Médiane (géométrie) - Median (geometry)

Les médianes du triangle et le centre de gravité .

En géométrie , une médiane d'un triangle est un segment de ligne joignant un sommet au milieu du côté opposé, coupant ainsi ce côté. Chaque triangle a exactement trois médianes, une à partir de chaque sommet, et elles se coupent toutes au centroïde du triangle . Dans le cas des triangles isocèles et équilatéraux , une médiane coupe tout angle à un sommet dont les deux côtés adjacents sont de longueur égale.

Le concept de médiane s'étend aux tétraèdres .

Relation au centre de masse

Chaque médiane d'un triangle passe par le centre de gravité du triangle , qui est le centre de masse d'un objet infiniment mince de densité uniforme coïncidant avec le triangle. Ainsi l'objet s'équilibrerait sur le point d'intersection des médianes. Le centre de gravité est deux fois plus proche le long de toute médiane du côté d'intersection de la médiane que du sommet d'où elle émane.

Division à aire égale

Chaque médiane divise l'aire du triangle en deux ; d'où le nom, et donc un objet triangulaire de densité uniforme serait en équilibre sur n'importe quelle médiane. (Toutes les autres lignes qui divisent l'aire du triangle en deux parties égales ne passent pas par le centroïde.) Les trois médianes divisent le triangle en six triangles plus petits d' aire égale .

Preuve de propriété à superficie égale

Considérons un triangle ABC . Soit D le milieu de , E le milieu de , F le milieu de , et O le centre de gravité (le plus communément noté G ). ${\overline {AB}}$ ${\overline {BC}}$ ${\overline {AC}}$

Par définition, . Ainsi et , où représente l' aire du triangle ; ceux-ci tiennent parce que dans chaque cas, les deux triangles ont des bases de longueur égale et partagent une altitude commune à partir de la base (étendue), et l'aire d'un triangle est égale à la moitié de sa base multipliée par sa hauteur. $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[PDG],$ ${\style d'affichage [ABE]=[ACE]}$ ${\style d'affichage [ABC]}$ $\triangle ABC$

On a:

[ABO]=[ABE]-[BEO]

[ACO]=[ACE]-[PDG]

Ainsi, et ${\style d'affichage [ABO]=[ACO]}$ $[ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]$

Depuis , donc, . En utilisant la même méthode, on peut montrer que . $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[PDG]$

Trois triangles congrus

En 2014, Lee Sallows a découvert le théorème suivant :

Les médianes d'un triangle le disséquent en six triangles plus petits de surface égale, comme dans la figure ci-dessus, où trois paires de triangles adjacentes se rencontrent aux points médians D, E et F. Si les deux triangles de chaque paire sont tournés autour de leur point médian commun jusqu'à ce qu'ils se rencontrent de manière à partager un côté commun, alors les trois nouveaux triangles formés par l'union de chaque paire sont congrus.

Formules impliquant les longueurs des médianes

Les longueurs des médianes peuvent être obtenues à partir du théorème d' Apollonius comme suit :

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}

où et sont les côtés du triangle avec les médianes respectives et à partir de leurs milieux.

{\style d'affichage a,b,}

{\style d'affichage c}

{\style d'affichage m_{a},m_{b},}

{\style d'affichage m_{c}}

Ces formules impliquent les relations :

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2}(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2}(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2}(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} .

Autres propriétés

Soit ABC un triangle, G son centre de gravité et D , E et F les milieux de BC , CA et AB , respectivement. Pour tout point P dans le plan de ABC alors

PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.

Le centre de gravité divise chaque médiane en parties dans le rapport 2:1, le centre de gravité étant deux fois plus proche du milieu d'un côté que du sommet opposé.

Pour tout triangle avec côtés et médianes ${\style d'affichage a,b,c}$ ${\style d'affichage m_{a},m_{b},m_{c},}$

{\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ et }} \quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^ {2}+m_{c}^{2}.

Les médianes des côtés des longueurs et sont perpendiculaires si et seulement si ${\style d'affichage a}$ ${\style d'affichage b}$ ${\style d'affichage a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

Les médianes d'un triangle rectangle avec hypoténuse satisfont ${\style d'affichage c}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$

L'aire T de tout triangle peut être exprimée en fonction de ses médianes , et comme suit. Si leur demi-somme est notée par alors ${\style d'affichage m_{a},m_{b}}$ ${\style d'affichage m_{c}}$ $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ ${\style d'affichage \sigma }$

T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left( \sigma -m_{c}\right)}}.

Tétraèdre

médianes d'un tétraèdre

{\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac { |CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned} }

Un tétraèdre est un objet tridimensionnel ayant quatre faces triangulaires . Un segment de droite joignant un sommet d'un tétraèdre au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre. Il y a quatre médianes, et elles sont toutes concurrentes au centre de gravité du tétraèdre. Comme dans le cas bidimensionnel, le centre de gravité du tétraèdre est le centre de masse . Cependant, contrairement au cas bidimensionnel, le centroïde divise les médianes non pas dans un rapport 2:1 mais dans un rapport 3:1 ( théorème de Commandino ).

Voir également

Les références

Liens externes

Les médianes à couper le nœud
Aire du triangle médian à couper le nœud
Médianes d'un triangle Avec animation interactive
Construction d'une médiane d'un triangle avec une démonstration animée d'une boussole et d'une règle
Weisstein, Eric W. "Triangle Médiane" . MathWorld .

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