) (bleu) est obtenu en reflétant le graphique de la fonction b x (rouge) sur la ligne diagonale ( x = y ).

La formule du logarithme d'une puissance dit en particulier que pour tout nombre  x ,

En prose, prendre la puissance x- ième de b puis le logarithme en base- b donne x . Inversement, étant donné un nombre positif  y , la formule

dit qu'en prenant d'abord le logarithme, puis en exponentielle, on renvoie y . Ainsi, les deux manières possibles de combiner (ou de composer ) les logarithmes et l'exponentiation restituent le nombre d'origine. Par conséquent, le logarithme en base  b est la fonction inverse de f ( x ) = b x .

Les fonctions inverses sont étroitement liées aux fonctions originales. Leurs graphiques se correspondent lors de l'échange des coordonnées x - et y (ou lors de la réflexion sur la ligne diagonale x = y ), comme indiqué à droite : un point ( t , u = b t ) sur le graphique de f donne un point ( u , t = log b u ) sur le graphique du logarithme et vice versa. En conséquence, log b  ( x ) diverge jusqu'à l'infini (devient plus grand qu'un nombre donné) si x croît jusqu'à l'infini, à condition que b soit supérieur à un. Dans ce cas, log b ( x ) est une fonction croissante . Pour b < 1 , log b  ( x ) tend plutôt vers moins l'infini. Lorsque x tend vers zéro, log b x passe à moins l'infini pour b > 1 (plus l'infini pour b < 1 , respectivement).

Dérivée et primitive

Un graphique de la fonction logarithme et une ligne la touchant en un point.
Le graphique du logarithme népérien (vert) et sa tangente à x = 1,5 (noir)

Les propriétés analytiques des fonctions passent à leurs inverses. Ainsi, comme f ( x ) = b x est une fonction continue et dérivable , log by y . En gros, une fonction continue est dérivable si son graphique n'a pas de "coins" pointus. De plus, comme la dérivée de f ( x ) s'évalue à ln( b ) b x par les propriétés de la fonction exponentielle , la règle de la chaîne implique que la dérivée de log b x est donnée par

C'est-à-dire que la pente de la tangente touchant le graphique du logarithme en base b au point ( x , log b  ( x )) est égale à 1/( x  ln( b )) .

La dérivée de ln( x ) est 1/ x ; ceci implique que ln( x ) est l'unique primitive de 1/ x qui a la valeur 0 pour x = 1 . C'est cette formule très simple qui a motivé à qualifier de « naturel » le logarithme népérien ; c'est aussi l'une des principales raisons de l'importance de la constante  e .

La dérivée avec un argument fonctionnel généralisé f ( x ) est

Le quotient à droite est appelé la dérivée logarithmique de f . Le calcul de f' ( x ) au moyen de la dérivée de ln( f ( x )) est connu sous le nom de différenciation logarithmique . La primitive du logarithme népérien ln( x ) est :

Des formules apparentées , telles que des primitives de logarithmes par rapport à d'autres bases, peuvent être dérivées de cette équation en utilisant le changement de bases.

Représentation intégrale du logarithme népérien

Une hyperbole avec une partie de la zone en dessous ombrée en gris.
Le logarithme népérien de t est la zone ombrée sous le graphique de la fonction f ( x ) = 1/ x (inverse de x ).

Le logarithme népérien de t peut être défini comme l' intégrale définie :

Cette définition a l'avantage de ne pas s'appuyer sur la fonction exponentielle ou sur des fonctions trigonométriques ; la définition est en termes d'intégrale d'une simple réciproque. En tant qu'intégrale, ln( t ) est égal à l'aire entre l' axe des x et le graphique de la fonction 1/ x , allant de x = 1 à x = t . Ceci est une conséquence du théorème fondamental du calcul et du fait que la dérivée de ln( x ) est 1/ x . Des formules de logarithme de produit et de puissance peuvent être dérivées de cette définition. Par exemple, la formule du produit ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) se déduit comme :

L'égalité (1) divise l'intégrale en deux parties, tandis que l'égalité (2) est un changement de variable ( w = x / t ). Dans l'illustration ci-dessous, la division correspond à la division de la zone en parties jaune et bleue. Redimensionner la zone bleue de gauche verticalement par le facteur  t et la rétrécir du même facteur horizontalement ne change pas sa taille. En la déplaçant de manière appropriée, la zone correspond au graphique de la fonction f ( x ) = 1/ x à nouveau. Par conséquent, la zone bleue de gauche, qui est l'intégrale de f ( x ) de t à tu est la même que l'intégrale de 1 à u . Ceci justifie l'égalité (2) avec une preuve plus géométrique.

