Notation mathématique -Mathematical notation

La notation mathématique consiste à utiliser des symboles pour représenter des opérations , des nombres quelconques , des relations et tout autre objet mathématique , et à les assembler en expressions et formules . La notation mathématique est largement utilisée en mathématiques , en sciences et en ingénierie pour représenter des concepts et des propriétés complexes de manière concise, sans ambiguïté et précise.

Par exemple, l'équation d' Albert Einstein est la représentation quantitative en notation mathématique de l' équivalence masse-énergie . $E=mc^{2}$

La notation mathématique a été introduite pour la première fois par François Viète à la fin du 16ème siècle, et largement développée au cours des 17ème et 18ème siècles par René Descartes , Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz , et globalement Leonhard Euler .

Symboles

L'utilisation de nombreux symboles est la base de la notation mathématique. Ils jouent un rôle similaire à celui des mots dans les langues naturelles . Ils peuvent jouer différents rôles dans la notation mathématique de la même manière que les verbes, les adjectifs et les noms jouent des rôles différents dans une phrase.

Des lettres comme symboles

Les lettres sont généralement utilisées pour nommer - dans le jargon mathématique , on dit représenter - des objets mathématiques . Ce sont généralement les alphabets latin et grec qui sont utilisés, mais certaines lettres de l'alphabet hébreu sont parfois utilisées. Les majuscules et les minuscules sont considérées comme des symboles différents. Pour l'alphabet latin, différentes polices de caractères fournissent également différents symboles. Par exemple, et pourrait théoriquement apparaître dans le même texte mathématique avec six significations différentes. Normalement, la police romaine verticale n'est pas utilisée pour les symboles, à l'exception des symboles formés de plusieurs lettres, comme le symbole " " de la fonction sinus . $(\aleph ,\beth )$ $r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},$ ${\mathfrak {R}}$ ${\displaystyle\sin}$

Afin d'avoir plus de symboles et de permettre aux objets mathématiques associés d'être représentés par des symboles associés, des signes diacritiques , des indices et des exposants sont souvent utilisés. Par exemple, peut désigner la transformée de Fourier de la dérivée d'une fonction appelée ${\hat {f'_{1}}}$ $f_{1}.$

Autres symboles

Les symboles ne sont pas seulement utilisés pour nommer des objets mathématiques. Ils peuvent être utilisés pour des opérations pour des relations pour des connecteurs logiques pour des quantificateurs et à d'autres fins. $(+,-,/,\oplus ,\ldots ),$ $(=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),$ $(\implique ,\land ,\lor ,\ldots ),$ $(\forall ,\existe ),$

Certains symboles s'apparentent à des lettres latines ou grecques, certains sont obtenus en déformant des lettres, certains sont des symboles typographiques traditionnels , mais beaucoup ont été spécialement conçus pour les mathématiques.

Expressions

Une expression est une combinaison finie de symboles bien formés selon des règles qui dépendent du contexte. En général, une expression désigne ou nomme un objet mathématique , et joue donc dans le langage des mathématiques le rôle d'un syntagme nominal dans le langage naturel.

Une expression contient souvent des opérateurs , et peut donc être évaluée par l'action des opérateurs qu'elle contient. Par exemple, est une expression dans laquelle l'opérateur peut être évalué pour donner le résultat So, et sont deux expressions différentes qui représentent le même nombre. C'est le sens de l'égalité $3+2$ $+$ $5.$ $3+2$ $5$ $3+2=5.$

Un exemple plus compliqué est donné par l'expression qui peut être évaluée à Bien que l'expression résultante contienne les opérateurs de division , de soustraction et d'exponentiation , elle ne peut pas être évaluée davantage car $a$ et $b$ désignent des nombres non spécifiés. ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$

Histoire

Nombres

On pense qu'une notation pour représenter les nombres a été développée pour la première fois il y a au moins 50 000 ans - les premières idées mathématiques telles que le comptage des doigts ont également été représentées par des collections de roches, de bâtons, d'os, d'argile, de pierre, de sculptures sur bois et de cordes nouées. Le bâton de pointage est une méthode de comptage datant du Paléolithique supérieur . Les plus anciens textes mathématiques connus sont peut-être ceux de l'ancienne Sumer . Le Census Quipu des Andes et l' Ishango Bone d'Afrique ont tous deux utilisé la méthode des marques de pointage pour comptabiliser les concepts numériques.

Le concept de zéro et l'introduction d'une notation pour celui-ci sont des développements importants dans les premières mathématiques, qui sont antérieures de plusieurs siècles au concept de zéro en tant que nombre. Il a été utilisé comme espace réservé par les Babyloniens et les Égyptiens grecs , puis comme entier par les Mayas , les Indiens et les Arabes (voir l'histoire du zéro ).

Notation moderne

Jusqu'au XVIe siècle, les mathématiques étaient essentiellement rhétoriques , en ce sens que tout, sauf les nombres explicites, était exprimé par des mots. Cependant, certains auteurs comme Diophante ont utilisé certains symboles comme abréviations.

