Indice de Miller - Miller index

Plans avec différents indices de Miller en cristaux cubiques
Exemples d'orientations

Les indices de Miller forment un système de notation en cristallographie pour les plans de réseau dans les réseaux cristallins (Bravais) .

En particulier, une famille de plans réticulaires d'une donnée (direct) réseau de Bravais est déterminée par trois nombres entiers h , k et  , les indices de Miller . Ils s'écrivent (hkℓ), et désignent la famille des plans de réseau (parallèles) (du réseau de Bravais donné) orthogonaux à , où sont les vecteurs de base ou de translation primitifs du réseau réciproque pour le réseau de Bravais donné. (Notez que le plan n'est pas toujours orthogonal à la combinaison linéaire de vecteurs de réseau directs ou originaux car les vecteurs de réseau directs n'ont pas besoin d'être mutuellement orthogonaux.) Ceci est basé sur le fait qu'un vecteur de réseau réciproque (le vecteur indiquant un point de réseau réciproque à partir de l'origine du réseau réciproque) est le vecteur d'onde d'une onde plane dans la série de Fourier d'une fonction spatiale (par exemple, la fonction de densité électronique) dont la périodicité suit le réseau de Bravais d'origine, de sorte que les fronts d'onde de l'onde plane coïncident avec les plans de réseau parallèles du treillis d'origine. Étant donné qu'un vecteur de diffusion mesuré en cristallographie des rayons X , avec comme vecteur d' onde de rayons X sortant (diffusé à partir d'un réseau cristallin) et comme vecteur d'onde de rayons X entrant (vers le réseau cristallin), est égal à un vecteur de réseau réciproque comme indiqué par les équations de Laue , le pic de rayons X diffusés mesuré à chaque vecteur de diffusion mesuré est marqué par des indices de Miller . Par convention, les entiers négatifs s'écrivent avec une barre, comme en 3 pour -3. Les nombres entiers sont généralement écrits en termes les plus bas, c'est-à-dire que leur plus grand diviseur commun doit être 1. Les indices de Miller sont également utilisés pour désigner les réflexions en cristallographie aux rayons X . Dans ce cas, les nombres entiers ne sont pas nécessairement en termes les plus bas et peuvent être considérés comme correspondant à des plans espacés de telle sorte que les réflexions des plans adjacents auraient une différence de phase d'exactement une longueur d'onde (2π), qu'il y ait ou non des atomes sur tous ces avions ou non.

Il existe également plusieurs notations connexes :

  • la notation {hkℓ} désigne l'ensemble de tous les plans équivalents à (hkℓ) par la symétrie du réseau.

Dans le contexte des directions cristallines (non planes), les notations correspondantes sont :

  • [hkℓ], avec des crochets au lieu des parenthèses rondes, désigne une direction dans la base des vecteurs du réseau direct au lieu du réseau réciproque ; et
  • de même, la notation <hkℓ> désigne l'ensemble de toutes les directions équivalentes à [hkℓ] par symétrie.

Les indices de Miller ont été introduits en 1839 par le minéralogiste britannique William Hallowes Miller , bien qu'un système presque identique ( paramètres de Weiss ) ait déjà été utilisé par le minéralogiste allemand Christian Samuel Weiss depuis 1817. La méthode était aussi historiquement connue sous le nom de système Millerian, et les indices comme Millerian, bien que cela soit maintenant rare.

Les indices de Miller sont définis par rapport à n'importe quel choix de maille élémentaire et pas seulement par rapport à des vecteurs de base primitifs, comme on le dit parfois.

Définition

Exemples de détermination d'indices pour un plan à l'aide d'interceptions avec axes ; gauche (111), droite (221)

Il existe deux manières équivalentes de définir la signification des indices de Miller : via un point dans le réseau réciproque , ou en tant qu'interception inverse le long des vecteurs du réseau. Les deux définitions sont données ci-dessous. Dans les deux cas, il faut choisir les trois vecteurs de réseau a 1 , a 2 et a 3 qui définissent la maille élémentaire (notez que la maille élémentaire conventionnelle peut être plus grande que la maille primitive du réseau de Bravais , comme les exemples ci-dessous illustrent ). Compte tenu de ceux-ci, les trois vecteurs de réseau réciproques primitifs sont également déterminés (notés b 1 , b 2 et b 3 ).