L'hyperbole représentée deux fois.  La zone en dessous est divisée en différentes parties.
Une preuve visuelle de la formule du produit du logarithme népérien

La formule de puissance ln( t r ) = r ln( t ) peut être dérivée de la même manière :

La seconde égalité utilise un changement de variables ( intégration par substitution ), w = x 1/ r .

La somme des inverses des nombres naturels,

est appelée la série harmonique . Elle est étroitement liée au logarithme népérien : comme n tend vers l' infini , la différence,

converge (c'est-à-dire se rapproche arbitrairement) d'un nombre connu sous le nom de constante d'Euler–Mascheroni γ = 0,5772... . Cette relation aide à analyser les performances des algorithmes tels que quicksort .

Transcendance du logarithme

Les nombres réels qui ne sont pas algébriques sont dits transcendantaux ; par exemple, π et e sont ces chiffres, mais ne sont pas. Presque tous les nombres réels sont transcendants. Le logarithme est un exemple de fonction transcendantale . Le théorème de Gelfond-Schneider affirme que les logarithmes prennent généralement des valeurs transcendantales, c'est-à-dire « difficiles ».

Calcul

Les clés de logarithme (LOG pour la base 10 et LN pour la base  e ) sur une calculatrice graphique TI-83 Plus

Les logarithmes sont faciles à calculer dans certains cas, comme log 10  (1000) = 3 . En général, les logarithmes peuvent être calculés à l'aide de séries entières ou de la moyenne arithmétique-géométrique , ou être extraits d'un tableau de logarithmes précalculé qui fournit une précision fixe. La méthode de Newton , une méthode itérative pour résoudre les équations approximativement, peut également être utilisée pour calculer le logarithme, car sa fonction inverse, la fonction exponentielle, peut être calculée efficacement. À l'aide de tables de correspondance, les méthodes de type CORDIC peuvent être utilisées pour calculer des logarithmes en utilisant uniquement les opérations d'addition et de décalage de bits . De plus, l' algorithme du logarithme binaire calcule lb( x ) de manière récursive , sur la base de mises au carré répétées de x , en tirant parti de la relation

Série de puissance

Taylor série
Une animation montrant de plus en plus de bonnes approximations du graphe logarithmique.
La série de Taylor de ln( z ) centrée en z = 1 . L'animation montre les 10 premières approximations ainsi que les 99e et 100e. Les approximations ne convergent pas au-delà d'une distance de 1 du centre.

Pour tout nombre réel z qui satisfait 0 < z ≤ 2 , la formule suivante est vérifiée :

C'est un raccourci pour dire que ln( z ) peut être approximé à une valeur de plus en plus précise par les expressions suivantes :

Par exemple, avec z = 1,5, la troisième approximation donne 0,4167, ce qui est environ 0,011 supérieur à ln(1,5) = 0,405465 . Cette série se rapproche de ln( z ) avec une précision arbitraire, à condition que le nombre de sommations soit suffisamment grand. En calcul élémentaire, ln( z ) est donc la limite de cette série. C'est la série de Taylor du logarithme népérien à z = 1 . La série de Taylor de ln( z ) fournit une approximation particulièrement utile de ln(1 + z ) lorsque z est petit, | z | < 1 , depuis

Par exemple, avec z = 0,1, l'approximation du premier ordre donne ln(1.1) 0,1 , ce qui est inférieur à 5% de la valeur correcte 0,0953.

