Moyenne circulaire - Circular mean

En mathématiques et en statistiques , une moyenne circulaire ou une moyenne angulaire est une moyenne conçue pour les angles et les quantités cycliques similaires, telles que les jours et les parties fractionnaires de nombres réels . Ceci est nécessaire car la plupart des moyens habituels peuvent ne pas être appropriés sur des quantités de type angle. Par exemple, la moyenne arithmétique de 0° et 360° est de 180°, ce qui est trompeur car 360° équivaut à 0° modulo un cycle complet. Autre exemple, l'« heure moyenne » entre 23 h 00 et 1 h 00 du matin est soit minuit, soit midi, selon que les deux heures font partie d'une seule nuit ou d'un seul jour calendaire. La moyenne circulaire est l'un des exemples les plus simples de statistiques circulaires et de statistiques d'espaces non euclidiens .

Définition

Étant donné que la moyenne arithmétique n'est pas toujours appropriée pour les angles, la méthode suivante peut être utilisée pour obtenir à la fois une valeur moyenne et une mesure de la variance des angles :

Convertissez tous les angles en points correspondants sur le cercle unité , par exemple en . C'est, convertir les coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes . Calculez ensuite la moyenne arithmétique de ces points. Le point résultant se situera dans le disque de l'unité. Convertissez ce point en coordonnées polaires. L'angle est une moyenne raisonnable des angles d'entrée. Le rayon résultant sera 1 si tous les angles sont égaux. Si les angles sont uniformément répartis sur le cercle, le rayon résultant sera 0 et il n'y a pas de moyenne circulaire. (En fait, il est impossible de définir une opération moyenne continue sur le cercle.) En d'autres termes, le rayon mesure la concentration des angles. ${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

Étant donné les angles, une formule commune de la moyenne utilisant la variante atan2 de la fonction arctangente est ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j} ,{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1 }^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}$

ou, en utilisant des nombres complexes :

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}$

Afin de faire correspondre la dérivation ci-dessus en utilisant des moyennes arithmétiques de points, les sommes devraient être divisées par . Cependant, la mise à l'échelle n'a pas d'importance pour et , elle peut donc être omise. ${\style d'affichage n}$${\displaystyle \operatorname {atan2} }$${\style d'affichage \arg }$

Ce calcul produit un résultat différent de la moyenne arithmétique, la différence étant plus importante lorsque les angles sont largement distribués. Par exemple, la moyenne arithmétique des trois angles 0°, 0° et 90° est (0+0+90)/3 = 30°, mais la moyenne vectorielle est de 26,565°. De plus, avec la moyenne arithmétique, la variance circulaire n'est définie que ±180°.

Propriétés

La moyenne circulaire ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

• maximise la vraisemblance du paramètre moyen de la distribution de von Mises et
• minimise la somme d'une certaine distance sur le cercle, plus précisément

${\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ où }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}$

La distance est égale à la moitié du carré de la distance euclidienne entre les deux points du cercle unité associé à et .${\displaystyle d(\varphi ,\beta )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \beta }$

Exemple

Une façon simple de calculer la moyenne d'une série d'angles (dans l'intervalle [0°, 360°)) est de calculer la moyenne des cosinus et sinus de chaque angle, et d'obtenir l'angle en calculant la tangente inverse. Prenons l'exemple des trois angles suivants : 10, 20 et 30 degrés. Intuitivement, le calcul de la moyenne impliquerait d'additionner ces trois angles et de les diviser par 3, ce qui aboutirait bien dans ce cas à un angle moyen correct de 20 degrés. En tournant ce système de 15 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les trois angles deviennent 355 degrés, 5 degrés et 15 degrés. La moyenne naïve est maintenant de 125 degrés, ce qui est la mauvaise réponse, car elle devrait être de 5 degrés. La moyenne vectorielle peut être calculée de la manière suivante, en utilisant le sinus moyen et le cosinus moyen : ${\textstyle {\bar {\theta }}}$${\textstyle {\bar {s}}}$${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$

${\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{ \circ }))={\frac {1}{3}}(-0,087+0,087+0,259)\environ 0,086}$

${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{ \circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\ barre {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{ \circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{ \bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\ arctan(0.087)=5^{\circ }.}$

Cela peut être exprimé plus succinctement en réalisant que les données directionnelles sont en fait des vecteurs de longueur unitaire. Dans le cas de données unidimensionnelles, ces points de données peuvent être représentés de manière pratique sous forme de nombres complexes de grandeur unitaire , où est l'angle mesuré. Le vecteur résultant moyen pour l'échantillon est alors : ${\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

L'angle moyen de l'échantillon est alors l' argument de la moyenne résultante :

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}$

La longueur du vecteur résultant moyen de l'échantillon est :

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}$

et aura une valeur comprise entre 0 et 1. Ainsi, le vecteur résultant moyen de l'échantillon peut être représenté par :

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}$

Des calculs similaires sont également utilisés pour définir la variance circulaire .

Voir également

• Distribution circulaire
• Écart type circulaire
• Statistiques directionnelles
• Centroïde
• Le centre de masse

Les références

Lectures complémentaires

Jammalamadaka, S. Rao et SenGupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics , Section 1.3, World Scientific Press, Singapour. ISBN  981-02-3778-2

Liens externes

• Circular Values ​​Math and Statistics with C++11 , Une infrastructure C++11 pour les valeurs circulaires (angles, heure du jour, etc.) mathématiques et statistiques