Alors, étant donné les trois indices de Miller h, k, ℓ, (hkℓ) désigne des plans orthogonaux au vecteur de réseau réciproque :

C'est-à-dire que (hkℓ) indique simplement une normale aux plans dans la base des vecteurs de réseau réciproques primitifs. Parce que les coordonnées sont des nombres entiers, cette normale est elle-même toujours un vecteur de réseau réciproque. L'exigence des termes les plus bas signifie qu'il s'agit du vecteur de réseau réciproque le plus court dans la direction donnée.

De manière équivalente, (hkℓ) désigne un plan qui intercepte les trois points a 1 / h , a 2 / k et a 3 / , ou un multiple de ceux-ci. C'est-à-dire que les indices de Miller sont proportionnels aux inverses des interceptions du plan, dans la base des vecteurs de réseau. Si l'un des indices est nul, cela signifie que les plans ne coupent pas cet axe (l'interception est "à l'infini").

En ne considérant que (hkℓ) les plans coupant un ou plusieurs points du réseau (les plans du réseau ), la distance perpendiculaire d entre les plans du réseau adjacents est liée au vecteur de réseau réciproque (le plus court) orthogonal aux plans par la formule : .

La notation associée [hkℓ] désigne la direction :

C'est-à-dire qu'il utilise la base de réseau direct au lieu du réseau réciproque. Notez que [hkℓ] n'est généralement pas normal aux plans (hkℓ), sauf dans un réseau cubique comme décrit ci-dessous.

Cas des structures cubiques

Pour le cas particulier des cristaux cubiques simples, les vecteurs du réseau sont orthogonaux et de même longueur (généralement noté a ), tout comme ceux du réseau réciproque. Ainsi, dans ce cas courant, les indices de Miller (hkℓ) et [hkℓ] désignent tous deux simplement des normales/directions en coordonnées cartésiennes .

Pour les cristaux cubiques avec une constante de réseau a , l'espacement d entre les plans de réseau adjacents (hkℓ) est (d'en haut)

.

En raison de la symétrie des cristaux cubiques, il est possible de changer la place et le signe des nombres entiers et d'avoir des directions et des plans équivalents :

  • Les indices entre crochets tels que ⟨100⟩ désignent une famille de directions qui sont équivalentes du fait d'opérations de symétrie, telles que [100], [010], [001] ou le négatif de l'une quelconque de ces directions.
  • Les indices entre accolades ou accolades tels que {100} désignent une famille de normales planes qui sont équivalentes en raison d'opérations de symétrie, tout comme les crochets angulaires désignent une famille de directions.

Pour les réseaux cubiques à faces centrées et cubiques à corps centrés , les vecteurs de réseau primitifs ne sont pas orthogonaux. Cependant, dans ces cas, les indices de Miller sont définis par convention par rapport aux vecteurs de réseau de la supercellule cubique et sont donc à nouveau simplement les directions cartésiennes.

Cas des structures hexagonales et rhomboédriques

Indices de Miller-Bravais

Avec les systèmes de réseaux hexagonaux et rhomboédriques , il est possible d'utiliser le système de Bravais-Miller , qui utilise quatre indices ( h k i ) qui obéissent à la contrainte

h + k + i = 0.

Ici h , k et sont identiques aux indices de Miller correspondants, et i est un indice redondant.

Ce schéma à quatre indices pour l'étiquetage des plans dans un réseau hexagonal rend apparentes les symétries de permutation. Par exemple, la similitude entre (110) ≡ (11 2 0) et (1 2 0) ≡ (1 2 10) est plus évidente lorsque l'indice redondant est affiché.

Sur la figure de droite, le plan (001) a une symétrie d'ordre 3 : il reste inchangé par une rotation de 1/3 (2π/3 rad, 120°). Les directions [100], [010] et [ 1 1 0] sont vraiment similaires. Si S est l'intersection du plan avec l' axe [ 1 1 0], alors

i = 1/ S .

Il existe également des schémas ad hoc (par exemple dans la littérature sur la microscopie électronique à transmission ) pour l'indexation des vecteurs de réseau hexagonal (plutôt que des vecteurs de réseau ou plans réciproques) avec quatre indices. Cependant, ils ne fonctionnent pas en ajoutant de la même manière un index redondant à l'ensemble régulier de trois index.