Des séries plus efficaces

Une autre série est basée sur la fonction tangente hyperbolique de surface :

pour tout nombre réel z > 0 . En utilisant la notation sigma , cela s'écrit également sous la forme

Cette série peut être dérivée de la série de Taylor ci-dessus. Elle converge plus rapidement que la série de Taylor, surtout si z est proche de 1. Par exemple, pour z = 1,5 , les trois premiers termes de la deuxième série se rapprochent de ln(1,5) avec une erreur d'environ3 × 10 -6 . La convergence rapide pour z proche de 1 peut être exploitée de la manière suivante : étant donné une approximation de faible précision y ≈ ln( z ) et en mettant

le logarithme de z est :

Plus l'approximation initiale y est bonne , plus A est proche de 1, donc son logarithme peut être calculé efficacement. A peut être calculé en utilisant la série exponentielle , qui converge rapidement à condition que y ne soit pas trop grand. Le calcul du logarithme de z plus grand peut être réduit à des valeurs plus petites de z en écrivant z = a · 10 b , de sorte que ln( z ) = ln( a ) + b · ln(10) .

Une méthode étroitement liée peut être utilisée pour calculer le logarithme des nombres entiers. En mettant dans la série ci-dessus, il s'ensuit que :

Si le logarithme d'un grand entier  n est connu, alors cette série donne une série à convergence rapide pour log( n +1) , avec un taux de convergence de .

Approximation de la moyenne arithmétique et géométrique

La moyenne arithmétique-géométrique donne des approximations de haute précision du logarithme népérien . Sasaki et Kanada ont montré en 1982 qu'elle était particulièrement rapide pour des précisions comprises entre 400 et 1 000 décimales, tandis que les méthodes des séries de Taylor étaient généralement plus rapides lorsqu'une précision moindre était nécessaire. Dans leur travail, ln( x ) est approximé à une précision de 2 p (ou p  bits précis) par la formule suivante (due à Carl Friedrich Gauss ) :

Ici, M( x , y ) désigne la moyenne arithmétique-géométrique de x et y . Il est obtenu en calculant à plusieurs reprises la moyenne ( x + y )/2 ( moyenne arithmétique ) et ( moyenne géométrique ) de x et y puis laissez ces deux nombres devenir les prochains x et y . Les deux nombres convergent rapidement vers une limite commune qui est la valeur de M( x , y ) . m est choisi tel que

pour assurer la précision requise. Un m plus grand fait que le calcul de M( x , y ) prend plus d'étapes (les x et y initiaux sont plus éloignés donc il faut plus d'étapes pour converger) mais donne plus de précision. Les constantes tc et ln (2) peuvent être calculées avec les séries convergentes rapidement.

Algorithme de Feynman

Alors qu'il travaillait au laboratoire national de Los Alamos sur le projet Manhattan , Richard Feynman a développé un algorithme de traitement de bits similaire à la division longue et a ensuite été utilisé dans la machine de connexion . L'algorithme utilise le fait que tout nombre réel 1 < x < 2 est représentable comme un produit de facteurs distincts de la forme 1 + 2 k . L'algorithme construit séquentiellement ce produit  P : si P · (1 + 2 k ) < x , alors il change P en P · (1 + 2 k ) . Il augmente ensuite de un malgré tout. L'algorithme s'arrête lorsque k est suffisamment grand pour donner la précision souhaitée. Parce que log( x ) est la somme des termes de la forme log(1 + 2 k ) correspondant à ceux k pour lesquels le facteur 1 + 2 k a été inclus dans le produit  P , log( x ) peut être calculé par addition simple, en utilisant une table de log(1 + 2 k ) pour tout k . N'importe quelle base peut être utilisée pour la table logarithmique.

Applications

Une photographie d'une coquille de nautile.
Un nautile affichant une spirale logarithmique

Les logarithmes ont de nombreuses applications à l'intérieur et à l'extérieur des mathématiques. Certaines de ces occurrences sont liées à la notion d' invariance d'échelle . Par exemple, chaque chambre de la coquille d'un nautile est une copie approximative de la suivante, mise à l'échelle par un facteur constant. Cela donne lieu à une spirale logarithmique . La loi de Benford sur la distribution des premiers chiffres peut également s'expliquer par l'invariance d'échelle. Les logarithmes sont également liés à l' auto-similarité . Par exemple, les logarithmes apparaissent dans l'analyse d'algorithmes qui résolvent un problème en le divisant en deux problèmes similaires plus petits et en corrigeant leurs solutions. Les dimensions des formes géométriques auto-similaires, c'est-à-dire des formes dont les parties ressemblent à l'image globale, sont également basées sur des logarithmes. Les échelles logarithmiques sont utiles pour quantifier le changement relatif d'une valeur par opposition à sa différence absolue. De plus, comme la fonction logarithmique log( x ) croît très lentement pour un grand x , des échelles logarithmiques sont utilisées pour compresser des données scientifiques à grande échelle. Les logarithmes apparaissent également dans de nombreuses formules scientifiques, telles que l' équation de la fusée de Tsiolkovsky , l' équation de Fenske ou l' équation de Nernst .

