Polynôme minimal (théorie des champs) - Minimal polynomial (field theory)

En théorie des champs , une branche des mathématiques , le polynôme minimal d'une valeur α est, grosso modo, le polynôme de degré le plus bas ayant des coefficients d'un type spécifié, tel que α est une racine du polynôme. Si le polynôme minimal de α existe, il est unique. Le coefficient du terme le plus élevé degré dans le polynôme doit être 1 et le type spécifié pour les coefficients restants pourraient être des nombres entiers , nombres rationnels , nombres réels , ou autres.

Plus formellement, un polynôme minimal est défini par rapport à une extension de champ E / F et un élément du champ d'extension E . Le polynôme minimal d'un élément, si elle existe, est un membre de F [ x ], l' anneau des polynômes de la variable x à coefficients dans F . Étant donné un élément α de E , soit J _α l'ensemble de tous les polynômes f ( x ) dans F [ x ] tels que f ( α ) = 0. L'élément α est appelé racine ou zéro de chaque polynôme dans J _α . L'ensemble J _α est ainsi nommé car c'est un idéal de F [ x ]. Le polynôme zéro, dont tous les coefficients sont 0, est dans tout J _α puisque 0 α ⁱ = 0 pour tout α et i . Cela rend le polynôme zéro inutile pour classer différentes valeurs de α en types, il est donc excepté. S'il y a des polynômes non nuls dans J _α , alors α est appelé un élément algébrique sur F , et il existe un polynôme monique de moindre degré dans J _α . Ceci est le polynôme minimal de α par rapport à E / F . Il est unique et irréductible sur F . Si le polynôme nul est le seul membre de J _α , alors α est appelé un élément transcendantale sur F et n'a pas de polynôme minimal par rapport à E / F .

Les polynômes minimaux sont utiles pour construire et analyser des extensions de champ. Quand α est algébrique avec polynôme minimal d' un ( x ), le champ le plus petit qui contient à la fois F et α est isomorphe à l' anneau quotient F [ x ] / ⟨ un ( x )⟩, où ⟨ un ( x )⟩ est l'idéal de F [ x ] généré par a ( x ). Des polynômes minimaux sont également utilisés pour définir des éléments conjugués .

Définition

Soit E / F soit une extension de corps , α un élément de E , et F [ x ] l'anneau des polynômes en x sur F . L'élément α a un polynôme minimal lorsque α est algébrique sur F , c'est-à-dire lorsque f ( α ) = 0 pour un polynôme non nul f ( x ) dans F [ x ]. Alors le polynôme minimal de α est défini comme le polynôme monique de moindre degré parmi tous les polynômes de F [ x ] ayant α comme racine.

Unicité

Soit un ( x ) le polynôme minimal de α par rapport à E / F . L'unicité de a ( x ) est établie en considérant l' homomorphisme d'anneau sub _α de F [ x ] à E qui remplace α pour x , c'est-à-dire sous _α ( f ( x )) = f ( α ). Le noyau de sub _α , ker (sub _α ), est l'ensemble de tous les polynômes de F [ x ] qui ont α comme racine. Autrement dit, ker (sous _α ) = J _α par le haut. Puisque sub _α est un homomorphisme d'anneau, ker (sub _α ) est un idéal de F [ x ]. Puisque F [ x ] est un anneau principal chaque fois que F est un corps, il y a au moins un polynôme dans ker (sub _α ) qui génère ker (sub _α ). Un tel polynôme aura le moindre degré parmi tous les polynômes non nuls dans ker (sous _α ), et a ( x ) est considéré comme l'unique polynôme monique parmi ceux-ci.

Unicité du polynôme monique

Supposons que p et q soient des polynômes moniques dans J _α de degré minimal n > 0. Puisque p - q ∈ J _α et deg ( p - q ) < n, il s'ensuit que p - q = 0, c'est-à-dire p = q .

Propriétés

Un polynôme minimal est irréductible. Soit E / F une extension de champ sur F comme ci-dessus, α ∈ E , et f ∈ F [ x ] un polynôme minimal pour α . Supposons que f = gh , où g , h ∈ F [ x ] sont de degré inférieur à f . Maintenant f ( α ) = 0. Puisque les champs sont aussi des domaines intégraux , nous avons g ( α ) = 0 ou h ( α ) = 0. Cela contredit la minimalité du degré de f . Ainsi, les polynômes minimaux sont irréductibles.

Exemples

Polynôme minimal d'une extension de champ de Galois

Étant donné une extension de champ de Galois, le polynôme minimal de tout pas dans peut être calculé comme ${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in L}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {\ sigma \ in {\ text {Gal}} (L / K)} (x- \ sigma (\ alpha))}$

si n'a pas de stabilisateurs dans l'action galoisienne. Puisqu'il est irréductible, ce qui peut être déduit en regardant les racines de , c'est le polynôme minimal. Notez que le même type de formule peut être trouvé en remplaçant par où est le groupe stabilisant de . Par exemple, si alors son stabilisateur est , d'où son polynôme minimal. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle G = {\ text {Gal}} (L / K)}$ ${\ displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle N = {\ text {Stab}} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha \ en K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha)}$

Extensions de champ quadratiques

Q ( √ 2 )

Si F = Q , E = R , α = √ 2 , alors le polynôme minimal pour α est a ( x ) = x ² - 2. Le champ de base F est important car il détermine les possibilités pour les coefficients de a ( x ) . Par exemple, si nous prenons F = R , alors le polynôme minimal pour α = √ 2 est a ( x ) = x - √ 2 .

Q ( √ d )

En général, pour l'extension quadratique donnée par un carré libre , le calcul du polynôme minimal d'un élément peut être trouvé en utilisant la théorie de Galois. Puis ${\style d'affichage d}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} f (x) & = (x- (a + b {\ sqrt {d}})) (x- (ab {\ sqrt {d}})) \\ & = x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} -b ^ {2} d) \ end {aligné}}}$

en particulier, cela implique et . Cela peut être utilisé pour déterminer à travers une série de relations en utilisant l'arithmétique modulaire . ${\ displaystyle 2a \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} d \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}}$

Extensions de champ biquadratiques

Si α = √ 2 + √ 3 , alors le polynôme minimal dans Q [ x ] est a ( x ) = x ⁴ - 10 x ² + 1 = ( x - √ 2 - √ 3 ) ( x + √ 2 - √ 3 ) ( x - √ 2 + √ 3 ) ( x + √ 2 + √ 3 ).

Remarquez si alors l'action de Galois se stabilise . Par conséquent, le polynôme minimal peut être trouvé en utilisant le groupe quotient . ${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}) / {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q})}$

Racines de l'unité

Les polynômes minimaux en Q [ x ] des racines de l'unité sont les polynômes cyclotomiques .

Polynômes de Swinnerton-Dyer

Le polynôme minimal en Q [ x ] de la somme des racines carrées des n premiers nombres premiers est construit de manière analogue et est appelé polynôme de Swinnerton-Dyer .

Voir également

Les références

Weisstein, Eric W. "Polynôme minimal de nombre algébrique" . MathWorld .
Polynôme minimal chez PlanetMath .
Pinter, Charles C. Un livre d'algèbre abstraite . Dover Books on Mathematics Series. Publications de Douvres, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5

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