Par exemple, le vecteur de réseau réciproque (hkℓ) comme suggéré ci-dessus peut être écrit en termes de vecteurs de réseau réciproques comme . Pour les cristaux hexagonaux, cela peut être exprimé en termes de vecteurs de base de réseau direct a 1 , a 2 et a 3 comme

Par conséquent, les indices de zone de la direction perpendiculaire au plan (hkℓ) sont, sous une forme de triplet convenablement normalisée, simplement . Lorsque quatre indices sont utilisés pour la zone normale au plan (hkℓ), cependant, la littérature utilise souvent à la place. Ainsi, comme vous pouvez le voir, les index de zone à quatre index entre crochets ou crochets mélangent parfois un seul index en treillis direct à droite avec des index en treillis réciproque (normalement entre accolades ou accolades) à gauche.

Et, notez que pour les distances interplanaires hexagonales, elles prennent la forme

Plans et directions cristallographiques

Plans cristallographiques denses

Les directions cristallographiques sont des lignes reliant les nœuds ( atomes , ions ou molécules ) d'un cristal. De même, les plans cristallographiques sont des plans reliant des nœuds. Certaines directions et certains plans ont une densité de nœuds plus élevée ; ces plans denses ont une influence sur le comportement du cristal :

  • propriétés optiques : dans la matière condensée, la lumière "saute" d'un atome à l'autre avec la diffusion Rayleigh ; la vitesse de la lumière varie donc selon les directions, que les atomes soient proches ou éloignés ; cela donne la biréfringence
  • adsorption et réactivité : l'adsorption et les réactions chimiques peuvent se produire au niveau des atomes ou des molécules sur les surfaces cristallines, ces phénomènes sont donc sensibles à la densité de nœuds ;
  • tension superficielle : la condensation d'un matériau signifie que les atomes, les ions ou les molécules sont plus stables s'ils sont entourés d'autres espèces similaires ; la tension superficielle d'une interface varie donc en fonction de la densité à la surface
    • Les pores et les cristallites ont tendance à avoir des joints de grains rectilignes suivant des plans denses
    • clivage
  • luxations ( déformation plastique )
    • le noyau de dislocation a tendance à s'étendre sur des plans denses (la perturbation élastique est « diluée ») ; cela réduit le frottement ( force Peierls-Nabarro ), le glissement se produit plus fréquemment sur des plans denses ;
    • la perturbation portée par la dislocation ( vecteur de Burgers ) est selon une direction dense : le déplacement d'un nœud dans une direction dense est une moindre distorsion ;
    • la ligne de dislocation a tendance à suivre une direction dense, la ligne de dislocation est souvent une ligne droite, une boucle de dislocation est souvent un polygone .

Pour toutes ces raisons, il est important de déterminer les plans et donc d'avoir un système de notation.

Indices de Miller entiers vs irrationnels : plans de réseau et quasicristaux

Ordinairement, les indices de Miller sont toujours des nombres entiers par définition, et cette contrainte est physiquement significative. Pour comprendre cela, supposons que l'on admette un plan (abc) où les "indices" de Miller a , b et c (définis comme ci-dessus) ne sont pas nécessairement des entiers.

Si a , b et c ont des rapports rationnels , alors la même famille de plans peut être écrite en termes d'indices entiers (hkℓ) en mettant à l'échelle a , b et c de manière appropriée : diviser par le plus grand des trois nombres, puis multiplier par le plus petit dénominateur commun . Ainsi, les indices de Miller entiers incluent implicitement des indices avec tous les rapports rationnels. La raison pour laquelle les plans où les composants (dans la base du réseau réciproque) ont des rapports rationnels sont particulièrement intéressants est que ce sont les plans du réseau : ce sont les seuls plans dont les intersections avec le cristal sont 2d-périodiques.

Pour un plan (abc) où a , b et c ont des rapports irrationnels , en revanche, l'intersection du plan avec le cristal n'est pas périodique. Il forme un motif apériodique connu sous le nom de quasicristal . Cette construction correspond précisément à la méthode standard "couper et projeter" pour définir un quasi-cristal, en utilisant un plan avec des indices de Miller à rapport irrationnel. (Bien que de nombreux quasicristaux, tels que le pavage de Penrose , soient formés par des "coupures" de réseaux périodiques dans plus de trois dimensions, impliquant l'intersection de plus d'un hyperplan de ce type .)

Voir également

Les références

Liens externes