Échelle logarithmique

Un graphique de la valeur d'un point au fil du temps.  La ligne indiquant sa valeur augmente très rapidement, même avec une échelle logarithmique.
Un graphique logarithmique illustrant la valeur d'un Goldmark en Papiermarks pendant l' hyperinflation allemande dans les années 1920

Les quantités scientifiques sont souvent exprimées sous forme de logarithmes d'autres quantités, en utilisant une échelle logarithmique . Par exemple, le décibel est une unité de mesure associée à des grandeurs à échelle logarithmique . Il est basé sur le logarithme commun des rapports — 10 fois le logarithme commun d'un rapport de puissance ou 20 fois le logarithme commun d'un rapport de tension . Il est utilisé pour quantifier les niveaux de perte de tension dans la transmission de signaux électriques, pour décrire les niveaux de puissance des sons en acoustique , et l' absorbance de la lumière dans les domaines de la spectrométrie et de l' optique . Le rapport signal sur bruit décrivant la quantité de bruit indésirable par rapport à un signal (significatif) est également mesuré en décibels. Dans la même veine, le rapport signal sur bruit de crête est couramment utilisé pour évaluer la qualité des méthodes de compression du son et de l' image à l' aide du logarithme.

La force d'un séisme est mesurée en prenant le logarithme commun de l'énergie émise lors du séisme. Ceci est utilisé dans l' échelle de magnitude de moment ou l' échelle de magnitude de Richter . Par exemple, un tremblement de terre de 5,0 libère 32 fois (10 1,5 ) et un 6,0 libère 1000 fois (10 3 ) l'énergie d'un 4,0. La magnitude apparente mesure la luminosité des étoiles de manière logarithmique. En chimie, le négatif du logarithme décimal, le cologarithme décimal, est indiqué par la lettre p. Par exemple, le pH est le cologarithme décimal de l' activité des ions hydronium (la forme des ions hydrogène H+
prendre de l'eau). L'activité des ions hydronium dans l'eau neutre est de 10 -7  mol·L -1 , d'où un pH de 7. Le vinaigre a typiquement un pH d'environ 3. La différence de 4 correspond à un rapport de 10 4 de l'activité, soit , l'activité des ions hydronium du vinaigre est d'environ 10 -3 mol·L -1 .

Les graphiques semi -log (log-linéaires) utilisent le concept d'échelle logarithmique pour la visualisation : un axe, généralement vertical, est mis à l'échelle logarithmique. Par exemple, le graphique de droite compresse la forte augmentation de 1 million à 1 000 milliards dans le même espace (sur l'axe vertical) que l'augmentation de 1 à 1 million. Dans de tels graphiques, les fonctions exponentielles de la forme f ( x ) = a · b x apparaissent sous forme de droites dont la pente est égale au logarithme de b . Les graphiques log-log mettent les deux axes à l'échelle logarithmiquement, ce qui fait que les fonctions de la forme f ( x ) = a · x k sont représentées comme des lignes droites avec une pente égale à l'exposant  k . Ceci est appliqué dans la visualisation et l'analyse des lois de puissance .

Psychologie

Les logarithmes interviennent dans plusieurs lois décrivant la perception humaine : la loi de Hick propose une relation logarithmique entre le temps que prennent les individus pour choisir une alternative et le nombre de choix dont ils disposent. La loi de Fitts prédit que le temps nécessaire pour se déplacer rapidement vers une zone cible est une fonction logarithmique de la distance et de la taille de la cible. En psychophysique , la loi de Weber-Fechner propose une relation logarithmique entre le stimulus et la sensation telle que le poids réel par rapport au poids perçu d'un objet qu'une personne porte. (Cette "loi", cependant, est moins réaliste que des modèles plus récents, comme la loi de puissance de Stevens .)