La première utilisation systématique de formules, et, en particulier, l'utilisation de symboles ( variables ) pour des nombres quelconques est généralement attribuée à François Viète (XVIe siècle). Cependant, il a utilisé des symboles différents de ceux qui sont maintenant standard.

Plus tard, René Descartes (XVIIe siècle) introduisit la notation moderne des variables et des équations ; en particulier, l'utilisation de pour des quantités inconnues et pour des quantités connues ( constantes ). Il a également introduit la notation $i$ et le terme "imaginaire" pour l' unité imaginaire . $x, y, z$ $a,b,c$

Les 18e et 19e siècles ont vu la normalisation de la notation mathématique telle qu'elle est utilisée aujourd'hui. Leonhard Euler était responsable de la plupart des notations actuellement utilisées : la notation fonctionnelle $e$ pour la base du logarithme népérien, pour la sommation , etc. Il a également popularisé l'utilisation de $π$ pour la constante d'Archimède (proposée par William Jones , basée sur une notation antérieure de William Oughtred ). $f(x),$ ${\textstyle \somme }$

Depuis lors, de nombreuses nouvelles notations ont été introduites, souvent spécifiques à un domaine particulier des mathématiques. Certaines notations portent le nom de leurs inventeurs, comme la notation de Leibniz , le symbole de Legendre , la convention de sommation d'Einstein , etc.

Typographie

Les systèmes de composition généraux ne sont généralement pas bien adaptés à la notation mathématique. L'une des raisons est que, dans la notation mathématique, les symboles sont souvent disposés en figures bidimensionnelles comme dans

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.

TeX est un système de composition à orientation mathématique qui a été créé en 1978 par Donald Knuth . Il est largement utilisé en mathématiques, à travers son extension appelée LaTeX , et est un standard de facto . (L'expression ci-dessus est écrite en LaTeX.)

Plus récemment, une autre approche pour la composition mathématique est fournie par MathML . Cependant, il n'est pas bien pris en charge dans les navigateurs Web, qui sont sa cible principale.

Un affichage inhabituel de

π

autorisé par TeX (style européen, avec une virgule comme séparateur décimal )

Notation mathématique non latine

La notation mathématique arabe moderne est basée principalement sur l' alphabet arabe et est largement utilisée dans le monde arabe , en particulier dans l'enseignement pré-supérieur .

(La notation occidentale utilise des chiffres arabes , mais la notation arabe remplace également les lettres latines et les symboles associés par une écriture arabe.)

En plus de la notation arabe, les mathématiques utilisent également des lettres grecques pour désigner une grande variété d'objets et de variables mathématiques. Dans certaines occasions, certaines lettres hébraïques sont également utilisées (comme dans le contexte des cardinaux infinis ).

Certaines notations mathématiques sont principalement schématiques et sont donc presque entièrement indépendantes du script. Les exemples sont la notation graphique de Penrose et les diagrammes de Coxeter – Dynkin .

Les notations mathématiques basées sur le braille utilisées par les personnes aveugles incluent Nemeth Braille et GS8 Braille .

Voir également

Remarques

^ Une introduction à l'histoire des mathématiques (6e édition) par Howard Eves (1990) p.9
↑ Georges Ifrah note que les humains ont appris à compter sur leurs mains. Ifrah montre, par exemple, une image de Boèce (qui a vécu 480-524 ou 525) comptant sur ses doigts dans Ifrah 2000 , p. 48.

Les références

Florian Cajori , Une histoire des notations mathématiques (1929), 2 volumes. ISBN 0-486-67766-4
Ifrah, Georges (2000), L'histoire universelle des nombres : de la préhistoire à l'invention de l'ordinateur. , John Wiley et fils , p. 48, ISBN 0-471-39340-1. Traduit du français par David Bellos, EF Harding, Sophie Wood et Ian Monk. Ifrah soutient sa thèse en citant des phrases idiomatiques de langues du monde entier.
Mazur, Joseph (2014), Symboles éclairants : une brève histoire de la notation mathématique et de ses pouvoirs cachés . Princeton, New Jersey : Presse universitaire de Princeton. ISBN 978-0-691-15463-3

Liens externes

Premières utilisations de divers symboles mathématiques
Notation mathématique ASCII comment taper la notation mathématique dans n'importe quel éditeur de texte.
Mathématiques comme langue à Cut-the-Knot
Stephen Wolfram : Notation mathématique : passé et futur . Octobre 2000. Transcription d'un discours d'ouverture présenté à MathML and Math on the Web: MathML International Conference.

[1] Une introduction à l'histoire des mathématiques (6e édition) par Howard Eves (1990) p.9

[2] Georges Ifrah note que les humains ont appris à compter sur leurs mains. Ifrah montre, par exemple, une image de Boèce (qui a vécu 480-524 ou 525) comptant sur ses doigts dans Ifrah 2000 , p. 48.

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