Des études psychologiques ont montré que les personnes ayant peu de connaissances en mathématiques ont tendance à estimer les quantités de manière logarithmique, c'est-à-dire qu'elles positionnent un nombre sur une ligne non marquée en fonction de son logarithme, de sorte que 10 est positionné aussi près de 100 que 100 est à 1000. à une estimation linéaire (positionner 1000 10 fois plus loin) dans certaines circonstances, tandis que les logarithmes sont utilisés lorsque les nombres à tracer sont difficiles à tracer linéairement.

Théorie des probabilités et statistiques

Trois courbes PDF asymétriques
Trois fonctions de densité de probabilité (PDF) de variables aléatoires avec des distributions log-normales. Le paramètre d'emplacement  μ , qui est nul pour les trois PDF indiqués, est la moyenne du logarithme de la variable aléatoire, et non la moyenne de la variable elle-même.
Un graphique à barres et un second graphique superposés.  Les deux diffèrent légèrement, mais les deux diminuent de manière similaire.
Répartition des premiers chiffres (en %, barres rouges) dans la population des 237 pays du monde. Les points noirs indiquent la distribution prédite par la loi de Benford.

Les logarithmes apparaissent dans la théorie des probabilités : la loi des grands nombres dicte que, pour une pièce de monnaie équitable , à mesure que le nombre de lancers de pièces augmente à l'infini, la proportion observée de faces se rapproche de la moitié . Les fluctuations de cette proportion d'environ la moitié sont décrites par la loi du logarithme itéré .

Les logarithmes se produisent également dans les distributions log-normales . Lorsque le logarithme d'une variable aléatoire a une distribution normale , on dit que la variable a une distribution log-normale. Les distributions log-normales sont rencontrées dans de nombreux domaines, partout où une variable est formée comme le produit de nombreuses variables aléatoires positives indépendantes, par exemple dans l'étude de la turbulence.

Les logarithmes sont utilisés pour l' estimation du maximum de vraisemblance des modèles statistiques paramétriques . Pour un tel modèle, la fonction de vraisemblance dépend d'au moins un paramètre qui doit être estimé. Un maximum de la fonction de vraisemblance se produit à la même valeur de paramètre qu'un maximum du logarithme de la vraisemblance (le « log de vraisemblance »), car le logarithme est une fonction croissante. Le log-vraisemblance est plus facile de maximiser, en particulier pour les vraisemblances pour multipliées indépendantes variables aléatoires.

La loi de Benford décrit l'occurrence de chiffres dans de nombreux ensembles de données , tels que les hauteurs des bâtiments. Selon la loi de Benford, la probabilité que le premier chiffre décimal d'un élément de l'échantillon de données soit d (de 1 à 9) est égale à log 10  ( d + 1) − log 10  ( d ) , quelle que soit l'unité de mesure. Ainsi, on peut s'attendre à ce qu'environ 30 % des données aient 1 comme premier chiffre, 18 % commencent par 2, etc. Les auditeurs examinent les écarts par rapport à la loi de Benford pour détecter une comptabilité frauduleuse.

Complexité de calcul

L'analyse des algorithmes est une branche de l' informatique qui étudie les performances des algorithmes (programmes informatiques résolvant un certain problème). Les logarithmes sont utiles pour décrire des algorithmes qui divisent un problème en plus petits et joignent les solutions des sous-problèmes.

Par exemple, pour trouver un nombre dans une liste triée, l' algorithme de recherche binaire vérifie l'entrée du milieu et procède à la moitié avant ou après l'entrée du milieu si le nombre n'est toujours pas trouvé. Cet algorithme nécessite, en moyenne, des comparaisons log 2  ( N ) , où N est la longueur de la liste. De même, l' algorithme de tri par fusion trie une liste non triée en divisant la liste en deux et en les triant d'abord avant de fusionner les résultats. Les algorithmes de tri par fusion nécessitent généralement un temps approximativement proportionnel à N · log ( N ) . La base du logarithme n'est pas spécifiée ici, car le résultat ne change que d'un facteur constant lorsqu'une autre base est utilisée. Un facteur constant n'est généralement pas pris en compte dans l'analyse des algorithmes dans le cadre du modèle de coût uniforme standard .

Une fonction  f ( x ) est dite croître logarithmiquement si f ( x ) est (exactement ou approximativement) proportionnelle au logarithme de x . (Cependant, les descriptions biologiques de la croissance des organismes utilisent ce terme pour une fonction exponentielle.) Par exemple, tout nombre naturel  N peut être représenté sous forme binaire dans pas plus de log 2 N + 1  bits . En d'autres termes, la quantité de mémoire nécessaire pour stocker N augmente de manière logarithmique avec N .

Entropie et chaos

Une forme ovale avec les trajectoires de deux particules.
Billard sur une table de billard ovale . Deux particules, partant du centre avec un angle différent d'un degré, empruntent des chemins qui divergent chaotiquement à cause des réflexions à la frontière.

L'entropie est en gros une mesure du désordre d'un système. En thermodynamique statistique , l' entropie  S d' un système physique est définie comme

La somme porte sur tous les états possibles  i du système en question, tels que les positions des particules de gaz dans un conteneur. De plus, p i est la probabilité que l'état  i soit atteint et k est la constante de Boltzmann . De même, l' entropie en théorie de l'information mesure la quantité d'information. Si un destinataire de message peut s'attendre à n'importe lequel des N messages possibles avec une probabilité égale, alors la quantité d'informations véhiculées par l'un quelconque de ces messages est quantifiée en log 2 N bits.

Les exposants de Lyapunov utilisent des logarithmes pour évaluer le degré de chaotique d'un système dynamique . Par exemple, pour une particule se déplaçant sur une table de billard ovale, même de petits changements des conditions initiales entraînent des trajectoires très différentes de la particule. De tels systèmes sont chaotiques d'une manière déterministe , car de petites erreurs de mesure de l'état initial conduisent de manière prévisible à des états finaux largement différents. Au moins un exposant de Lyapunov d'un système chaotique déterministe est positif.

Fractales

Les parties d'un triangle sont supprimées de manière itérée.
Le triangle de Sierpinski (à droite) est construit en remplaçant à plusieurs reprises les triangles équilatéraux par trois plus petits.

Les logarithmes apparaissent dans les définitions de la dimension des fractales . Les fractales sont des objets géométriques auto-similaires : de petites parties reproduisent, au moins grossièrement, toute la structure globale. Le triangle Sierpinski (photo) peut être recouvert de trois copies de lui-même, chacune ayant des côtés moitié de la longueur d'origine. Cela rend la dimension de Hausdorff de cette structure ln(3)/ln(2) ≈ 1,58 . Une autre notion de dimension basée sur le logarithme est obtenue en comptant le nombre de cases nécessaires pour couvrir la fractale en question.

Musique

Quatre octaves différentes représentées sur une échelle linéaire.
Quatre octaves différentes représentées sur une échelle logarithmique.
Quatre octaves différentes représentées sur une échelle linéaire, puis représentées sur une échelle logarithmique (comme l'oreille les entend).

Les logarithmes sont liés aux tons et aux intervalles musicaux . À tempérament égal , le rapport de fréquence ne dépend que de l'intervalle entre deux tons, et non de la fréquence spécifique, ou hauteur , des tons individuels. Par exemple, la note  A a une fréquence de 440  Hz et si bémol a une fréquence de 466 Hz. L'intervalle entre A et B-plat est un demi-ton , de même que celle entre si bémol et B (fréquence de 493 Hz). En conséquence, les rapports de fréquence s'accordent :

Par conséquent, des logarithmes peuvent être utilisés pour décrire les intervalles : un intervalle est mesuré en demi-tons en prenant le logarithme base 2 1/12 du rapport des fréquences , tandis que le logarithme base 2 1/1200 du rapport des fréquences exprime l'intervalle en cents. , centièmes de demi-ton. Ce dernier est utilisé pour un codage plus fin, car il est nécessaire pour les tempéraments non égaux.

Intervalle
(les deux tonalités sont jouées en même temps)
Jeu de 1/12 ton A propos de ce son  Semitone jeuA propos de ce son Juste une troisième pièce majeureA propos de ce son Troisième pièce majeureA propos de ce son Jeu de tritonA propos de ce son Jeu d' octaveA propos de ce son
Rapport de fréquence r
Nombre correspondant de demi-tons
Nombre de cents correspondant

La théorie du nombre

Les logarithmes naturels sont étroitement liés au comptage des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, ...), un sujet important en théorie des nombres . Pour tout nombre entier  x , la quantité de nombres premiers inférieur ou égal à x est noté π ( x ) . Le nombre premier théorème affirme que π ( x ) est donnée approximativement par

en ce sens que le rapport de π ( x ) et en ce que la fraction se rapproche de 1 lorsque x tend vers l' infini. Par conséquent, la probabilité qu'un nombre choisi au hasard entre 1 et x soit premier est inversement proportionnelle au nombre de chiffres décimaux de x . Une bien meilleure estimation de π ( x ) est donnée par la fonction intégrale logarithmique de décalage Li( x ) , définie par

L' hypothèse de Riemann , l'une des plus anciennes conjectures mathématiques ouvertes , peut être énoncée en termes de comparaison de π ( x ) et Li( x ) . Le théorème d'Erdős-Kac décrivant le nombre de facteurs premiers distincts implique également le logarithme népérien .

Le logarithme de n factoriel , n ! = 1 · 2 · ... · n , est donnée par

Ceci peut être utilisé pour obtenir la formule de Stirling , une approximation de n ! pour le grand n .

Généralisations

Logarithme complexe

Une illustration de la forme polaire : un point est décrit par une flèche ou de manière équivalente par sa longueur et son angle par rapport à l'axe des x.
Forme polaire de z = x + iy . Les deux φ et φ » sont des arguments de z .

Tous les nombres complexes a qui résolvent l'équation

sont appelés logarithmes complexes de z , lorsque z est (considéré comme) un nombre complexe. Un nombre complexe est généralement représenté par z = x + iy , où x et y sont des nombres réels et i est une unité imaginaire , dont le carré est -1. Un tel nombre peut être visualisé par un point dans le plan complexe , comme illustré à droite. La forme polaire code un nombre complexe non nul  z par sa valeur absolue , c'est-à-dire la distance (positive, réelle)  r à l' origine , et un angle entre l' axe réel ( x ) Re et la ligne passant à la fois par l'origine et z . Cet angle est appelé l' argument de z .  

La valeur absolue r de z est donnée par

Utilisation de l'interprétation géométrique de sinus et de cosinus et de leur périodicité dans 2 π , tout nombre complexe  z peut être notée

pour tout nombre entier  k . De toute évidence, l'argument de z n'est pas spécifié de manière unique : à la fois φ et φ' = φ + 2 k π sont des arguments valides de z pour tous les entiers  k , car ajouter 2 k π  radians ou k ⋅360° à φ correspond à « enrouler » autour l'origine dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par k  tours . Le nombre complexe résultant est toujours z , comme illustré à droite pour k = 1 . On peut choisir exactement l' un des arguments possibles de z comme le soi-disant argument principal , noté Arg ( z ) , avec un capital  A , en exigeant φ d'appartenir à un, tour commodément choisi, par exemple - π < φπ ou 0 ≤ & phiv <2 π . Ces régions, où l'argument de z est déterminé de manière unique, sont appelées branches de la fonction argument.

Une parcelle de densité.  Au milieu il y a un point noir, sur l'axe négatif la teinte saute fortement et évolue doucement sinon.
La branche principale (- π , π ) du logarithme complexe, Log( z ) . Le point noir à z = 1 correspond à la valeur absolue zéro et les couleurs plus vives et plus saturées se réfèrent à des valeurs absolues plus grandes. La teinte de la couleur encode l'argument de Log( z ) .

La formule d'Euler relie les fonctions trigonométriques sinus et cosinus à l' exponentielle complexe :

En utilisant cette formule, et à nouveau la périodicité, les identités suivantes sont vérifiées :

ln( r ) est l'unique logarithme népérien réel, a k désigne les logarithmes complexes de z et k est un entier arbitraire. Par conséquent, les logarithmes complexes de z , qui sont toutes les valeurs complexes d' une k pour laquelle le un k -ème  puissance de e est égal à z , sont les infinité de valeurs

pour les entiers arbitraires  k .

En prenant k tel que φ + 2 k π soit dans l'intervalle défini pour les arguments principaux, alors a k est appelé la valeur principale du logarithme, notée Log( z ) , toujours avec une majuscule  L . L'argument principal de tout nombre réel positif  x est 0 ; donc Log( x ) est un nombre réel et est égal au logarithme réel (naturel). Cependant, les formules ci-dessus pour les logarithmes des produits et des puissances ne se généralisent pas à la valeur principale du logarithme complexe.

L'illustration à droite représente Log( z ) , confinant les arguments de z à l'intervalle (−π, π] . De cette façon, la branche correspondante du logarithme complexe a des discontinuités tout le long de l'  axe x réel négatif , ce qui peut être vu dans le saut dans la teinte là-bas. Cette discontinuité provient du saut à l'autre frontière de la même branche, lors du franchissement d'une frontière, c'est-à-dire de ne pas passer à la valeur k correspondante de la branche continuellement voisine. Un tel locus est appelé une coupe de branche . La suppression des restrictions de plage sur l'argument fait des relations « argument de z », et par conséquent du « logarithme de z », des fonctions à valeurs multiples .

Inverses d'autres fonctions exponentielles

L'exponentiation se produit dans de nombreux domaines des mathématiques et sa fonction inverse est souvent appelée logarithme. Par exemple, le logarithme d'une matrice est la fonction inverse (à valeurs multiples) de l' exponentielle de la matrice . Un autre exemple est le logarithme p- adique , la fonction inverse de l' exponentielle p- adique . Les deux sont définis via des séries de Taylor analogues au cas réel. Dans le contexte de la géométrie différentielle , la carte exponentielle mappe l' espace tangent en un point d'une variété à un voisinage de ce point. Son inverse est aussi appelé carte logarithmique (ou log).

Dans le contexte des groupes finis, l' exponentiation est donnée en multipliant à plusieurs reprises un élément de groupe  b avec lui-même. Le logarithme discret est l'entier  n résolvant l'équation

x est un élément du groupe. La réalisation de l'exponentiation peut être effectuée efficacement, mais le logarithme discret est considéré comme très difficile à calculer dans certains groupes. Cette asymétrie a des applications importantes dans la cryptographie à clé publique , comme par exemple dans l' échange de clés Diffie-Hellman , une routine qui permet des échanges sécurisés de clés cryptographiques sur des canaux d'information non sécurisés. Le logarithme de Zech est lié au logarithme discret dans le groupe multiplicatif des éléments non nuls d'un corps fini .

D'autres fonctions inverses de type logarithme incluent le double logarithme  ln(ln( x )) , le super- ou hyper-4-logarithme (dont une légère variation est appelée logarithme itéré en informatique), la fonction Lambert W et le logit . Ce sont les fonctions inverses de la double fonction exponentielle , tétration , de f ( w ) = we w , et de la fonction logistique , respectivement.

Concepts associés

Du point de vue de la théorie des groupes , l'identité log( cd ) = log( c ) + log( d ) exprime un isomorphisme de groupe entre les réels positifs sous multiplication et les réels sous addition. Les fonctions logarithmiques sont les seuls isomorphismes continus entre ces groupes. Grâce à cet isomorphisme, la mesure de Haar ( mesure de Lebesguedx sur les réels correspond à la mesure de Haar  dx / x sur les réels positifs. Les réels non négatifs ont non seulement une multiplication, mais aussi une addition, et forment un semi - anneau , appelé semi-anneau de probabilité ; il s'agit en fait d'un demi - champ . Le logarithme prend alors la multiplication à l'addition (multiplication log), et prend l'addition à l'addition log ( LogSumExp ), donnant un isomorphisme de semi-anneaux entre le semi-anneau de probabilité et le semi-anneau log .

Les formes uniques logarithmiques  df / f apparaissent en analyse complexe et en géométrie algébrique sous forme de formes différentielles à pôles logarithmiques .

Le polylogarithme est la fonction définie par

Il est lié au logarithme népérien par Li 1  ( z ) = −ln(1 − z ) . De plus, Li s  (1) est égal à la fonction zêta de Riemann ( s ) .

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes